微练(28) 最值、范围问题(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(二十八)　最值、范围问题 1．(2025·十堰四调)已知点A，B在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，O为原点，且△OAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，斜边长为4. (1)求抛物线C的方程； (2)若点P在圆Q：x2＋(y＋4)2＝4上，过点P分别作直线l1，l2与抛物线C相切于M，N两点，求tan∠MPN的取值范围． 解　(1)由题意知，A，B两点关于y轴对称，设点B在y轴右侧，则xB＝yB＝2，即点B(2,2)，将点B的坐标代入抛物线方程可得4p＝4，解得p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y. (2)不妨设点N、M分别在第一、二象限，直线MN的方程为y＝mx＋n，设点M(x1<0)、N(x2>0)，联立得x2－2mx－2n＝0，Δ＝4m2＋8n>0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝2m，x1x2＝－2n，由y＝得y′＝x，则直线PM的斜率为k1＝x1，所以直线PM的方程为y－＝x1(x－x1)，即y＝x1x－，同理可知，直线PN的斜率为k2＝x2，直线PN的方程为y＝x2x－，联立直线PM、PN的方程得x1x－＝x2x－，解得xP＝＝m，则yP＝x2·－＝＝－n，故点P(m，－n)， 因为点P在圆Q上，所以m2＋(－n＋4)2＝4，且2≤n≤6，Δ＝4m2＋8n>0显然成立，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，tan∠MPH＝－＝－，tan∠NPH＝＝，tan∠MPN＝tan(∠MPH＋∠NPH)＝＝＝＝－＝－＝，令t＝2n－1，因为2≤n≤6，则3≤t≤11，≤≤，所以tan∠MPN＝＝，令s＝∈，则函数y＝－29s2＋18s－1在区间上单调递增，在上单调递减，故当＝时，tan∠MPN取最小值，且最小值为，当＝时，tan∠MPN取最大值，且最大值为.因此，tan∠MPN的取值范围是. 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F作斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，且|AF|＝3.当直线l⊥x轴时，|PQ|＝3. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，问k1k2是否为定值？并证明你的结论； (3)设直线AP交y轴于点E，若过O点作直线AP的平行线OM交椭圆C于点M，求的最小值． 解　(1)设椭圆的右焦点为F(c,0)，c>0，由|AF|＝3，得a＋c＝3.当直线l⊥x轴时，P，Q的横坐标为c，将x＝c代入＋＝1中，得y＝±，则|PQ|＝＝3.联立a＋c＝3，＝3，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1.所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)k1k2＝－为定值．证明如下：显然直线PQ不与y轴垂直，可设PQ的方程为x＝my＋1，代入＋＝1，整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，显然Δ>0，由根与系数的关系得则x1＋x2＝(my1＋1)＋(my2＋1)＝m(y1＋y2)＋2＝，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝.所以k1k2＝·＝＝＝－.所以k1k2为定值－. (3)依题意知，直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为y＝k(x＋2)，则直线OM的方程为y＝kx.联立直线AP与椭圆C的方程得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.由xA＝－2，可得xP＝.联立直线OM与椭圆C的方程得(3＋4k2)x2－12＝0，即x＝.＝＝＝＝＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即k＝±时取等号．所以的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $