微练(37) 导数中常见的放缩技巧(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 微练（三十七） 导数中常见的放缩技巧 1.已知函数fx)=cosx,x∈0，f(r2) (1)求证：tanx:fx)≤x; (2)求证：2ex)≥(1+x)2-x2) 证明(1)依题意，tanxfx)=sin.记函数gx)=sinx-x,则当x∈0，f(r2)时，g'()=cosx-1≤0，所 以gr)在0，f(r2)上是减函数，所以gx)≤g(O)=0,即tanxfx)≤x. (2)要证2ex)≥(1+x)2-x2),即证e·cosx≥1+x2-x22,x∈0,1f(r2)）.因为e≥x+1,又由 (1)可知，当x∈0，\f(r2)时，sinx≤x,所以e'cos x=e\avs4\al\co1(1-2sin2\f(x2)≥(c+1)1-2 Ab\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\col(\f(x2)))2)=(1+x)\a\vs4\al\co1(1-\f (x22)).2e*f(x)=(1+x)(2-x2). 2.(2025·正定模拟)已知函数fx)=xnx+a+1(a∈R). (1)若fx)≥0恒成立，求a的取值范围； (2)当x>l时，证明：enx>e(c-1). 解(1)由已知得，-a≤lnx+1x在(0，+∞)上恒成立，设gx)=nx+1x,则g'(x)=1x-1x2=x-1x2,令g '(x)>0,得x>1,令g'()<0,得0<x<1,所以gx)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以gx)≥g(1) =1,即-a≤1，所以a≥一1，即a的取值范围为[-1，十∞). (2)证明：由(1)知a≥一1时，x)≥0恒成立，取a=一1，得lnx≥x一1x,当且仅当x=1时等号成立.所以当 >l时，eln>exx-1x,设hx)=ex-ex,则h'(x)=ex-e,当>1时，h'x)>0,所以hx)=e-ex在(1， 十∞)上单调递增，所以当x>l时，hx>h(I)=0,所以e>erx.所以当x>l时，exxe,exx-1>e(c1).由此 可证，当x>l时，elnx>e(c-l)成立. 3.己知函数fx)=lnx,g(x)=ax-12. (1)若fx)gx)在(1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围； (2)求证：1+\f(1n+12)1+\f(2n+12))1+1f(nn+12)<e. 解(1)依题意得，fx)g(x)等价于lnx-ax-12<0.记函数hx)=lnx-ax-12,则h'x)=lx-a2 =2-ax2x.若a≤0，则h'(x)>0,hx)在(1，十∞)上单调递增.又h(1)=0,则h(x>h(1)=0,即fx)gx)不恒成立.若 0<a<2,则2a>l,当x∈avs4\al\co1(1,f(2a))时，h'x)>0,所以hx)在avs4\al\co1(1,\f(2a)上单调递 增，则hx)>(1)=0,所以x)gx)不恒成立.若a≥2，因为x∈(1，+∞)，所以h'(x)<0,则hx)在(1，+∞)上单 调递减，所以h(x)h(1)=0,即fx)g(x)在(1，十∞)上恒成立.综上，实数a的取值范围是[2，十∞). (2)由(1)可知，当a=2时，fx)gx)在(1，+∞)上成立，即lnxx-1.令x=1+kn+12>1,k=1,2,…,n ,In1+\f(k n+1 2))<k n++1 .n1+\f(k n+1 2))=In\bllc\[rc\](alvs4\allcol(1+\ f(1\alvs4\al\col(1+\f(2\alvs4\al\col(1+\f(n (vD1)2)))<1 n+1 2+2 n+1 2+.+nn+1 2=nn+1 2n+12=n2n+1<12.所以1+\f(1n+12)1+f(2n+12))1+f(nn+1 2)<e. ·独家授权侵权必究·