微练(1) 三角恒等变换、三角函数图象与性质(专题微练Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

微练(一)　三角恒等变换、三角函数图象与性质 基础过关练 一、单项选择题 1．(2025·葫芦岛一模)将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后，所得图象的解析式为(A) A．y＝sin B. y＝sin C．y＝sin D. y＝sin 解析　函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式为y＝sin 2＝sin. 2．(2025·武汉模拟)若tan＝5，则cos 2α的值为(A) A. B. C. D. 解析　解法一：(常规法＋齐次式)由tan＝5得＝5，解得tan α＝.因为cos 2α＝， cos α≠0，所以分子分母同时除以cos2α，得cos 2α＝＝＝. 解法二：(变角法＋齐次式)tan α＝tan＝＝＝.因为cos 2α＝， cos α≠0，所以分子分母同时除以cos2α，得cos 2α＝＝＝. 解法三：(整体法)设θ＝α＋，则α＝θ－，所以cos 2α＝cos＝sin 2θ＝＝＝＝. 3．(2025·正定模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则tan＝(D) A．2＋ B．2－ C．1－ D.－2 解析　由题意可知f＝sin＝±1，得＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，因为－<φ<，则φ＝－，因为tan＝＝，解得tan＝2－或－2－(舍)，故tan＝tan＝－tan＝－2. 4．(2025·浙江模拟)已知cos(α－β)＝，sin αsin β＝－，则cos2α－sin2β＝(C) A. B. C. D. 解析　由cos(α－β)＝得cos αcos β＋sin αsin β＝，又sin αsin β＝－，所以cos αcos β＝，所以cos2α－sin2β＝－＝＝＝cos (α＋β)·cos (α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝×＝×＝. 5．(2025·太原模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得的图象经过点，则θ＝(C) A．－ B. C．－ D. 解析　函数f(x)＝sin (2x＋θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的新函数为g(x)＝sin＋1＝sin＋1.当x＝时，g＝sin＋1＝2，化简得sin＝1，即sin＝1，则＋θ＝＋2kπ，其中k∈Z，解得θ＝－＋2kπ，k∈Z，又因为－<θ<，所以k＝0，所以θ＝－. 6．(2025·安庆二模)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则φ的最小正值是(A) A. B. C. D. 解析　f(x)＝sin，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度得f(x)＝sin，由该函数为奇函数可知2φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以φ的最小正值为. 7．(2025·兰州一模)一个铅锤做单摆运动时，离开 平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足y＝Asin(ωx＋φ)，当y＝1时，x不可能是(A) A. B．π C. D．2π 解析　由题图可知A＝2，最小正周期T＝2×＝π，则ω＝＝2，由＝，则函数图象过，即2sin＝－2，解得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，可得φ＝，故y＝2sin，由y＝1，则sin＝，解得2x＋＝＋2k1π(k1∈Z)或2x＋＝＋2k2π(k2∈Z)，可得x＝k1π(k1∈Z)或＋k2π(k2∈Z)，当k1＝1时，x＝π，当k2＝1时，x＝，当k1＝2时，x＝2π. 8．(2025·湛江一模)已知函数f(x)＝sin在区间(0，m)上存在唯一极大值点，则m的最大值为(A) A. B．π C. D. 解析　当x∈(0，m)时，2x＋∈，由f(x)在区间(0，m)上存在唯一极大值点，得<2m＋≤，解得<m≤，所以m的最大值为π. 二、多项选择题 9．(2025·泉州一模)已知函数f(x)＝sin 2x－2sin x，则(AD) A．f(x)的最小正周期为2π B．曲线y＝f(x)关于直线x＝对称 C．f(x)在区间[－2π，2π]上有4个零点 D．f(x)在区间内单调递减 解析　A选项，y＝sin 2x的最小正周期为π，y＝sin x的最小正周期为2π，两者的最小公倍数为2π，故f(x)的最小正周期为2π，A正确；B选项，f(π－x)＝sin(2π－2x)－2sin(π－x)＝－sin 2x－2sin x≠f(x)，故曲线y＝f(x)不关于直线x＝对称，B错误；C选项，f(x)＝sin 2x－2sin x＝2sin xcos x－2sin x＝2sin x(cos x－1)，令f(x)＝0得2sin x(cos x－1)＝0，故sin x＝0或cos x＝1，因为x∈[－2π，2π]，所以sin x＝0的解为x1＝－2π，x2＝－π，x3＝0，x4＝π，x5＝2π，cos x＝1的解为x1＝－2π，x3＝0，x5＝2π，综上，f(x)在区间[－2π，2π]上有5个零点，C错误；D选项，f′(x)＝2cos 2x－2cos x＝4cos2x－2－2cos x＝42－，当x∈时，cos x∈，42－∈，即f′(x)＝42－<0，所以f(x)在区间内单调递减，D正确． 10．将函数f(x)＝3sin的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(ACD) A．x＝为函数g(x)图象的一条对称轴 B．g(x)＝3cos 2x C．函数g(x)在上单调递增 D．函数g(x)的图象与函数h(x)＝log2x的图象交点个数为5 解析　对于A，将函数f(x)＝3sin的图象向左平移个单位长度，可得到函数g(x)＝3sin＝3sin的图象，则g＝3sin＝3sin＝－3，所以x＝为函数g(x)图象的一条对称轴，故A正确；对于B，g(x)＝3sin≠3cos 2x，故B错误；对于C，当－<x<－时，<2x＋<，而y＝sin x在上单调递增，所以g(x)在上单调递增，故C正确；对于D，对于g(x)＝3sin，其周期为T＝＝π，最大值为3，令2x＋＝＋2kπ，k∈Z，则x＝－＋kπ，k∈Z，令2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－＋，k∈Z，且g(0)＝3sin＝， 因为h(x)＝log2x的定义域为(0，＋∞)，且log2<3，log2>3，作出g(x)与h(x)在(0,3π)上的大致图象，如图，结合图象可知，函数g(x)的图象与函数h(x)的图象交点个数为5，故D正确． 11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，其中相邻的两条对称轴间的距离为，且经过点(0，－)，则(BCD) A．φ＝－ B．f(x)在区间上单调递增 C．f(－x)＝f D．f(x)＝sin x在上有4个解 解析　由题意，＝，则T＝π＝，即ω＝2，此时f(x)＝2sin(2x＋φ)，又f(0)＝2sin φ＝－，则sin φ＝－，因为|φ|<，所以φ＝－，故A错误；则f(x)＝2sin，当x∈时，2x－∈，因为函数y＝sin x在上单调递增，所以函数f(x)在区间上单调递增，故B正确；由f(x)＝2sin，得f(－x)＝2sin＝－2sin，而f＝2sin＝2sin＝－2sin，所以f(－x)＝f，故C正确； 画出函数f(x)和y＝sin x在[0,2π]上的图象，由图可知，函数f(x)和y＝sin x在[0,2π]上有4个交点，所以f(x)＝sin x在[0,2π]上有4个解，故D正确． 三、填空题 12．(2025·湛江一模)已知tan＝，则sin＝ . 解析　tan＝＝，即cos＝3sin.又cos2＋sin2＝1，所以cos2＝，所以sin＝sin＝cos＝cos＝2cos2－1＝. 13．(2025·济南一模) 函数f(x)＝|sin x|＋cos x的最小值为_－1_. 解析　当sin x≥0时，即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z时，f(x)＝|sin x|＋cos x＝sin x＋cos x＝sin，当sin x<0时，即2kπ＋π<x<2kπ＋2π，k∈Z时，f(x)＝|sin x|＋cos x＝－sin x＋cos x＝cos，所以f(x)＝|sin x|＋cos x＝作出函数f(x)的图象，如图所示，所以函数f(x)＝|sin x|＋cos x的最小值为－1，此时x＝2kπ＋π，k∈Z. 14．(2025·北京高考)已知α，β∈[0,2π]，且sin(α＋β)＝sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)，写出满足条件的一组α＝ (答案不唯一) ，β＝ (答案不唯一) . 解析　由sin(α＋β)＝sin(α－β)，得sin αcos β＋cos αsin β＝sin αcos β－cos αsin β⇒cos αsin β＝0　①.由cos(α＋β)≠cos(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β≠cos α·cos β＋sin αsin β⇒sin αsin β≠0　②.由①②得sin β≠0，cos α＝0，且sin α≠0，又α，β∈[0,2π]，所以α可取或，β可取(0,2π)内除π外的任意角． 能力提升练 15.已知函数f(x)＝3sin 2ωx＋2(cos2ωx－1)(ω>0)，则f(x)的最大值是 ；若f(x)在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是 . 解析　f(x)＝3sin 2ωx＋2(cos2ωx－1)＝3sin 2ωx＋(2cos2ωx－1)－，即f(x)＝3sin 2ωx＋cos 2ωx－＝2－＝2sin－，又因为sin∈，所以f(x)的最大值为；因为x∈[0，π]，所以2ωx＋∈，因为f(x)＝2sin－在[0，π]上恰有3个零点，所以π≤2ωπ＋＜π，即1≤ω＜. 16．(2025·泰安一模)已知函数f(x)＝2sincos ωx－(ω>0)的最小正周期为π，f(x)在上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线y＝a交于点C，D，且|AB|＝2|CD|，则a＝ . 解析　因为f(x)＝2sincos ωx－＝2cos ωx－＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin.又函数最小正周期为π，且ω>0，所以＝π⇒ω＝1.所以f(x) ＝sin.当x∈时，2x＋∈(0，π)，所以sin∈(0,1]．作函数f(x)＝sin，x∈的草图如图所示．函数f(x)的图象关于直线x＝对称．设|CD|＝2t，则B，D.0<t<，所以sin＝sin⇒cos 2t＝cos 4t⇒cos 2t＝(2cos22t－1)⇒2cos22t－cos 2t－＝0，解得cos 2t＝或cos 2t＝－(舍去)．所以a＝sin＝cos 4t＝2cos22t－1＝2×－1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $