微练(16) 排列组合与二项式定理(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(十六)　排列组合与二项式定理 基础过关练 一、单项选择题 1.8的展开式的第3项的系数是(A) A．112 B．－112 C．－28 D．28 解析　8的通项Tk＋1＝C18－kk＝C(－2)kx－，令k＝2，则T3＝C(－2)2x－1＝×4×＝.可得第3项的系数是112.故选A. 2．(2025·锦州模拟)将A，B，C，D，E，F 6位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中A，B分配到同一所学校，则不同的分配方法共有(B) A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 解析　先给A，B安排一所学校，有3种分配方法；再给任一学校安排2位教师，有C＝6(种)分配方法；最后剩下的学校安排剩下的2位教师．所以最终有3×6＝18(种)不同的分配方法，故选B. 3．已知(x＋x2)4＝a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，则(D) A．a4＝a5 B．a5＝a6 C．a6＝a7 D．a5＝a7 解析　解法一：由于(x＋x2)4的展开式中各项系数恰好为相应二项式系数，因此a4＝C，a5＝C，a6＝C，a7＝C，a8＝C，所以a5＝a7.故选D. 解法二：在等式(x＋x2)4＝a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8两边同除以x4，有(1＋x)4＝a4＋a5x＋a6x2＋a7x3＋a8x4，由二项式系数的性质得a5＝a7＝4.故选D. 4．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序的种数为(A) A．10 B．20 C．60 D．120 解析　设左车道汽车依次为A1，A2，右车道汽车依次为B1，B2，B3，则通过顺序的种数等价于将A1，A2安排在5个顺序中的某两个位置(保持A1，A2前后顺序不变)，B1，B2，B3安排在其余3个位置(保持B1，B2，B3前后顺序不变)，所以合流结束时汽车通过顺序共有CC＝10(种)． 5．某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲、乙、丙等六人分别上台发言，其中负责人甲、乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有(D) A．240种 B．120种 C．156种 D．144种 解析　将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言，则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有AA＝48种方法，故不同的安排方法共有3×48＝144种． 6．(2025·济宁一模)(2x－1)11的展开式中的常数项为(B) A．18 B．20 C．22 D．24 解析　(2x－1)11＝2(2x－1)11＋(2x－1)11，(2x－1)11的二项展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)11－k·(－1)k＝(－1)k·211－kCx11－k，所以2(2x－1)11＝(－1)k212－kCx11－k　①，(2x－1)11＝(－1)k211－kCx10－k　②，在①式中，令11－k＝0得k＝11，故2(2x－1)11的常数项为(－1)1121C＝－2，在②式中，令10－k＝0得k＝10，则(2x－1)11的常数项为(－1)1021C＝22，故(2x－1)11的展开式中的常数项为－2＋22＝20，故选B. 7．某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为(B) A B C D E F G H A.168 B．336 C．338 D．84 解析　第一步：排男孩，第一个男孩在第一行有四个位置可选，第二个男孩在第二行有三个位置可选，由于两名男孩可以互换，故男孩的排法有4×3×2＝24(种)，第二步：排女孩，若男孩选AF，则女孩有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7种选择，由于女孩可以互换，故女孩的排法有2×7＝14(种)，根据分步乘法计数原理，共有24×14＝336(种)，故选B. 8．(2025·山西一模)定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1 022,3 110”，则所有“吉祥数”的个数是(A) A．35 B．32 C．29 D．20 解析　各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算，当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0,0,0，共有1个“吉祥数”；当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1,0,0，共有3个“吉祥数”；当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1,1,0或2,0,0，共有3＋3＝6个“吉祥数”；当首位数字为2时，剩余三位数分别是2,1,0或3,0,0或1,1,1，共有A＋3＋1＝10个“吉祥数”；当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3,1,0或4,0,0或1,1,2或2,2,0，共有A＋3＋3＋3＝15个“吉祥数”，则共有1＋3＋6＋10＋15＝35个“吉祥数”．故选A. 二、多项选择题 9．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是(ACD) A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有18种 解析　对于A，共有A＝5×4×3＝60(种)不同的坐法，故A正确；对于B，先排好这3个人有A种排法，然后把2个空位插入3个人形成的4个空隙中，有C种插法，故共有CA＝36(种)坐法，故B错误；对于C，把2个空位先捆绑好，再插入3人形成的4个空隙中， 故共有CA＝24(种)坐法，故C正确；对于D，先从3人中抽取2人放在两端，第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有CAC＝18(种)坐法，故D正确． 10．(2025·曲靖一模)若n的展开式的各二项式系数之和为32，则(AC) A．n＝5 B．展开式中只有第三项的二项式系数最大 C．展开式中x4项的系数为1 960 D．展开式中系数为有理数的项共有2项 解析　对于A，由题意得2n＝32⇒n＝5，故A正确；对于B，因为n＝5，所以展开式中的二项式系数最大的是C＝C，分别为展开式中的第三项和第四项的二项式系数，故B错误；对于C，5的展开式的通项为Tr＋1＝C85－r(－x)r＝(－1)rC·85－r·7xr，令r＝4，则(－1)rC·85－r·7＝5×8×49＝1 960，即展开式中x4项的系数为1 960，故C正确；对于D，因为5的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC·85－r·7xr，所以若∈Z，则r＝0,2,4时，对应的项为85,35 840x2,1 960x4，均为有理项，所以展开式中系数为有理数的项共有3项，故D错误．故选AC. 11．已知(m＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，(x－1)(m＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5，其中m∈R，m≠0.若a2＝3b2，则(AB) A．m＝2 B．a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81 C．b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝－16 D．b1＋2b2＋3b3＋4b4＋5b5＝80 解析　二项式(m＋x)4展开式的通项为Tr＋1＝Cm4－rxr(0≤r≤4且r∈N)，(x－1)(m＋x)4＝x(m＋x)4－(m＋x)4，所以a2＝Cm2＝6m2，b2＝Cm3－Cm2＝4m3－6m2，因为a2＝3b2，所以6m2＝3(4m3－6m2)，解得m＝0(舍去)或m＝2，故A正确；由(2＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝34＝81，故B正确；由(x－1)(2＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5，令x＝0可得b0＝－24＝－16，令x＝1可得b0＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝0，所以b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝16，故C错误；将(x－1)(2＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5两边对x求导可得，(2＋x)4＋4(x－1)(2＋x)3＝b1＋2b2x＋3b3x2＋4b4x3＋5b5x4，令x＝1可得b1＋2b2＋3b3＋4b4＋5b5＝(2＋1)4＋4(1－1)(2＋1)3＝81，故D错误． 三、填空题 12．(2025·德州二模)(2x－x2)(1－x)6的展开式中x5的系数为_50_.(用数字作答) 解析　因为(2x－x2)(1－x)6＝2x(1－x)6－x2(1－x)6，其中(1－x)6展开式的通项为Tr＋1＝C(－x)r(0≤r≤6且r∈N)，所以(2x－x2)(1－x)6的展开式中含x5的项为2xC(－x)4－x2C(－x)3＝50x5，所以展开式中x5的系数为50. 13．(2025·泰安一模)从5名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有_180_种安排方法(用数字作答) 解析　第一步，从5人中选4人，共有C＝5种选法，第二步，将4人分成三组，共有C＝6种分法，再进行全排有A＝6种排法，由分步乘法计数原理知，共有CCA＝5×6×6＝180种安排方法． 14．将1,2,3，…，9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数)，记第1行中最大的数为a，第2行中最大的数为b，第3行中最大的数为c，则a<b<c的填法共有_60_480_种． 解析　第3行，c＝9，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有CA种情况；第2行，取剩下6个数中最大的数为b，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有CA种情况；第1行，剩下3个数任意排列，则有A种情况，故共有CACAA＝60 480种填法． 能力提升练 15.(多选题)某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排，则(ABD) A．若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种 B．若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1 154种 C．若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种 D．若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种 解析　若甲、乙左右相邻，可选择三至七排，(10＋4＋3＋6＋4)A＝54(种)，所以一共有54种购票情况，故A正确；甲、乙在同一列的情况共有A＋A＋A＋A＋A＋A＋A＋A＝106(种)，则甲、乙不在同一列的情况有A－106＝1 154(种)，所以一共有1 154种购票情况，故B正确；若甲、乙前后相邻，先选座位，有2＋4＋4＋1＋2＋4＋4＝21(种)，再考虑甲乙顺序，有A＝2(种)，所以一共有42种购票情况，故C错误；银幕中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位，甲、乙分坐于两侧，有A×18×18＝648(种)情况．甲、乙分坐于两侧且坐同一排(按每一排考虑)，有A(5×6＋3×3＋3×2＋4×4＋3×3)＝140(种)情况，所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有648－140＝508(种)，故D正确． 16．(2025·辽宁一模)(多选题)设(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 025x2 025，m＝i，s＝－2i＋1，则(ACD) A．a0＝1 B．m＝1 C．s＝ D．若[x]表示正数x的整数部分，则s－[s]＝ 解析　对于A，令x＝0，可得a0＝1，故A正确；对于B，令x＝1，可得m＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝－1，故B错误；对于C，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝32 025，所以(a0＋a1＋a2＋…＋a2 025)－(a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025)＝－32 025－1，所以2i＋1＝，所以s＝－2i＋1＝－×＝，故C正确；对于D，s＝＝＝＝＝＝3×(C＋C81＋…＋C81 011)＋，所以s－[s]＝，故D正确．故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $