专题10.5 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（6重难点题型+高考真题）专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题10-5 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算条件概率 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 2．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论. 【详解】由题意， 第一空： 箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球， 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为， 三次都没取到黄球的概率：. 第二空： 设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球， ， ∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：， ， ∴， ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 3．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 4．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计平均数、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出； （3）根据条件概率公式即可求出． 【详解】（1）平均年龄     （岁）． （2）设“一人患这种疾病的年龄在区间”，所以 ． （3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： , 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为． 重难点题型1 条件概率 用定义法求条件概率的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算，； （3）代入公式求． 1．（2026·广东广州·模拟预测）在道试题中有道代数题和道几何题，任意抽取道题，取出的题不再放回，则在取到至少有一题是几何题的条件下，另一题也是几何题的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.79 【知识点】实际问题中的组合计数问题、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【详解】从5题中不放回地抽取2题，总抽取方法数为：， “至少有一题是几何题”的对立事件为“两题都是代数题”，抽取方法数为：， 所以“至少有一题是几何题”包含的基本事件个数为， “两题都是几何题”，抽取方法数为：， 所以在取到至少有一题是几何题的条件下，另一题也是几何题的概率是. 2．（2026·广东深圳·模拟预测）事件与互斥，若，，则（    ） A．0.12 B．0.48 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】结合互斥事件的概率加法公式、德摩根定律与条件概率公式逐步计算即可得结果. 【详解】已知事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式，可得： ，由德摩根定律可知， 因此， 根据对立事件的概率性质，， 根据条件概率公式可得：. 3．（2026·云南玉溪·模拟预测）设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（     ） A．事件，不相互独立 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】事件的运算及其含义、计算条件概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】对于A，根据，，的关系，求出，依据独立事件的定义判断即可． 对于B，利用条件概率公式求解即可． 对于C，根据求出，和比较即可．对于D，求出，，利用条件概率公式计算即可． 【详解】对于A，已知，即 ，所以， 因，所以事件，相互独立，A错误． 对于B，根据条件概率公式得，B错误． 对于C，，而，所以，C错误． 对于D，，． 根据条件概率公式，D正确． 4．（2026·山西忻州·模拟预测）一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算条件概率 【分析】设事件为第一次和第三次摸到红球，事件为第二次摸到绿球，分别求解，再结合条件概率公式计算. 【详解】设事件：第一次和第三次摸到红球，事件：第二次摸到绿球，可得： 第一次摸红球：初始9球，4红，概率，摸后加1红，总球变为10，红球5个； 第二次摸绿球：10球中3绿，概率，摸后加1绿，总球变为11，红球仍为5个； 第三次摸红球：11球中5红，概率； 所以. 因为连续三次摸到红球的概率：； 三次摸球顺序为红，绿，红的概率：； 三次摸球顺序为红，蓝，红的概率：， 所以， 故. 5．（2026·江西九江·模拟预测）某智能健身应用进行用户调研，根据调研情况得到用户完成第一日目标的概率为0.5，若完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.8；若未完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.3．现随机抽取一名用户，已知他完成了第二日目标，则他完成了第一日目标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【详解】设事件为“用户完成第一日目标”，事件为“用户完成第二日目标”. 由题意可知：，，，， 所以， 由. 6．楚雄南华县有“世界野生菌王国”之称.某村民上山捡菌，每次独立随机选一座山（甲山、乙山、丙山，概率各为 ）.若选甲山，捡到美味牛肝菌的概率为；选乙山，捡到美味牛肝菌的概率为；选丙山，捡到美味牛肝菌的概率为.但只有捡到美味牛肝菌才会停止回家.该村民第一次就捡到美味牛肝菌的概率为 ______；已知第一次没捡到，则第二次捡到菌时来自乙山的概率为 ______. 【答案】 【难度】0.68 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】第一问利用全概率公式计算首次捡到菌的总概率，第二问结合事件独立性与条件概率公式计算指定条件下的概率. 【详解】设事件分别为第一次选甲山、乙山、丙山，事件为第一次捡到美味牛肝菌， 由题设得，，，， 根据全概率公式：， 所以第一次就捡到美味牛肝菌的概率为； 设事件为第一次没捡到，事件为第二次捡到美味牛肝菌，事件为第二次选乙山且捡到美味牛肝菌， 由于每次选山和捡菌过程相互独立，因此与第二次的事件独立， ，， ， ， 所以第一次没捡到，第二次捡到菌时来自乙山的概率为. 7．（2026·江苏南京·三模）数学王老师在一个四选一的单选题中，提问一个数学基础非常差的甲同学，当甲同学随机选了一个选项后，王老师在剩余的三个选项中剔除了一个错误选项，甲同学放弃原来的选择，并从另外两个未被剔除的选项中随机选择一个，则甲同学选对的概率为________. 【答案】/ 【难度】0.6 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】通过分类讨论甲首次选择正确、错误两种情况，结合全概率公式可得答案. 【详解】设事件为“甲第一次选对正确选项”，事件为“甲换选项后选对”， 甲随机从4个选项中选1个，故， 此时剩余3个选项均为错误选项，王老师剔除1个错误选项后， 剩余未选选项全错，因此条件概率； 甲第一次选错的概率， 此时剩余3个选项包含1个正确选项、2个错误选项， 王老师剔除1个错误选项后，剩余2个未选选项为1对1错， 甲换选项时从这2个中随机选取，因此条件概率； 根据全概率公式可得： . 故答案为：. 8．（2026·天津滨海新区·三模）已知塘沽一中甲社团有4个男生和2个女生，乙社团有3个男生和2个女生，若从甲社团中任选2人，则这2人中有一个为男生的条件下，另一个为女生的概率_____________；若先从甲社团任选2人，加入乙社团，再从乙社团任选1人，则选出的这个人是男生的概率为_____________． 【答案】 【难度】0.68 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】第一问考查条件概率的计算，可先分别计算“2人至少有1名男生”的概率和“2人为1男1女”的概率，再代入条件概率公式求解. 第二问考查全概率公式的应用，需先对从甲社团选出的2人的性别构成进行分类，分别计算每类情况对应的概率及后续从乙社团选到男生的概率，再求和得到最终结果. 【详解】(1) 记事件为“从甲社团选出的2人中至少有1名男生”，事件为“从甲社团选出的2人为1男1女”，所求概率为. 甲社团共6人，从6人中任选2人的总选法有种. ∵ 2人全为女生的选法有种， ∴ . ∵ 2人为1男1女的选法有种， ∴ . 由条件概率公式得 . (2) 设从甲社团选出的2人中男生人数为，的可能取值为0,1,2. ∵ ，此时乙社团有男生3人，总人数人，从乙选到男生的概率为； ，此时乙社团有男生人，总人数7人，从乙选到男生的概率为； ，此时乙社团有男生人，总人数7人，从乙选到男生的概率为. 由全概率公式得，最终选到男生的概率 . 9．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）小鑫在一场篮球比赛中投了3次篮，他的投篮命中率为0.4，且每球是否命中均相互独立，设他投篮命中的次数为，则的期望是________；在已知他至少命中1次的条件下，他恰好命中1次的概率为________． 【答案】 1.2 【难度】0.75 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【详解】由题意，服从二项分布，即， 所以， 设事件“恰好命中1次”， 事件“至少命中1次”， 则， ， ， 所以. 重难点题型2 相互独立事件的判断及计算 判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）事件与事件相互独立，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【详解】因为事件与事件相互独立， 所以， 则， 即， 设，则， 结合，代入公式可得， 解得或． 因为概率的范围为， 所以， 则． 2．（2026·河南许昌·三模）“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断 【详解】由，结合公式，可得，即事件互斥。 事件相互独立的定义为. 充分性：若相互独立，无法推出，即无法推出. 必要性：若，即互斥，无法推出相互独立. 综上，“事件相互独立”是“”的既不充分也不必要条件. 3．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 4．已知，，，则事件与的关系是（   ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又相互独立 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、独立事件的判断 【分析】根据概率的并集公式和独立事件的定义求解.根据且可以判断事件与互斥但不对立；根据且可以判断事件与对立；根据判断事件与独立. 【详解】，，， ， ，， ，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 故选：A. 5．（25-26高三上·山东·期中）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出与，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算即可. 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，则， 因为，则， 因为， 所以. 故选：D 6．已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（    ） A．与相互独立且 B．与不相互独立且 C．与相互独立且 D．与不相互独立且 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、独立事件的判断 【分析】根据已知判断是否成立，结合概率的性质求，即可得. 【详解】由题设，，， 所以事件与事件相互独立； 由概率的性质，有. 故选：C 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）甲乙两人抛掷一枚质地均匀的硬币，各次抛掷相互独立，每次结果为正面或反面.甲乙两人各选一个抛掷结果的三位连续序列，如“正正反”、“反正反”等，不停抛硬币，谁的序列先出现谁就获胜.若甲选择序列“反正反”，乙选择序列“反反正”，则甲获胜的概率为______________. 【答案】 【难度】0.32 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立重复试验的概率问题 【分析】先分析前两次抛掷情况，再建立相关的递推关系 【详解】设前两次结果为“正正”时，甲最终获胜的概率为：前两次结果为“正反”时，甲最终获胜的概率为：前两次结果为“反正”时，甲最终获胜的概率为，两次结果为“反反”时，甲最终获胜的概率为. 则有，所以甲获胜的概率 8．（2026·天津河西·一模）某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______． 【答案】 0.6/ 1.6/ 【难度】0.72 【知识点】二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】第一空，设事件表示“第次投篮命中”，然后根据全概率公式求解即可. 第二空，先求出每组投篮训练成功的概率，再根据二项分布的期望公式计算. 【详解】设事件表示“第次投篮命中”，则表示“第次投篮未命中”. 由题意，. 根据全概率公式可得. 每组连续投篮命中2次为成功，第一次命中概率为，若第一次命中，则第二次命中的概率为，根据分步乘法计数原理，每组投篮训练成功的概率为. 又每组投篮训练成功与否相互独立，且每组投篮训练成功的概率均为，共进行组投篮训练，所以，所以. 9．（2025·湖南·一模）某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为___________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】设投篮总次数的数学期望为，根据题意列出关于数学期望的方程求解即可. 【详解】设投篮总次数的数学期望为， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况下发生的概率为0.2，投篮总次数为， 若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2， 则投篮总次数的数学期望为， 解得 故答案为： 重难点题型3 相互独立事件概率的综合应用 1、求复杂事件的概率一般可分三步进行 （1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们； （2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； （3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算． 2、计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理． 1．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． (1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率； (2)求第局为乙、丙对打的概率； 【答案】(1) (2) 【难度】0.47 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、递推法求概率、利用全概率公式求概率 【分析】(1)将前五局中甲恰好参与了四局的情况列出来求解即可； (2)第局有甲参与的概率为，列出， 通过配凑出是等比数列，代入公式求解即可. 【详解】（1）记“前五局中甲恰好参与了四局”为事件，记某选手获胜为“√”，失利为“×”，轮空为“○”，则前五局甲恰好参与四局对应前四局的以下四类情况： ①×○√√，第五局一定参与，概率为， ②√×○√，第五局一定参与，概率为， ③√√×○，第五局一定参与，概率为， ④√√√×，第五局一定轮空，概率为， 故所求概率为. （2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为， 若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为， 若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与， 所以， 即，又因为，则， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以第局乙、丙对打，即没有甲参与的概率为. 2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）体育课上，老师组织同学们进行投篮闯关游戏，每个同学至多投三个球，只要投进两个即为闯关成功并停止投篮．已知甲每个球投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，求甲最终闯关成功的概率． (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：只投两个球闯关成功，得10分，投三个球闯关成功，得6分，闯关失败，得2分；方案二：闯关成功，得7分，闯关失败，得3分．请讨论选择哪种方案，能使甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1) (2)若，有，则选方案一， 若，有，则选方案一和方案二都行， 若，有，则选方案二． 【难度】0.69 【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用事件的独立性即可求出概率； （2）分别求出两种方案的期望，再比大小即可. 【详解】（1）记“甲最终闯关成功”为事件，则． （2）若选用方案一，记甲最终获得的积分为分，则的所有可能取值为，，． ，，， 则． 若选用方案二，记甲最终获得的积分为分，则的所有可能取值为7，3． ，， 则． 所以， 若，有，则选方案一， 若，有，则选方案一和方案二都行， 若，有，则选方案二． 3．（25-26高三上·陕西·阶段检测）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)甲 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用事件的相互独立性即可求解； （2）根据已知条件分别写出甲或乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩的分布列和数学期望，再进行比较大小即可判断. 【详解】（1）第一阶段甲次都未中的概率为， 所以进入第二阶段的概率为， 乙得分不少于分的情况包括乙投中次或次， 投中次的概率为，投中次的概率为， 所以乙得分不少于分的概率为， 因为两个阶段的比赛相互独立， 所以甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； （2）若甲参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为， 则的取值为， 所以， ， ， 所以 ； 若乙参加第一阶段的比赛，设甲、乙所在队的比赛成绩为， 则的取值为， 所以， ， ， 所以 ； 所以， 因为，所以，，所以， 所以应该由甲参加第一阶段比赛. 4．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 【答案】(1) (2)应该选择参加乙活动，理由如下： 由题意，小黄答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为， 若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加甲活动花费金额 的数学期望为； 若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加乙活动花费金额的数学期望为. 由于， 所以小黄应该选择参加乙活动. 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）结合题意，分第1题抽到选择题、第1题抽到填空题两种情况求解即可； （2）分别求出小黄参加甲、乙活动花费金额的数学期望，进而判断即可. 【详解】（1）由题意，小黄第1题抽到选择题的概率为，第1题抽到填空题的概率为， 则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为. （2）略 重难点题型4 全概率公式及其应用 全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 1．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）若甲盒中有3个红球，2个黄球，1个白球，乙盒中有个红球（），2个黄球，3个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式即可求解. 【详解】由事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过可得：， 故，即,由于，故的最大值为4. 2．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（     ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.82 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】由全概率公式及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件表示：“选取的花卉处于水肥适宜土壤”， 事件表示：“选取的花卉处于干旱缺水土壤”， 事件表示：“选取的花卉正常开花”， 则有, , , 所以 . 3．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）天气分为晴天、阴天两种状态，次日天气只由当日天气决定．若今日晴天，则次日晴天的概率为 70%，阴天的概率为 30%；若今日阴天，则次日晴天的概率为 50%，阴天的概率为 50%．已知今天是晴天，则两天后为阴天的概率为（    ） A．34% B．36% C．38% D．40% 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【详解】设事件：今天晴天；：明天晴天，：明天阴天； ：后天晴天，：后天阴天. 已知，，，，. 由全概率公式得， . 4．某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】利用条件概率，全概率公式求解. 【详解】设事件表示“抽取的智能驾驶系统发生故障”,事件表示 “故障系统来自甲供应商”,事件表示 “故障系统来自乙供应商”,事件表示“故障系统来自丙供应商”, 总采购套数是（套），所以,, 由题意可知， 由全概率公式，得总故障概率是 ， 所以甲供应商责任概率是, 乙供应商责任概率是, 丙供应商责任概率是, 所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为. 5．（2026·湖南永州·一模）某数学竞赛题库有、两类试题，类试题有6000道，类试题有4000道．某学生解答类试题正确率为，解答类试题正确率为．若从题库中随机抽取一道试题，则该生解答正确的概率是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【详解】设事件为“随机抽取的试题属于类”，事件为“随机抽取的试题属于类”，事件为“该生解答抽取的试题正确”. 由题可得，，，； 所以， 即该生解答正确的概率是. 6．从两台机器、生产的零件中，按的比例抽取样本．已知机器产出零件的合格率为，机器产出零件的合格率为．在的合格品中，一级精度率为；在的合格品中，一级精度率为．若抽取到的某件样本是一级精度，则它产自机器的概率为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】先明确各事件的概率及条件概率，先利用全概率公式计算抽到一级精度样本的总概率，再利用贝叶斯公式计算该一级精度样本产自机器A的条件概率. 【详解】设事件A表示“样本产自机器A”，事件B表示“样本产自机器B”，事件C表示“样本为一级精度”. 则， ， ， 所以， 所以. 重难点题型5 贝叶斯公式及其应用 1、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即． 1．某视频网站中“”合成视频占有率为．某鉴伪技术在视频是伪造的情况下，有的可能鉴定为“”；在视频真实的情况下，有的可能误判为“”．已知某个视频被鉴定为“”，则该视频确为“”合成的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、利用贝叶斯公式求概率 【详解】设A表示“视频为合成”，B表示“被鉴定为”， 则，，． 由贝叶斯公式，， 代入得， 故该视频确为“”合成的可能性约为． 2．某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】先用全概率公式求出顾客加珍珠的总概率，再用贝叶斯公式计算在加珍珠条件下点乌龙奶芙的概率． 【详解】设事件为“顾客点乌龙奶芙”，事件为“顾客点生椰拿铁”，事件为“顾客点单加珍珠”， 由题意：， 所以， 所以， 因此，某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为． 3．在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】先利用全概率公式计算任选一人为流感患者的概率，再通过贝叶斯公式求解该患者来自丙地区的条件概率. 【详解】设事件为“选取的人是流感患者”，事件分别表示此人来自甲、乙、丙地区. 由三个地区人口数之比为，可得各地区的选取概率： ，，， 由题意得各地区患流感的条件概率：，，. 根据全概率公式，任选一人为流感患者的概率为： . 再根据贝叶斯公式，已知此人患流感时来自丙地区的概率为： . 4．某题库中有，，三类题目，所占比例分别为，，．小明答对，，三类题目的概率分别为，，．若他从该题库中任选一题作答并且回答正确，则此题来自类题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】借助贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设事件、、分别表示“小明从该题库中选中、、类题目”， 事件表示“小明答对了选中的题目”， 则 . 5．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（     ）台车床的概率最大 A．1 B．2 C．3 D．无法判断 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式求解即可. 【详解】设事件为“取到次品”，事件为“零件来自第台机床”（）. 由题意知，，；，；，， 由全概率公式得 . 所以， ， ， 因为，所以次品来自第2台车床的概率最大. 6．已知某种病毒对人的感染率为，针对该病毒的检测试剂，在感染该病毒的人中检测呈阳性的概率为0.9，在未感染该病毒的人中检测呈阳性的概率为0.02．若某人的检测结果为阳性，则他确实感染该病毒的概率为__________. 【答案】 【难度】0.68 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】利用贝叶斯公式求解即可. 【详解】设事件为“某人感染该病毒”，为“检测结果为阳性”，则所求概率为. 因为， 所以， 所以． 7．（2026·甘肃平凉·模拟预测）有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________. 【答案】 【难度】0.5 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算求解即可. 【详解】记事件：随机选取的是批零件；事件：随机选取的是批零件， 事件：第一次检验不合格；事件：第一次检验合格，第二次检验不合格， 事件：两批零件整体不合格（即，且与互斥）， 由题意可知，， 所以， ，， ， 所以， 所以第二次检验后整体不合格的概率为. 8．（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”，根据题意，第一个空，利用全概率公式，由求解，第二个空，利用贝叶斯公式求解； 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 重难点题型6 综合应用 1．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）为了弘扬“长征精神”，加强学生对长征知识的了解，某中学在高一、高二年级举行了“纪念长征胜利90周年”知识竞赛.为了解学生对某一重要知识点的掌握情况，组委会随机抽查了该校两个年级各80名学生对考查该知识点的选择题的答题数据，其中高一学生选择正确的人数为60，高二学生选择正确的人数为64.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计该校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从该校高一年级、高二年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，高一学生选择正确的概率为，高二学生选择正确的概率为.设高一年级学生和高二年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)， (3) 【难度】0.79 【知识点】用频率估计概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【详解】（1）高一年级随机抽查了80名学生，其中选择正确的有60人， 所以，高一年级学生该题选择正确的概率估计值为：; （2）高二抽查80人，答对64人，用频率估计概率，设高二答对概率为：， 所以， ，， 所以 即，； （3）根据题意，如果没有掌握知识点，答对的概率为随机四选一， 设高一学生掌握该知识点的概率为，高二学生掌握该知识点的概率为, 由全概率公式，高一学生答对的概率为：，即, 高二学生答对的概率为：，即，所以. 2．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）某农场对两块试验田种植的同一种农作物产量进行抽样统计，甲试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差，乙试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差． (1)求全部100株样本单株产量的总体平均数与总体方差； (2)已知甲试验田的单株作物评为优质品的概率为，乙试验田的单株作物评为优质品的概率为．现对这100株样本采用分层抽样的方式抽取5株，若从这5株中随机抽取1株检测，求该株为优质品的概率． 【答案】(1)85，27.4 (2) 【难度】0.74 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据平均数、方差的求法求得总体平均数与总体方差； （2）根据全概率公式求得正确答案. 【详解】（1）总体平均值： （2）分层抽样按各层容量之比分配， 抽取的 株中来自甲、乙试验田的株数之比为 ， 即甲 株、乙 株， 从这 株中随机抽取 株， 该株来自甲、乙试验田的概率依次为 、． 记 为“抽到的这 株为优质品”， 由全概率公式得 ． 3．若一位朋友从外地来看望小文，已知该朋友坐火车、轮船、汽车、飞机的概率分别是，，，，且他坐火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别是，，，0． (1)求该朋友迟到的概率； (2)若该朋友迟到了，推测他坐哪种交通工具的可能性大． 【答案】(1) (2)坐火车过来的可能性大． 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式计算即可； （2）根据贝叶斯公式计算即可得出结论． 【详解】（1）设“坐火车来”，“坐轮船来”，“坐汽车来”，“坐飞机来”，“该朋友迟到了”， 则，，，，，， ，． 所以． 所以该朋友迟到的概率为． （2）由贝叶斯公式分别可以算得， ，，，． 比较以上四个概率值，可见他坐火车的可能性大． 4．（26-27高三上·湖北·阶段检测）某科技园区有甲、乙、丙三家企业，产出的模型数量之比为，三家企业的模型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的模型中随机抽取1个模型. (1)求随机抽取的这个模型存在代码漏洞的概率； (2)如果抽到的模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.82 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）根据条件，利用全概率公式，即可求解； （2）利用（1）中结果，再由条件概率公式和贝叶斯公式，即可求解. 【详解】（1）设事件、、分别表示抽取的AI模型出自甲、乙、丙三家企业，事件表示抽取的AI模型存在代码漏洞， 由题设条件可知，， ， 由全概率公式得 . （2）由（1）知，，， 所以. 5．某景点提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是． (1)已知有6个家庭第一次购买产品，且购买产品的家庭个数比例为2：1，现从该6个家庭中抽出3个家庭，记录其购买产品的情况，记为购买产品的家庭个数，求的分布列和数学期望； (2)已知某家庭第二次购买的是产品，求该家庭第一次购买的是产品的概率； (3)现有6个家庭第二次购买产品，则有多少个家庭购买产品的概率最大？并求最大的概率值． 【答案】(1) 0 1 2 ，； (2)； (3)有4家选择产品的概率最大，最大概率为． 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）由比例确定家庭数分别为4和2，抽取3个家庭中的个数服从超几何分布，列出分布列并求期望； （2）利用全概率公式求第二次买的总概率，再用贝叶斯公式反推第一次买的条件概率； （3）第二次购买的家庭数 ，用相邻项比值法确定使概率最大的值，并计算对应最大概率． 【详解】（1）购买，产品的家庭个数分别为4个和2个， 所以的可能取值为0，1，2， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望； （2）设“第次购买产品”，（i=1，2），则“第次购买产品”， 则与为对立事件， 由题意， 故． ， 该家庭第一次购买的是产品的概率； （3）每个家庭第二次购买产品的概率为 设有家选择产品，每家购买产品概率均为，故， 的可能取值为，设有家选择产品的概率最大，则 故 即 整理得， 又，故， 此时 故有4家选择产品的概率最大，最大概率为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10-5 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 2．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 3．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 4．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 重难点题型1 条件概率 用定义法求条件概率的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算，； （3）代入公式求． 1．（2026·广东广州·模拟预测）在道试题中有道代数题和道几何题，任意抽取道题，取出的题不再放回，则在取到至少有一题是几何题的条件下，另一题也是几何题的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）事件与互斥，若，，则（    ） A．0.12 B．0.48 C．0.5 D．0.6 3．（2026·云南玉溪·模拟预测）设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（     ） A．事件，不相互独立 B． C． D． 4．（2026·山西忻州·模拟预测）一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江西九江·模拟预测）某智能健身应用进行用户调研，根据调研情况得到用户完成第一日目标的概率为0.5，若完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.8；若未完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.3．现随机抽取一名用户，已知他完成了第二日目标，则他完成了第一日目标的概率为（   ） A． B． C． D． 6．楚雄南华县有“世界野生菌王国”之称.某村民上山捡菌，每次独立随机选一座山（甲山、乙山、丙山，概率各为 ）.若选甲山，捡到美味牛肝菌的概率为；选乙山，捡到美味牛肝菌的概率为；选丙山，捡到美味牛肝菌的概率为.但只有捡到美味牛肝菌才会停止回家.该村民第一次就捡到美味牛肝菌的概率为 ______；已知第一次没捡到，则第二次捡到菌时来自乙山的概率为 ______. 7．（2026·江苏南京·三模）数学王老师在一个四选一的单选题中，提问一个数学基础非常差的甲同学，当甲同学随机选了一个选项后，王老师在剩余的三个选项中剔除了一个错误选项，甲同学放弃原来的选择，并从另外两个未被剔除的选项中随机选择一个，则甲同学选对的概率为________. 8．（2026·天津滨海新区·三模）已知塘沽一中甲社团有4个男生和2个女生，乙社团有3个男生和2个女生，若从甲社团中任选2人，则这2人中有一个为男生的条件下，另一个为女生的概率_____________；若先从甲社团任选2人，加入乙社团，再从乙社团任选1人，则选出的这个人是男生的概率为_____________． 9．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）小鑫在一场篮球比赛中投了3次篮，他的投篮命中率为0.4，且每球是否命中均相互独立，设他投篮命中的次数为，则的期望是________；在已知他至少命中1次的条件下，他恰好命中1次的概率为________． 重难点题型2 相互独立事件的判断及计算 判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）事件与事件相互独立，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南许昌·三模）“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 4．已知，，，则事件与的关系是（   ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又相互独立 5．（25-26高三上·山东·期中）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率为（   ）    A． B． C． D． 6．已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（    ） A．与相互独立且 B．与不相互独立且 C．与相互独立且 D．与不相互独立且 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）甲乙两人抛掷一枚质地均匀的硬币，各次抛掷相互独立，每次结果为正面或反面.甲乙两人各选一个抛掷结果的三位连续序列，如“正正反”、“反正反”等，不停抛硬币，谁的序列先出现谁就获胜.若甲选择序列“反正反”，乙选择序列“反反正”，则甲获胜的概率为______________. 8．（2026·天津河西·一模）某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______． 9．（2025·湖南·一模）某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为___________． 重难点题型3 相互独立事件概率的综合应用 1、求复杂事件的概率一般可分三步进行 （1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们； （2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； （3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算． 2、计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理． 1．（26-27高三上·江苏南京·开学考试）乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． (1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率； (2)求第局为乙、丙对打的概率； 2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）体育课上，老师组织同学们进行投篮闯关游戏，每个同学至多投三个球，只要投进两个即为闯关成功并停止投篮．已知甲每个球投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，求甲最终闯关成功的概率． (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：只投两个球闯关成功，得10分，投三个球闯关成功，得6分，闯关失败，得2分；方案二：闯关成功，得7分，闯关失败，得3分．请讨论选择哪种方案，能使甲获得积分的数学期望更大． 3．（25-26高三上·陕西·阶段检测）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 4．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 重难点题型4 全概率公式及其应用 全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 1．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）若甲盒中有3个红球，2个黄球，1个白球，乙盒中有个红球（），2个黄球，3个白球，这些球的大小、材质完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（     ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.82 3．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）天气分为晴天、阴天两种状态，次日天气只由当日天气决定．若今日晴天，则次日晴天的概率为 70%，阴天的概率为 30%；若今日阴天，则次日晴天的概率为 50%，阴天的概率为 50%．已知今天是晴天，则两天后为阴天的概率为（    ） A．34% B．36% C．38% D．40% 4．某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南永州·一模）某数学竞赛题库有、两类试题，类试题有6000道，类试题有4000道．某学生解答类试题正确率为，解答类试题正确率为．若从题库中随机抽取一道试题，则该生解答正确的概率是__________． 6．从两台机器、生产的零件中，按的比例抽取样本．已知机器产出零件的合格率为，机器产出零件的合格率为．在的合格品中，一级精度率为；在的合格品中，一级精度率为．若抽取到的某件样本是一级精度，则它产自机器的概率为______． 重难点题型5 贝叶斯公式及其应用 1、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即． 1．某视频网站中“”合成视频占有率为．某鉴伪技术在视频是伪造的情况下，有的可能鉴定为“”；在视频真实的情况下，有的可能误判为“”．已知某个视频被鉴定为“”，则该视频确为“”合成的可能性约为（   ） A． B． C． D． 2．某奶茶店两款招牌饮品，“乌龙奶芙”的顾客点单率为，“生椰拿铁”的点单率为；点乌龙奶芙的顾客选择加珍珠的概率为，点生椰拿铁的顾客选择加珍珠的概率为，若已知某顾客点单时加了珍珠，则该顾客点的饮品是乌龙奶芙的概率为（    ） A． B． C． D． 3．在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 4．某题库中有，，三类题目，所占比例分别为，，．小明答对，，三类题目的概率分别为，，．若他从该题库中任选一题作答并且回答正确，则此题来自类题目的概率为（    ） A． B． C． D． 5．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（     ）台车床的概率最大 A．1 B．2 C．3 D．无法判断 6．已知某种病毒对人的感染率为，针对该病毒的检测试剂，在感染该病毒的人中检测呈阳性的概率为0.9，在未感染该病毒的人中检测呈阳性的概率为0.02．若某人的检测结果为阳性，则他确实感染该病毒的概率为__________. 7．（2026·甘肃平凉·模拟预测）有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________. 8．（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 重难点题型6 综合应用 1．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）为了弘扬“长征精神”，加强学生对长征知识的了解，某中学在高一、高二年级举行了“纪念长征胜利90周年”知识竞赛.为了解学生对某一重要知识点的掌握情况，组委会随机抽查了该校两个年级各80名学生对考查该知识点的选择题的答题数据，其中高一学生选择正确的人数为60，高二学生选择正确的人数为64.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计该校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从该校高一年级、高二年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，高一学生选择正确的概率为，高二学生选择正确的概率为.设高一年级学生和高二年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 2．（26-27高三上·贵州黔东南·开学考试）某农场对两块试验田种植的同一种农作物产量进行抽样统计，甲试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差，乙试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差． (1)求全部100株样本单株产量的总体平均数与总体方差； (2)已知甲试验田的单株作物评为优质品的概率为，乙试验田的单株作物评为优质品的概率为．现对这100株样本采用分层抽样的方式抽取5株，若从这5株中随机抽取1株检测，求该株为优质品的概率． 3．若一位朋友从外地来看望小文，已知该朋友坐火车、轮船、汽车、飞机的概率分别是，，，，且他坐火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别是，，，0． (1)求该朋友迟到的概率； (2)若该朋友迟到了，推测他坐哪种交通工具的可能性大． 4．（26-27高三上·湖北·阶段检测）某科技园区有甲、乙、丙三家企业，产出的模型数量之比为，三家企业的模型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的模型中随机抽取1个模型. (1)求随机抽取的这个模型存在代码漏洞的概率； (2)如果抽到的模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率. 5．某景点提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是． (1)已知有6个家庭第一次购买产品，且购买产品的家庭个数比例为2：1，现从该6个家庭中抽出3个家庭，记录其购买产品的情况，记为购买产品的家庭个数，求的分布列和数学期望； (2)已知某家庭第二次购买的是产品，求该家庭第一次购买的是产品的概率； (3)现有6个家庭第二次购买产品，则有多少个家庭购买产品的概率最大？并求最大的概率值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $