微练(38) 跨模块融合创新题(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(三十八)　跨模块融合创新题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图，在抛物线C：x2＝2py(p>0)上有一系列点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，n∈N*，以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn＋1彼此外切．已知x1＝1，点P1到C的焦点的距离为1，0<xn＋1<xn，an＝. (1)求p； (2)求数列{an}的通项公式； (3)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)P1，设抛物线C的焦点为F，根据题意可知|P1F|＝＋＝1，解得p＝1. (2)因为圆Pn与圆Pn＋1彼此外切，所以＝yn＋yn＋1，则(xn－xn＋1)2＝(yn＋yn＋1)2－(yn－yn＋1)2＝4ynyn＋1＝xx.因为0<xn＋1<xn，所以xn－xn＋1＝xnxn＋1，即－＝1.因为＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即＝n.故an＝n. (3)bn＝，Sn＝＋＋＋…＋，Sn＝＋＋＋…＋，两式相减得Sn＝＋＋＋＋…＋－.令Tn＝＋＋＋＋…＋，则Tn＝＋＋＋…＋.两式相减得Tn＝＋2－＝＋2×－＝－，所以Tn＝3－.所以Sn＝3－－＝3－，即Sn＝6－. 2．已知函数f(x)＝ln x－mx＋1. (1)若m＝0，求函数f(x)在点(e，f(e))处的切线方程； (2)若f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围； (3)求证：∀n∈N*，·…·<e. 解　(1)若m＝0，则f(x)＝ln x＋1，f′(x)＝，f(e)＝2，所以切线斜率k＝f′(e)＝，所以切线方程为y－2＝(x－e)，即x－y＋1＝0. (2)若对定义域内∀x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤0恒成立，即m≥恒成立，只需m≥max即可，设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝＝－，令g′(x)＝0，解得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝1，故实数m的取值范围为[1，＋∞)． (3)证明：由(2)得当m＝1时，f(x)≤0恒成立，即ln x≤x－1，将ln x≤x－1中的x替换为1＋，显然1＋≠1，则ln<1＋－1＝，故ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝＝1－<1，即ln<1＝ln e．故…<e. 3．已知点Mn在椭圆Cn：＋＝1(an>bn>0)上，An，Bn分别为Cn的左、右顶点，Pn，Qn为Cn上不同于An，Bn的两动点，Cn的长半轴长an的取值组成的数列{an}满足以下性质：当直线AnPn的斜率kAnPn与直线BnQn的斜率kBnQn恒满足kAnPn＝3kBnQn时，直线PnQn与x轴交于点Dn(－an＋1，0)． (1)求椭圆Cn的离心率； (2)证明：数列{an}是等比数列； (3)定义：无穷等比递减数列{dn}的所有项之和为S＝n＝，其中d1为{dn}的首项，q为{dn}的公比，且0<q<1.设O为坐标原点，a1＝2，Sn为凹四边形BnPnOQn的面积，求n的最大值． 解　(1)由题意，得＋＝1，则＝，所以en＝＝＝.故椭圆Cn的离心率为. (2)证明：由(1)及题意，知Cn：＋＝1，An(－an,0)，Bn(an,0)．设Pn(x1，y1)，Qn(x2，y2)．当直线PnQn的斜率为0时，点Pn，Qn关于y轴对称，此时直线AnPn的斜率与直线BnQn的斜率互为相反数，不合题意．设直线PnQn的方程为x＝my＋t.因为直线PnQn不过顶点An，Bn，所以t≠±an.联立得方程组消去x并整理，得(m2＋4)y2＋2mty＋t2－a＝0，则Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－a)＝4(m2a－4t2＋4a)，y1＋y2＝－，y1y2＝，所以my1y2＝(y1＋y2)，则＝·＝＝＝＝·＝＝3，所以t＝－an.代入Δ＝4(m2a－4t2＋4a)中验证，得Δ>0，则直线PnQn的方程为x＝my－an，所以直线PnQn经过点.因为直线PnQn与x轴交于点Dn(－an＋1，0)，所以－an＋1＝－an，则＝.故数列{an}是以为公比的等比数列． (3)由(2)知，y1＋y2＝，y1y2＝－，如图，四边形BnPnOQn的面积Sn＝S△BnPnQn－S△OPnQn＝(|BnDn|－|ODn|)·|y2－y1|＝＝＝a＝.设z＝(z≥)，则函数f(z)＝z＋在[，＋∞)上单调递增，所以f(z)≥＋＝，所以Sn≤a，当且仅当m＝0时，等号成立．又a1＝2，则由(2)可知an＝2×n－1，所以a＝4×n－1，所以数列{a}是首项为4，公比为的等比数列．所以n≤＝×＝，故n的最大值为，当且仅当m＝0时，等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $