微练(22) 直线与圆(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(二十二)　直线与圆 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·安徽一模)已知a是直线2x－y＋1＝0的一个方向向量，若a＝(m,1)，则实数m的值为(A) A. B．－ C．2 D．－2 解析　因为直线2x－y＋1＝0的斜率为k＝2，所以直线的一个方向向量为(1,2)，所以若a＝(m,1)，则2m－1＝0，解得m＝. 2．(2025·山东临沂一模)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的位置关系是(C) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，即C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，圆心C2(3,4)，半径r2＝4，则|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切．故选C. 3．(2025·重庆三模)过圆O：x2＋y2＝1外的点P(3,2)作圆O的一条切线，切点为M，则|MP|＝(B) A．2 B．2 C. D．4 解析　由题意有|MP|2＝|OP|2－r2＝13－1＝12，即|MP|＝2.故选B. 4．已知直线l经过点(2,4)，则“直线l的斜率为－1”是“直线l与圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝2相切”的(C) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　 如图，易知点(2,4)在圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝2上，圆心C(1,3)与点(2,4)的连线l′的斜率为＝1，若直线l的斜率为－1，则l⊥l′，则直线l与圆C相切，反之，若直线l与圆C相切，则l⊥l′，则直线l的斜率为－1.故选C. 5．(2025·湖南长沙模拟)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为(D) A．(x＋)2＋(y－)2＝ B．(x－)2＋(y＋)2＝2 C．(x－)2＋(y＋)2＝ D．(x＋)2＋(y－)2＝2 解析　由题意设所求的圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a<0，b>0)，则即解得所以圆C的方程为(x＋)2＋(y－)2＝2.故选D. 6．过点P(－1,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(A) A．2 B. C. D．2 解析　圆C的标准方程为(x＋2)2＋y2＝5，所以圆C的圆心C(－2,0)，半径r＝.因为(－1＋2)2＋12＝2<5，所以点P在圆C内，连接CP，则当AB⊥CP时，|AB|取得最小值．因为|CP|＝＝，所以|AB|min＝2＝2.故选A. 7．过直线l：x＋y－5＝0上的点作圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝6的切线，则切线段长的最小值为(B) A. B．2 C. D．3 解析　 如图，设直线上任意一点为P，过P作圆的切线，切点为M，圆C的圆心C为(1，－2)，半径r＝，则|MP|＝＝，要使|MP|最小，则|PC|最小，易知|PC|最小值为圆心C到直线l的距离．即|PC|≥＝3，所以|MP|≥＝2，故选B. 8．已知圆C：x2＋y2＝4，M，N是直线l：y＝x＋4上的两点．若对线段MN上任意一点P，圆C上均存在两点A，B，使得cos∠APB＝，则线段MN长度的最大值为(C) A．2 B．4 C．4 D．4 解析　如图，圆C：x2＋y2＝4的圆心到直线l：y＝x＋4的距离d＝＝2>2＝r，所以直线l与圆C相离． 当且仅当直线PA，PB均与圆C相切时，∠APB最大，不妨设切线为PE，PF(其中E，F为切点)，因为cos∠APB＝，所以∠APB＝，则∠EPF≥，所以sin∠EPC＝≥sin＝，解得|PC|≤4，所以线段MN长度的最大值为2＝4，故选C. 二、多项选择题 9．若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的长为2，则下列结论正确的有(AB) A．m2＋n2＝4 B．直线AB的方程为mx＋ny－2＝0 C．AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝3 D．四边形AC1BC2的面积为 解析　两圆方程相减可得直线AB的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，因为圆C1的圆心为(0,0)，半径为2，且公共弦AB的长为2，则C1(0,0)到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离为1，所以＝1，解得m2＋n2＝4，所以直线AB的方程为mx＋ny－2＝0，故A、B正确；由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB，所以C1(0,0)到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离即为AB中点与点C1的距离，设AB中点的坐标为(x，y)，则＝1，即x2＋y2＝1，故C错误；易得四边形AC1BC2为菱形，且|AB|＝2，|C1C2|＝2，则四边形AC1BC2的面积为×2×2＝2，故D错误．故选AB. 10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，点M是直线l：y＝－x－1上的动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是(ABD) A．切线长|MA|的最小值为 B．四边形ACBM面积的最小值为2 C．若PQ是圆C的一条直径，则·的最小值为7 D．直线AB恒过点 解析　圆心C(1,2)，C到l的距离为＝2，令M(m，n)，则n＝－m－1，由圆的性质，可得切线长|MA|＝≥，A正确；S四边形ACBM＝2S△MAC≥2×＝2，B正确；·＝2－2＝2－2≥6，C错误；切点弦AB的方程(m－1)(x－1)＋(n－2)(y－2)＝2，将n＝－m－1代入，整理得m(x－y＋1)－(x＋3y－5)＝0，由解得即直线AB恒过点，D正确． 11．在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是(BC) A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝9 B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝ C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA| 解析　设点P(x，y)，则＝＝，化简整理得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A错误；假设x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝，可设D(m,0)，E(n,0)，可得＝2化简得3x2＋3y2－(8m－2n)x＋4m2－n2＝0，由P点轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0可得8m－2n＝－24,4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4(舍去)，即存在D(－6,0)，E(－12,0)，故B正确；对于C选项，当A，B，P三点不共线时，由＝＝，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|可得＝2，整理得3x＋3y＋16x0＋16＝0，而点M在圆上，故满足x＋y＋8x0＝0，联立解得x0＝2，y0无实数解，于是D错误．故选BC. 三、填空题 12．已知圆C：x2＋y2＝16上恰有3个点到直线l：y＝x＋b(b>0)的距离等于2，则b的值为_4_. 解析　因为圆C的方程为x2＋y2＝16，所以圆心C为(0,0)，半径为4.因为圆C上恰有3个点到直线l：y＝x＋b(b>0)的距离等于2，所以只需要圆心C到直线l的距离为2即可，即＝2，又b>0，解得b＝4. 13．写出与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝1都相切的一条直线方程为_y＝1(答案不唯一)_． 解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径为r1＝1，圆C2：(x－3)2＋y2＝1的圆心为C2(3,0)，半径为r2＝1，则|C1C2|＝3>r1＋r2，所以两圆外离，由两圆的圆心都在x轴上，则公切线的斜率一定存在，设公切线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，则有解得或或或所以公切线方程为y＝±或y＝±1. 14．(2025·天津高考)l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝_2_. 解析　对于直线l1：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝－6，所以A(－6,0)，B(0,6)，所以|AB|＝6.因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|＝2.圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为(－1,3)，圆心到直线l1的距离d＝＝，所以r＝＝＝2. 能力提升练 15.(2025·广东江门一模)(多选题)已知曲线Γ：x2＋y2－5＝|2y－2|，则(AD) A．曲线Γ关于y轴对称 B．曲线Γ围成图形的面积为 C．曲线Γ上的点到点(3,0)的距离最大值为2＋ D．若点(x0，y0)是曲线Γ上的点，则的最大值为1 解析　 对于A，令(x，y)是曲线Γ上的任意一点，即x2＋y2－5＝|2y－2|，则(－x)2＋y2－5＝|2y－2|成立，即点(－x，y)在曲线Γ上，因此曲线Γ关于y轴对称，A正确；如图，当y≥1时，x2＋y2－5＝2y－2，即x2＋(y－1)2＝4，是以O1(0,1)为圆心，2为半径的圆在直线y＝1及上方的半圆，当y≤1时，x2＋y2－5＝－2y＋2，即x2＋(y＋1)2＝8，是以O2(0，－1)为圆心，2为半径的圆在直线y＝1及下方部分，对于B，曲线Γ在直线y＝1及上方的半圆面积为2π>，B错误；对于C，曲线Γ在直线y＝1及下方部分上的点与点A(3,0)的距离最大值为|AO2|＋2＝＋2＝＋2，C错误；对于D，＝·表示曲线Γ上的点P(x0，y0)与点A(3,0)确定直线PA斜率的，观察图形知，当过点A的直线与曲线Γ在x轴下方部分相切时，直线PA斜率最大，设此切线方程为y＝k(x－3)，k>0，则＝2，解得k＝7，所以的最大值为1，D正确． 16．(2025·十堰四调)定义：min(P，C)表示点P到曲线C上任意一点的距离的最小值．已知P是圆(x－1)2＋y2＝9上的动点，圆C：x2＋y2＝1，则min(P，C)的取值范围为_[1,3]_． 解析　 如图，记O为坐标原点，圆C的圆心为原点，圆C的半径为1，由圆的几何性质可知，min(P，C)＝|OP|－1，且|AP|－|OA|≤|OP|≤|AP|＋|OA|，即3－1≤|OP|≤3＋1，即2≤|OP|≤4，当且仅当点P(－2,0)时，|OP|取最小值，当且仅当点P(4,0)时，|OP|取最大值，故min(P，C)＝|OP|－1∈[1,3]． 学科网（北京）股份有限公司 $