微练(24) 直线与圆锥曲线的位置关系(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(二十四)　直线与圆锥曲线的位置关系 基础过关练 一、单项选择题 1．若直线y＝x－1与椭圆x2＋3y2＝a有且只有一个公共点，那么a的值为(C) A. B. C. D．1 解析　因为方程x2＋3y2＝a表示的曲线为椭圆，则a>0，将直线y＝x－1的方程与椭圆的方程联立，得可得4x2－6x＋3－a＝0，则Δ＝36－4×4×(3－a)＝16a－12＝0，解得a＝. 2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(A) A．(1，－1) B．(2,0) C. D．(1,1) 解析　因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，所以抛物线方程为y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，所以kPQ＝.又因为P，Q关于直线l对称．所以kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，所以＝－1.又因为PQ的中点一定在直线l上，所以＝＋2＝1.所以线段PQ的中点坐标为(1，－1)． 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线x－y＋＝0与椭圆C相交于不同的两点A，B.若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－，则椭圆C的方程为(B) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　因为直线x－y＋＝0过点F(－，0)，所以c＝且kAB＝1，可得kAB＝－·＝－·＝1，所以＝，即a2＝2b2＝b2＋c2，所以b＝c＝，a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选B. 4．已知直线l：x－2y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点．若弦AB被直线m：x＋2y＝0平分，则椭圆C的离心率为(C) A. B. C. D. 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为弦AB被直线m：x＋2y＝0平分，设中点坐标为(x0，y0)，所以＋2×＝x0＋2y0＝0　①，因为点A，B在直线l：x－2y－2＝0上，代入可得两式相减可得x1－x2＝2(y1－y2)　②，又点A，B在椭圆上，代入可得两式相减可得＋＝0，代入①②可得＋＝0，得a2＝4b2，又椭圆中a2＝b2＋c2，所以离心率e＝＝＝，故选C. 5．(2025·安阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，离心率为.过点F1且垂直于PF2的直线与C交于M，N两点，|MN|＝6，则|PM|＋|PN|＝(D) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　 如图，连接PF1，MF2，NF2.因为e＝＝，即a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，因为|PF1|＝|PF2|＝a＝2c＝|F1F2|，则△PF1F2为正三角形．又MN⊥PF2，则直线MN为线段PF2的垂直平分线，故|PM|＝|MF2|，|PN|＝|NF2|，且∠NF1F2＝，故直线MN的方程为y＝，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，则|MN|＝＝＝＝6，解得c＝，则a＝2c＝，所以|PM|＋|PN|＝|MF2|＋|NF2|＝|MF2|＋|NF2|＋|MF1|＋|NF1|－|MN|＝4a－6＝13－6＝7.故选D. 6．(2025·广东二模)从双曲线x2－＝1上一点M向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，已知|MA|＋|MB|＝2，则|AB|＝(A) A. B. C. D. 解析　 根据双曲线具有的对称性，不妨设双曲线上第一象限的点M(m，n)，m>0，n>0，则由双曲线可得渐近线方程为y＝±x，即y±x＝0，所以由点到直线的距离公式可得：|MA|＝，|MB|＝，由|MA|＋|MB|＝2，得＋＝2⇒|n－m|＋n＋m＝4，由双曲线上第一象限的点可知0<n<m，所以上式可变形得2m＝4，即m＝，则代入双曲线的方程得：2－＝1⇒n＝1，则过点M作渐近线y＝x的垂线可得方程为：y－1＝－⇒y＝－x＋，与渐近线y＝x联立解得：即得A，再过点M作渐近线y＝－x的垂线可得方程为：y－1＝⇒y＝x＋，与渐近线y＝－x联立解得：即得B，所以|AB|＝＝，故选A. 二、多项选择题 7．(2025·广东模拟)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝x＋m与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则(BD) A．C的离心率为 B．△AF1F2的周长为2＋2 C．△OAB面积的最大值为 D．若＝＋，则点Q在定直线上 解析　设椭圆＋y2＝1的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，a＝，b＝1，c＝＝1，所以椭圆C的离心率e＝＝，故A错误；△AF1F2的周长为2a＋2c＝2＋2，故B正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由Δ＝16m2－4×3(2m2－2)>0，解得m2<3，此时x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|AB|＝×＝×＝，点O到直线l的距离d＝，所以△OAB的面积S＝××＝×≤×＝，当且仅当3－m2＝m2，即m＝±时，△OAB的面积取最大值，故C错误；设Q(x，y)，由＝＋，有(x，y)＝(x1＋x2，y1＋y2)，即因为x1＋x2＝－，所以y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝，故于是有y＝－x，所以点Q在定直线y＝－x上，故D正确．故选BD. 8．(2025·黄冈联考)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(BD) A．若|FA|＝3|FB|，则直线AB的倾斜角为60° B．以线段AB为直径的圆与l相切 C．存在直线AB，使得OA⊥OB D．若直线AO交l于点D，则BD⊥l 解析　对于A选项，抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线l：x＝－1.设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x得y2－4my－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 由抛物线的定义知|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1.因为|FA|＝3|FB|，所以x1＋1＝3(x2＋1)，即my1＋2＝3(my2＋2)．又y1y2＝－4，y1＋y2＝4m，联立可解得m＝±，则直线AB的斜率k＝±，倾斜角为60°或120°，所以A选项错误．对于B选项，如图，设AB的中点为M，过A，B，M分别作准线l的垂线，垂足分别为A′，B′，M′.根据抛物线的定义，|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|，则|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)＝|AB|.所以以线段AB为直径的圆与l相切，B选项正确．对于C选项，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，若OA⊥OB，则·＝x1x2＋y1y2＝0.由y＝4x1，y＝4x2，可得x1x2＝＝1，则1－4＝－3≠0，所以不存在直线AB使得OA⊥OB，C选项错误．对于D选项，直线AO的方程为y＝x，令x＝－1，得y＝－.因为y＝4x1，所以y＝－＝－.又y1y2＝－4，则y＝y2，所以D点的纵坐标与B点的纵坐标相同，即BD⊥l，D选项正确．故选BD. 三、填空题 9．(2025·四川三模)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为_3_. 解析　由题意得F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋2＝8，解得x1＋x2＝6，则线段AB的中点横坐标为＝3，故线段AB的中点到y轴的距离为3. 10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，下顶点为A，过A，F的直线l与椭圆C交于另一点B，若直线l的斜率为1，且|AB|＝，则椭圆C的标准方程为 ＋＝1 . 解析　 如图，设F(c,0)，由题意知，b＝c，a＝c，直线l的方程为y＝x－c，与椭圆C的方程联立化简得3x2－4cx＝0，所以xA＝0，xB＝c，故|AB|＝·|xB－xA|＝c＝，解得c＝，所以b＝，a＝2，椭圆C的方程为＋＝1. 四、解答题 11．(2025·蚌埠模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点Q(0,6)的直线(非y轴)交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆经过原点O，求直线AB的方程． 解　(1)由e＝＝，得a＝2c，则a2＝4c2＝b2＋c2，所以b2＝3c2，将点P代入椭圆方程得＋＝1，解得c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)依题意直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋6，并设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 解法一：联立方程消去y得(3＋4k2)x2＋48kx＋108＝0， 依题意，Δ＝(48k)2－4×108(4k2＋3)＝144(4k2－9)>0，所以|k|>，且x1＋x2＝，x1x2＝，依题意·＝0，即x1x2＋(kx1＋6)(kx2＋6)＝0，整理得(k2＋1)x1x2＋6k(x1＋x2)＋36＝0，从而(k2＋1)·＋6k·＋36＝0，所以216－36k2＝0，解得k1＝－，k2＝，满足|k|>.从而直线AB的方程为y＝±x＋6. 解法二：将y＝kx＋6即6＝y－kx代入3x2＋4y2＝36，得3x2＋4y2＝(y－kx)2，整理得，32＋2k＋3－k2＝0，依题意，Δ＝(2k)2－4×3(3－k2)>0，所以|k|>，依题意，·＝＝－1，解得k＝±，满足|k|>，所以直线AB的方程为y＝±x＋6. 12．(2025·烟台二模)已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，点(，1)在Γ上． (1)求Γ的方程； (2)设过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A，B，过Γ的右焦点F2的直线交Γ的右支于点C，D，若以A，B，C，D为顶点的四边形是面积为4的平行四边形，求直线AB的方程． 解　(1)由双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，点(，1)在Γ上，可得2c＝4，所以c＝2，且－＝1，又因为c2＝a2＋b2，即a2＋b2＝4，联立方程组解得a2＝3，b2＝1，所以Γ的方程为－y2＝1. (2)由题意知，四边形ABCD为平行四边形，可得直线AB与CD平行，当直线AB斜率不存在时，令x＝2，代入双曲线方程－y2＝1，可得y＝±，此时四边形ABCD为矩形，面积为4×＝，不合题意；当直线AB斜率存在时，如图，设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，则直线CD方程为y＝k(x－2)，直线AB和CD的距离d＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组整理得(1－3k2)x2－12k2x－12k2－3＝0，则Δ＝12(k2＋1)>0，且x1＋x2＝，x1x2＝，又由双曲线的渐近线的方程为y＝±x，要使得过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A，B，可得k2>，则|AB|＝|x1－x2|＝＝＝，所以S▱ABCD＝|AB|×d＝×＝＝4，化简可得7k4－8k2＋1＝0，解得k2＝，或k2＝1，因为k2>，所以k2＝1，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝±(x＋2)，即x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0. 能力提升练 13.(2025·浙江联考)抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C.若|BF|＝3，则＝(A) A. B. C. D. 解析　由抛物线y2＝4x得抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为E，N，则|BF|＝|BN|＝x2＋1＝3，所以x2＝2，把x2＝2代入y2＝4x，可得y2＝±2，即点B或B.当点B(2，－2)时，点A在x轴上方，即y1>0，如图①，由y＝4x1，可得y1＝2，即A(x1,2)，因为M(，0)且kAM＝kMB，即＝，所以x1＝3，所以|AE|＝3＋1＝4，所以＝＝.当点B(2,2)时，点A在x轴下方，即y1<0，如图②，由y＝4x1，可得y1＝－2，即A(x1，－2)，因为M(，0)且kAM＝kMB，即＝，解得x1＝3，所以|AE|＝3＋1＝4，所以＝＝.综上，可得＝.故选A. ①　② 学科网（北京）股份有限公司 $