微练(23) 圆锥曲线方程与性质(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(二十三)　圆锥曲线方程与性质 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·云南一模)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，实轴长为2，则其离心率为(A) A．2 B. C. D. 解析　由题可得2c＝4,2a＝2，所以a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝2. 2．已知直线l：y＝－(x－1)经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为(A) A．4 B．2 C．3 D．2 解析　l：y＝－(x－1)的斜率为－，经过点(1,0)，故其倾斜角为，因此∠AFO＝，由于|AO|＝b，|OF|＝c＝1，所以tan∠AFO＝＝，所以b＝，故a＝＝2，故长轴长为2a＝4.故选A. 3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点和双曲线x2－＝1的右顶点重合，则p的值为(B) A．1 B．2 C．4 D．6 解析　因为双曲线x2－＝1的右顶点为(1,0)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为，所以＝1，解得p＝2.故选B. 4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(B) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析　根据题意，双曲线C的离心率为e＝＝＝＝⇒c＝a，所以b＝＝＝a，则双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选B. 5．(2025·十堰四调)设双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，实轴长为6，若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26，则曲线C2的标准方程为(D) A.－＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　因为双曲线C1的实轴长为6，所以a＝3，因为双曲线C1的离心率为＝，所以c＝5，则b＝＝4，所以，双曲线C1的方程为－＝1，因为曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26，由椭圆的定义可知，曲线C2是以双曲线C1的两个焦点为焦点，长轴长为26的椭圆，设椭圆C2的方程为＋＝1(m>n>0)，则m＝13，所以n＝＝＝12，因此，椭圆C2的方程为＋＝1.故选D. 6．(2025·临汾一模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点为F1，F2，若M是双曲线左支上的一点，且3|MF2|＝5|MF1|，则此双曲线离心率的最大值是(C) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　如图所示，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则有3n＝5m，n－m＝2a，解得m＝3a，因为M是双曲线左支上的一点，所以m≥c－a>0，即3a≥c－a，解得e＝≤4，故选C. 7．(2025·岳阳一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1(－1,0)，F2(1,0)分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点P为直线x＝a2上的一点．当△PF1F2的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为(C) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　 如图，设△F1F2P的外接圆的圆心为M，则M在F1F2的垂直平分线上，又P在x＝a2上，M在y轴上，所以|MP|≥a2，即当△F1F2P的外接圆的半径为|MP|＝a2时，周长取最小值，由题意可知，c＝1，＝，即a＝2，所以该圆的半径为4.故选C. 8．(2025·天津高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，则双曲线的离心率e＝(A) A．2 B．5 C. D. 解析　 由题意知c＝，所以抛物线方程为y2＝4cx.因为|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，|F1F2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝6c，又点P在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3c＋a，|PF2|＝3c－a，如图所示，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为P′，因为点P在抛物线上，所以|PF2|＝|PP′|＝xP＋c＝3c－a，所以xP＝2c－a，yP＝＝＝2，把点P的坐标代入抛物线方程，可得(2)2＝4c(2c－a)，化简得＝2，故选A. 二、多项选择题 9．关于双曲线4x2－y2＋64＝0，下列说法正确的有(ABC) A．实轴长为16 B．焦点坐标为(0,4)，(0，－4) C．离心率为 D．渐近线方程为y＝± 解析　因为4x2－y2＋64＝0，所以y2－4x2－64＝0，化简得－＝1，则a＝8，b＝4，c＝4，对于A，则实轴长为2a＝16，故A正确；对于B，焦点坐标为(0，4)，(0，－4)，故B正确，对于C，离心率为e＝＝＝，故C正确，对于D，渐近线方程为y＝±2x，故D错误．故选ABC. 10．(2025·湘豫名校联考)已知在平面直角坐标系中，曲线＋＝1(k≠9)的离心率为直线4x＋y－2＝0在某一坐标轴上的截距，则k的值可能是(ABD) A．57 B．－3 C．－39 D．－ 解析　由4x＋y－2＝0，可得直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2，若曲线＋＝1(k≠9)的离心率为，则或解得k＝－3或k＝－，若曲线＋＝1(k≠9)的离心率为2，则解得k＝57，综上所述：k的值可能是－3，－，57.故选ABD. 11．(2025·聊城一模)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点P(9,6)在C上，直线PF交C于另一点Q，则(BD) A．C的准线方程为x＝1 B．直线PQ的斜率为 C．|FQ|＝2 D．线段PQ的中点的横坐标为 解析　对于A，因为点P(9,6)在抛物线C上，则18p＝36，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，A错误；对于B，直线PQ的斜率k＝＝，B正确；对于C，直线PQ的方程为y＝(x－1)，联立解得或即Q，故|FQ|＝＋＝＋1＝，C错误；对于D，线段PQ的中点的横坐标为＝，D正确．故选BD. 三、填空题 12．(2025·安阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离为a，则C的离心率为_2_. 解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离为b，则b＝a，双曲线的离心率e＝＝＝＝2. 13．(2025·长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为_x2＝12y_. 解析　 如图，由题意得，直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，设圆M的半径为r，则点M到l′：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，故点M的轨迹是以N为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为x2＝12y. 14．(2025·湖北联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|BF2|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的离心率为 . 解析　 如图，由已知可设|F2B|＝x，则|AF2|＝2x，|BF1|＝|AB|＝3x，由椭圆的定义有|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，故x＝.所以|AF2|＝a＝|AF1|，|BF1|＝|AB|＝，故点A为椭圆的上顶点或下顶点．在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝＝.在△AOF2中，设∠OAF2＝θ，故cos∠F1AB＝cos 2θ＝1－2sin2θ＝，得sin2θ＝，故e＝＝＝sin θ＝. 能力提升练 15.(2025·哈尔滨一模)已知圆C1：x2＋y2＝b2与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，若在椭圆C2上存在一点P，过P点能作圆C1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝，则椭圆C2离心率的取值范围为(B) A. B. C. D. 解析　 如图，由对称性可知，∠APB＝2∠APO，因为sin∠APO＝＝≥，∠APO∈，所以当点P位于长轴端点时∠APO最小，由题可知，在椭圆C2上存在一点P，使得∠APB＝，只需当点P位于长轴端点时，∠APO≤，即≤，故e＝≥，又0<e<1，所以椭圆C2离心率的取值范围为.故选B. 16．已知椭圆C：＋＝1(0<b<2)．A，B(1,0)，若椭圆C上存在3个不同的点P满足|PB|＝2|PA|，则椭圆C离心率的取值范围是(C) A. B. C. D. 解析　 设P(x，y)，由|PB|＝2|PA|，得＝2，化简得(x＋1)2＋y2＝1，即点P的轨迹是以点(－1,0)为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆C有3个交点，由消去y得(4－b2)x2＋8x＋4b2＝0，即(x＋2)＝0，显然－2是方程的一个解，点(－2,0)是圆与椭圆的1个公共点，因此－必为方程的另一个解，则－2<<0，解得b2<2，所以椭圆C的离心率e＝∈.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $