微练(26) 求值、证明问题(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(二十六)　求值、证明问题 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点与椭圆G：＋y2＝1的焦点重合，双曲线C的渐近线方程为y＝±x. (1)求双曲线C的方程； (2)若A，B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线l：y＝x过AB的中点，求直线AB的斜率． 解　(1)因为椭圆G：＋y2＝1的焦点为(±2,0)，所以a2＋b2＝4.由渐近线方程为y＝±x，得＝，与a2＋b2＝4联立，得b＝1，a＝.所以双曲线C的方程为－y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M，因为点M在直线l：y＝x上，所以yM＝xM.又－y＝1，－y＝1，两式相减得－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，故－(y1－y2)yM＝0.由题意可得，AB的中点不为原点，故xMyM≠0，所以＝＝1，故直线AB的斜率为1，直线AB的方程为y＝x－xM＋xM＝x－xM.由得x2－32＝3，整理得2x2－4xMx＋x＋3＝0.当Δ＝16x－8＝x－24>0，即xM<－或xM>时，直线AB存在且斜率为1. 2．(2025·浙江模拟)位于第一象限的一点P1(x1，y1)满足x>2y1，过P1作x2＝2y的切线，切点为A1(xA1，yA1)，且满足x1<xA1，设P2(x2，y2)为P1关于A1的对称点． (1)证明：x－2y1＝x－2y2； (2)(ⅰ)若过P2的另一条切线切x2＝2y于A2，设P3为P2关于A2的对称点，如此重复进行下去，若Pn＋1为Pn关于切点An的对称点，设Pn(xn，yn)，证明：{xn}为等差数列； (ⅱ)由(ⅰ)所设且P1(1,0)，求|P2 025P2 026|的值． 解　(1)证明：因为kP1P2＝＝y′|x＝xA1＝xA1，所以y1－y2＝xA1(x1－x2)，又因为xA1＝，所以y1－y2＝·(x1－x2)，所以x－x＝2(y1－y2)，所以x－2y1＝x－2y2. (2)(ⅰ)设过Pn(xn，yn)的切线为：y－yn＝k(x－xn)，联立x2＝2y，得x2－2kx＋2kxn－2yn＝0，令Δ＝0⇒k2－2xnk＋2yn＝0，k＝＝xn±，即kPnPn＋1＝xn＋，kPn－1Pn＝xn－，又kPnPn＋1＝xAn＝，kPn－1Pn＝xAn－1＝，所以＝xn＋　①，＝xn－　②，①＋②得xn＋1＋xn－1＝2xn，所以{xn}为等差数列． (ⅱ)已知P1(1,0)，过点P1(1,0)的切线的切点为A1(xA1，yA1)，y＝x2，y′＝x，所以k＝xA1，所以切线方程为y－yA1＝xA1(x－xA1)，即y＝xA1x－x2A1，又P1(1,0)在切线上，所以xA1－x2A1＝0，所以xA1＝0(舍去)或xA1＝2，又xA1＝，所以x2＝3.由(ⅰ)知{xn}为等差数列，公差为d＝x2－x1＝2，所以xn＝2n－1，x2 025＝4 049，x2 026＝4 051，xA2 025＝4 050，|P2 025P2 026|＝|x2 026－x2 025|＝|x2 026－x2 025|＝×2＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $