微练(30) 基本初等函数、函数与方程(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(三十)　基本初等函数、函数与方程 基础过关练 一、单项选择题 1．函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(C) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析　因为函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)在上单调递减，所以函数f(x)最多只有一个零点．因为f(0)＝5－lg 1＝5>0，f(1)＝3－lg 3>0，f(2)＝1－lg 5>0，f(3)＝－1－lg 7<0，所以函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点所在的区间是(2,3)．故选C. 2．已知函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2,4)上存在零点，则实数m的取值范围是(D) A．(－∞，－18) B．(5，＋∞) C．(5,18) D．(－18，－5) 解析　由函数零点存在定理可知，若函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2,4)上存在零点，显然函数为增函数，只需满足f(2)·f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18<m<－5，所以实数m的取值范围是(－18，－5)．故选D. 3．(2025·南昌一模)已知f(x)＝则方程f(x)＝8所有的根之和为(A) A．1 B．2 C．5 D．7 解析　若x<0，由x2－2x＝8⇒(x＋2)(x－4)＝0，所以x＝－2；若x>0，由2x＝8⇒x＝3.因为－2＋3＝1，所以方程f(x)＝8的所有根的和为1.故选A. 4．(2025·桂林模拟)已知a＝，3b＝5,5c＝8，则(C) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a 解析　由3b＝5,5c＝8，得b＝log35，c＝log58.因为2＝33＝27>25＝52，所以3>5，所以＝log33>log35，所以a>b.因为2＝53＝125>64＝82，所以5>8，所以＝log55>log58，所以a>c.因为＝＝＝≥＝＝＝＝2>1，所以b>c.综上所述，c<b<a，故选C. 5．(2025·福建模拟)已知函数y＝log2(ax2－x)在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范围为(D) A. B. C. D．[1，＋∞) 解析　令t＝ax2－x，因为函数y＝log2(ax2－x)在区间(1,2)上单调递增，所以函数y＝log2(ax2－x)在区间(1,2)上有意义，且t＝ax2－x在(1,2)上单调递增，所以a≠0，则或解得a≥1，所以a的取值范围为[1，＋∞)．故选D. 6．(2024·北京高考)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(B) A．log2< B．log2> C．log2<x1＋x2 D．log2>x1＋x2 解析　因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝2x1，y2＝2x2，且x1≠x2，则2x1≠2x2，所以y1＋y2＝2x1＋2x2>2＝2，所以>>0，所以log2>log2＝，故选B. 7．(2025·贵州一模)20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级约为(精确到0.1，参考数据：lg 2≈0.3)(A) A．4.4 B．4.7 C．5 D．5.4 解析　根据题意可知这次地震的震级为：M＝lg 50－lg 0.002＝lg＝lg 25 000＝lg＝5－2lg 2≈5－0.6＝4.4；因此可知这次地震的震级约为4.4级．故选A. 8．若f(x)为R上的偶函数，且f(x)＝f(4－x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝3|sin πx|－f(x)在区间[－1,5]内的所有零点的和是(A) A．20 B．18 C．16 D．14 解析　若f(x)为R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，且f(x)＝f(4－x)，则f(－x)＝f(4－x)，f(x)的周期T＝4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，则当x∈[－2,0)时，f(x)＝x－1，即可画出函数f(x)的图象，如图．函数y＝3sin πx的周期是2，最大值为3，把函数y＝3sin πx在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即可得到y＝3|sin πx|的图象．由图可知y＝f(x)与y＝3|sin πx|的图象在区间[－1,5]内一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线x＝2对称，所以g(x)在区间[－1,5]内的所有零点的和是20. 二、多项选择题 9．已知函数f(x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(AB) A．f(x)的定义域是(－6,4) B．f(x)有最大值 C．不等式f(x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．f(x)在[0,4]上单调递增 解析　由题意可得解得－6<x<4，即f(x)的定义域是(－6,4)，则A正确；f(x)＝log2(－x2－2x＋24)，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1,4)上单调递减，又y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝2log25，则B正确；因为f(x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f(－4)＝f(2)＝4，所以不等式f(x)<4的解集是(－6，－4)∪(2,4)，则C错误；因为f(x)在(－1,4)上单调递减，所以D错误．故选AB. 10．已知函数f(x)＝4x＋＋2，则下列说法正确的是(BD) A．f(x)在(－∞，0)上单调递增 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象关于点(0,1)对称 D．不等式f(x＋1)<的解集是(－2,0) 解析　对于A，当x<0时，f′(x)＝4xln 4－ln 4＝(4x－4－x)ln 4<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，故A错误；对于B，f(x)的定义域为R，f(－x)＝4－x＋＋2＝＋4x＋2＝f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称，故B正确；对于C，因为f(x)＋f(－x)＝2＋4>2，故函数f(x)的图象不关于点(0,1)对称，故C错误；对于D，由f(x＋1)＝4x＋1＋＋2<，得(4x＋1)2－×4x＋1＋1<0，则<4x＋1<4，可得－1<x＋1<1，解得－2<x<0，因此不等式f(x＋1)<的解集是(－2,0)，故D正确．故选BD. 11．已知函数f(x)＝，则(AD) A．不等式|f(x)|<的解集是(－1,1) B．∀x∈R，有f(－x)＝f(x) C．f(x)在R上单调递减 D．f(x)的值域为(－1,1) 解析　对于A，|f(x)|<，即－<<，即－<1－<，即<<，即<2x＋1<3，即<2x<2，所以－1<x<1，故A正确；对于B，f(－x)＝＝＝－f(x)，故B错误；对于C，f(x)＝1－，因为u＝2x＋1在R上单调递增，且u>1，y＝1－在u>1时单调递增，所以f(x)在R上单调递增，故C错误；对于D，记y＝f(x)＝1－，显然y≠1，则2x＝，由2x>0得，>0，解得－1<y<1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)，故D正确．综上，选AD. 三、填空题 12．已知3x＝，y·log33＝1，则x＋y＝_2－log32_. 解析　因为3x＝，y·log33＝1，所以x＝log3＝1－log32，y＝1，所以x＋y＝2－log32. 13．已知函数f(x)＝ln x＋b＋1的零点在(1，e)内，则b的取值范围为_(－1,0)∪(0,1)_． 解析　当b＝0时，f(x)＝－ln x＋1，令f(x)＝0得x＝e∉(1，e)；当b≠0时，易知f(x)在(0，＋∞)上单调，所以f(1)·f(e)＝(b＋1)·<0，即－1<b<1，且b≠0，所以b∈(－1,0)∪(0,1)． 14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0,2]上单调递减，f(x＋2)为偶函数，若f(x)＝m在[0,12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝_24_. 解析　由f(x＋2)为偶函数，可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是奇函数，所以f(x)是周期函数，周期为8.作出函数f(x)在[0,12]上的大致图象趋势如图所示，作出直线y＝m，由图可知，若f(x)的图象与直线y＝m在[0,12]上有4个交点，则f(2)<m<0.不妨记x1<x2<x3<x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝2×2＋2×10＝24. 能力提升练 15.(多选题)已知函数f(x)＝ex＋2x－2，g(x)＝2ln x＋x－2的零点分别为x1，x2，则(ACD) A．2x1＋x2＝2 B．x1x2＝ex1＋ln x2 C．x1＋x2> D．2x1x2< 解析　对于A，由题知ex1＋2x1－2＝0,2ln x2＋x2－2＝0，所以ex1＋2x1＝2ln x2＋x2＝2，即ex1＋2ln ex1＝2ln x2＋x2＝2，所以ex1＝x2，故2x1＋x2＝2x1＋ex1＝2，故A正确；对于B，由f(x)＝0，g(x)＝0得ex＝－2x＋2，ln x＝－x＋1，故函数y＝ex与y＝－2x＋2的图象交点的横坐标和y＝ln x与y＝－x＋1的图象交点的横坐标即为函数f(x)和g(x)的零点x1，x2，如图，由图象性质可知0<x1<，1<x2<2，又由A得ex1＝x2，故x1＝ln x2，所以x1x2＝x1ex1<ex1<ex1＋x1＝ex1＋ln x2，故B错误；对于C，由2ln x2＋x2＝2，x1＝ln x2以及1<x2<2得，x1＋x2＝ln x2＋x2＝＝1＋x2>>，故C正确；对于D，由A，B得ex1＝x2,0<x1<，2x1＝2－ex1<1，所以2x1x2＝2x1ex1＝(2－ex1)ex1<ex1<，故D正确． 　　　 16．(2025·泉州一模)如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿射线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB＝y)．令P与Q同时分别从A，C出发，则数学家纳皮尔定义x为y的对数中，x与y的对应关系就是y＝107，其中e为自然对数的底．若点P从线段AB的中点运动到靠近B的四等分点，点Q同时从Q1运动到Q2，则＝ . 解析　令y＝，则＝107，整理得x＝107ln 2，即CQ1＝107ln 2，令y＝，则＝107，整理得x＝107ln 4，即CQ2＝107ln 4，所以＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $