微练(32) 不等式(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(三十二)　不等式 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·北京高考)已知a>0，b>0，则(C) A．a2＋b2>2ab B. ＋≥ C．a＋b> D. ＋≤ 解析　对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于BD，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6<＝8＝，＋＝2＋4＝6>＝4＝，故BD错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2>，故C正确．故选C. 2．(2025·广东一模)已知a>0，b>0，a＋b＝4，则ab的最大值为(C) A．1 B．2 C．4 D．不存在 解析　由基本不等式得：ab≤2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选C. 3．若正实数a，b满足a2＋b2＝m，则a＋b的最大值为(A) A. B.m C．2 D．2m 解析　因为a2＋b2＝m，a>0，b>0，所以≤，即a＋b≤·＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以a＋b的最大值为.故选A. 4．(2025·攀枝花模拟)已知a，b∈R，下列命题中正确的是(D) A．若ab＝1，则a＋b≥2 B．若a>b，则tan a－tan b>0 C．若a>b，则ln(a－b)>0 D．若a>b>0，则a＋>b＋ 解析　对于A：当a＝－2，b＝－，满足ab＝1，但是a＋b＝－<2，故A错误；对于B：当a＝π，b＝，满足a>b，但是tan a－tan b＝tan π－tan ＝－<0，故B错误；对于C：若a＝1，b＝0，满足a－b>0，但是ln(a－b)＝0，故C错误；对于D：因为y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，若a>b>0，则a－>b－，所以a＋>b＋，故D正确．故选D. 5．(2025·湘豫名校联考)已知点(m，n)是函数y＝x－1在第一象限内的图象上的一点，则＋的最小值为(A) A．4 B．3 C．2 D．1 解析　由题意可知，m>0，n>0且有n＝m－1＝，所以＋＝＋4m≥2＝4，当且仅当时，即当m＝时，等号成立，故＋的最小值为4.故选A. 6．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项和几何中项的定义与今天大致相同．若2a＋2b＝1，则(4a＋1)(4b＋1)的最小值为(D) A. B. C. D. 解析　不妨设m＝2a，n＝2b，则m>0，n>0，所以1＝m＋n≥2，当且仅当m＝n＝时取等号，即0<mn≤，当且仅当m＝n＝时取等号，所以(4a＋1)(4b＋1)＝(m2＋1)(n2＋1)＝(mn)2＋m2＋n2＋1＝(mn)2＋(m＋n)2－2mn＋1＝(mn)2－2mn＋2＝(mn－1)2＋1，又0<mn≤，所以当mn＝时，(4a＋1)(4b＋1)取得最小值.故选D. 7．(2025·安徽一模)已知x>0，y>0，x＋3y＝x3y2，则＋的最小值为(D) A．2 B. C．2 D．2 解析　已知x>0，y>0，x＋3y＝x3y2，所以＋＝x2y，则2＝＋＋＝＋＝＋x2y＝＋4x2≥2＝12，所以＋≥2，当且仅当＝4x2，即x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为2.故选D. 8．若函数y＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象所过定点恰好在椭圆＋＝1(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为(C) A．6 B．12 C．16 D．18 解析　由题意得，函数y＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象所过定点为(3,1)，则＋＝1，所以m＋n＝(m＋n)·＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即m＝12，n＝4时等号成立．故选C. 二、多项选择题 9．已知a>0，b>0，若a＋2b＝1，则(ACD) A．ab的最大值为 B．a2＋b2的最小值为1 C.＋的最小值为8 D．2a＋4b的最小值为2 解析　对于A，由基本不等式可得a＋2b＝1≥2，解得ab≤，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以A正确．对于B，a2＋b2＝(1－2b)2＋b2＝5b2－4b＋1＝52＋，当且仅当b＝，a＝时，a2＋b2取到最小值，故B错误．对于C，由＋＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以C正确．对于D,2a＋4b≥2＝2＝2，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以D正确．综上，选ACD. 10．(2025·辽宁名校联盟模拟)已知a>0，b>0，则下列结论正确的是(BCD) A．若a＋b＝1，则a2＋4b2≥ B．若a＋b＝1，则＋的最大值为 C．若a＋b＝2，则＋的最小值为1 D．若a＋b＝2，则＋的最大值为 解析　由题意得a2＋4b2＝(1－b)2＋4b2＝52＋≥，A项错误；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以＋≤(当且仅当a＝b＝时取等号)，B项正确；＋＝＋＝＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]·≥1，当且仅当a＝b＝1时取等号，C项正确；＋＝＝，又因为a＋b＝2≥2⇒0<ab≤1，所以＋＝，设t＝1－ab，t∈[0,1)，则＋＝＝＝≤＝，当且仅当t＋2＝⇒t＝2－2，即ab＝3－2时取等号，所以＋的最大值为，D项正确．故选BCD. 11．已知函数f(x)＝x＋(x>0)，若f(a)＝f(b)，且a<b，则下列不等式成立的有(ABC) A．ab＝1 B．a2＋b2>2 C.＋≥2 D．logab<logba 解析　因为f(x)＝x＋(x>0)，f(a)＝f(b)，所以a＋＝b＋(a>0，b>0)，即a－b＝－＝.因为a<b，所以a－b≠0，所以＝1，即ab＝1，故A正确．因为a<b，ab＝1，所以a2＋b2>2ab＝2，故B正确.＋≥2＝2，当且仅当即时“＝”成立，故C正确．因为ab＝1，所以a＝，b＝，所以logab＝logba＝－1，故D错误．故选ABC. 三、填空题 12．(2025·山西一模)正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋9y的最小值是_16_. 解析　由正数x，y满足x＋y＝xy，得＋＝1，则x＋9y＝(x＋9y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝3y＝4取等号，所以x＋9y的最小值是16. 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC＝，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a＋4c的最小值为_18_. 解析　 如图所示，则△ABC的面积为ac sin＝a·2sin＋c·2sin，则ac＝2a＋2c，所以＋＝，显然a，c>0，故a＋4c＝(a＋4c)·×2＝2×≥2＝18，当且仅当即时取等号．所以a＋4c的最小值为18. 14．(2025·江西一模)已知直线emx－y(em＋1)2＋1＝0(m∈R)的斜率为k，则k的最大值为 . 解析　k＝＝≤＝，当且仅当m＝0时取等号，所以k的最大值为. 能力提升练 15.若实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且x>y>z，则的取值范围为(A) A. B. C. D．(－1,1) 解析　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以y＝－(x＋z)且x>－(x＋z)>z，故－2<<－且x>0，所以－<＋≤－2，故－≤<－，－1≤<－，所以2＝＝＝1＋＝1＋∈，所以∈，故选A. 16．(2025·江西一模)已知幂函数f(x)＝(n2－6n＋9)xn－3在(0，＋∞)上单调递增，若正数a，b满足3a＋4b＝n，则＋的最小值为_12_. 解析　因为幂函数f(x)＝(n2－6n＋9)xn－3在(0，＋∞)上单调递增，则解得n＝4，正数a，b满足3a＋4b＝4，则＋＝(3a＋4b)＝≥＝12，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，＋的最小值为12. 学科网（北京）股份有限公司 $