解答标准测4(专题微测Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

解答标准测4　“15—17题”　43分测学生用书P215 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 15. (2025·广东湛江一模)如图，四棱锥S­ABCD的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点，且SB∥平面PAC. (1)求证：AC⊥SD； (2)求直线SB到平面PAC的距离； (3)请判断在平面PAC上是否存在一点E，使得△ESB是以SB为底边，为顶角的等腰三角形．若存在，请求出点E的轨迹；若不存在，请说明理由． 解　(1)证明：如图，连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由SA＝SC得SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD.又SO∩BD＝O，SO，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD.又因为SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD. (2)连接PO，因为SB∥平面PAC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面PAC＝PO，所以SB∥PO.在△SBD中，O为BD的中点，所以点P为SD的中点．易知直线SO，AC，BD两两垂直，如图，以O为原点建立空间直角坐标系．因为正方形ABCD的边长为2，所以A(0，－，0)，C(0，，0)，B(，0,0)，P，S(0,0，)．设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)，则所以令x＝3，可得m＝(3，0，)．因为SB∥平面PAC，所以直线SB到平面PAC的距离等于点B到平面PAC的距离，为＝，所以直线SB到平面PAC的距离为. (3)不存在．理由如下：根据第(2)问可得直线SB到平面PAC的距离为.又因为SB∥平面PAC，设点Q为SB的中点，所以点Q到平面PAC的距离为.假设在平面PAC上存在点E，使得△ESB是以SB为底边，为顶角的等腰三角形，则有EQ＝SB·tan＝.因为EQ＝<，所以不存在满足条件的点E. 16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点与双曲线x2－y2＝1的右焦点重合，且椭圆C过M(，1)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)当过P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取一点Q，满足|PA|·|BQ|＝|AQ|·|PB|，证明：点Q在定直线上． 解　(1)由题知双曲线x2－y2＝1的右焦点为(，0)，也是椭圆的右焦点，所以a2－b2＝2.又因为椭圆过点(，1)，所以＋＝1，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明：设Q(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题得|PA|，|BQ|，|AQ|，|PB|均不为零．由|PA|·|BQ|＝|AQ|·|PB|，可设＝＝λ(λ>0，λ≠1)，不妨设＝λ，＝－λ，则有①　②又A，B在椭圆上，所以＋＝1　③，＋＝1　④，将①②分别代入③④，化简得(x2＋2y2－4)λ2＋4(2x＋y－2)λ＋14＝0　⑤，且(x2＋2y2－4)λ2－4(2x＋y－2)λ＋14＝0　⑥，即点Q同时满足⑤⑥，因此点Q在定直线2x＋y－2＝0上． 17．已知f(x)＝x2－(m＋2)x＋mln x，m∈R. (1)若f(1)＝0，求不等式f(x)≤x2－1的解集； (2)若函数y＝f(x)满足在(0，＋∞)上存在极大值，求m的取值范围． 解　(1)由题设条件可得，f(1)＝1－(m＋2)＝0，解得m＝－1，所以f(x)＝x2－x－ln x．由f(x)≤x2－1，可得ln x＋x－1≥0，令g(x)＝ln x＋x－1，则g′(x)＝＋1>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知g(1)＝0，所以g(x)≥0即g(x)≥g(1)，可得x≥1.综上，不等式f(x)≤x2－1的解集为[1，＋∞)． (2)f′(x)＝2x－(m＋2)＋＝＝. ①当>1，即m>2时，由f′(x)>0得x∈(0,1)∪；由f′(x)<0得x∈.故f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减，此时f(x)在x＝1处取得极大值． ②当0<<1，即0<m<2时，由f′(x)>0得x∈∪(1，＋∞)；由f′(x)<0得x∈.故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，此时f(x)在x＝处取得极大值． ③当＝1，即m＝2时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在(0，＋∞)上无极大值． ④当≤0，即m≤0时，由f′(x)<0得x∈(0,1)；由f′(x)>0得x∈(1，＋∞)．故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时f(x)在x＝1处取得极小值，无极大值． 综上可知，m的取值范围为(0,2)∪(2，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $