4.微专题20 不等式(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦不等式高考核心考点，涵盖不等式性质、基本不等式、一元二次不等式及恒成立问题，按“性质应用—基本不等式—综合应用”逻辑层次展开，通过微点梳理、方法指导、例题解析、真题训练四环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“方法归类+真题对接”策略，如基本不等式的拼凑法、恒成立问题的分离参数法，结合2020-2025年高考真题分层训练，提升学生推理能力与模型意识，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

微专题20　不等式 1.基本不等式链 ≤≤≤ (a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)． 2．解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)要注意a>0和a<0的讨论． 3．一元二次不等式恒成立问题的解题方法 (1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． (2)分离参数法：一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min. (3)更换主元法：一般思路为，将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解. 微点一　不等式的性质及应用 例1　(1)已知实数a，b，c，d满足：a>b>c>d，则下列选项中正确的是(B) A．a＋d>b＋c B．a＋c>b＋d C．ad>bc D．ac>bd 解析　选项A，如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此时a＋d<b＋c，故A错误；选项B，a＋c>b＋c>b＋d，故B正确；选项C，D，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时ad<bc，ac<bd，故C，D错误．故选B. (2)已知－1<a<5，－3<b<1，则以下结论错误的是(D) A．－15<ab<5 B．－4<a＋b<6 C．－2<a－b<8 D．－<<5 解析　因为－1<a<5，－3<b<1，所以－1<－b<3，对于A，⇒－15<ab<3，⇒ab＝0，⇒－1<ab<5，综上可得－15<ab<5，故A中结论正确；对于B，－3－1＝－4<a＋b<1＋5＝6，故B中结论正确；对于C，－1－1＝－2<a－b<3＋5＝8，故C中结论正确；对于D，当a＝4，b＝时，＝8，故D中结论错误．故选D. 训练1　(2025·广东一模)(多选题)下列命题正确的是(BCD) A．若a>b，则a2>b2 B．若a<b<0，则b2<ab<a2 C．若a>b>0，>，则m<0 D．若2<a＋b<3，－1<a－b<2，则3<3a＋b<8 解析　对于A，取a＝1，b＝－2，满足a>b，但是a2<b2，故A错误；对于B，因为a<b<0，不等式两边同时乘以负数a，不等式方向改变，所以a2>ab，不等式两边同时乘以负数b，不等式方向改变，所以ab>b2，所以b2<ab<a2，故B正确；对于C，因为a>b>0，－＝＝＝，又因为>，所以>0，而a>b>0，即b－a<0，m(a＋m)<0，所以m<0，故C正确；对于D，设3a＋b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即3a＋b＝(x＋y)a＋(x－y)b，则解得x＝2，y＝1，所以3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，又2<a＋b<3，则4<2(a＋b)<6，且－1<a－b<2，所以3<2(a＋b)＋(a－b)<8，所以3<3a＋b<8，故D正确．故选BCD. 微点二　基本不等式 例2　(1)(2025·广东二模)若x>0，y>0，且x＋y＝xy，则＋的最小值为(B) A．2 B．2 C．3 D. 解析　因为x＋y＝xy，即xy－x－y＋1＝1，即(x－1)(y－1)＝1，且x>0，y>0，则x>1，y>1，则＋≥2＝2＝2，当且仅当＝时，即x＝1＋，y＝1＋时，等号成立，所以＋的最小值为2.故选B. (2)(2025·贵州模拟)若x4＋9y4＝10，则x2y2的最大值为 ，此时x2＝ . 解析　由10＝x4＋9y4≥2x2·3y2，则x2y2≤，当且仅当x2＝3y2＝时等号成立，即x2y2的最大值为，此时x2＝. ,, (1)利用基本不等式求最值的常用方法：拼凑法，常值代换法，消元法． (2)运用基本不等式求最值的条件是“一正，二定，三相等”． (3)连续使用基本不等式时，要注意检验等号能否同时成立． 训练2　(1)(2025·汕头二模)已知a>0，b>0，a＋＝1，则＋b的最小值是(C) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　因为a>0，b>0，a＋＝1，所以＋b＝＝2＋＋ab≥2＋2＝4，当且仅当＝ab，即a＝，b＝2时取等号．故选C. (2)若正实数x，y满足xy(x＋y)＝4，则2x＋y的最小值为(C) A．3 B．2 C．2 D．3 解析　因为正实数x，y满足xy(x＋y)＝4，所以x(x＋y)＝.所以(2x＋y)2＝y2＋4x(x＋y)＝y2＋＝y2＋＋≥3＝12，当且仅当即时等号成立，所以2x＋y的最小值是2.故选C. 微点三　不等式的综合应用 例3　(1)(2025·河南五市联考)函数f(x)＝loga(x－1)＋1过定点A，若A∈{(x，y)|mx＋ny＝1，m>0，n>0}，则＋的最小值为(C) A．4 B．6 C．8 D．10 解析　当x－1＝1，即x＝2时，恒有y＝1，即y＝loga(x－1)＋1过定点A(2,1)，因为A∈{(x，y)|mx＋ny＝1，m>0，n>0}，所以点A在mx＋ny＝1上，则2m＋n＝1，且m>0，n>0，于是得＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即n＝2m时取“＝”，由2m＋n＝1且n＝2m得：m＝，n＝，所以当m＝，n＝时，＋取得最小值8.故选C. (2)(2025·广西一模)现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100 g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡．则两次实际称得的药品总重量(B) A．等于200 g B．大于200 g C．小于200 g D．以上都有可能 解析　设天平左臂长为m，右臂长为n，m>0，n>0且m≠n，左盘放的药品为x1克，右盘放的药品为x2克，则解得x1＝，x2＝，x＝x1＋x2＝＋≥2＝200，当且仅当m＝n时，取等号，而m≠n，所以x>200.故选B. ,, 基本不等式在函数及实际问题中的应用，关键是列出函数表达式，合理变形，满足基本不等式的应用条件才能应用基本不等式解决问题． 训练3　(2025·南通一模)在公差不为0的等差数列{an}中，若as＋at＝2a3，则＋的最小值为(D) A. B. C. D. 解析　因为as＋at＝2a3，所以s＋t＝6，所以＋＝1，显然s，t∈N*，所以＋＝＝＋＋＋≥＋2＝＝，当且仅当＝，即t＝2，s＝4时取等号．故选D. 1．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(C) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 解析　由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x<1，故选C. 2．(2020·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(ABD) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤ 解析　因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，A正确；易知0<a<1,0<b<1，所以－1<a－b<1，所以2a－b>2－1＝，B正确；令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2<－2，C错误；因为2＝a＋b＋2≤1＋2·＝2，所以＋≤，D正确．故选ABD. 3．(2022·新课标Ⅱ卷)(多选题)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(BC) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 解析　对于A，B：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－3xy＝1，即3xy＝(x＋y)2－1≤32，即(x＋y)2≤4，所以－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y时取等号，所以A不正确，B正确；对于C：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确；对于D：当x＝，y＝－时，x2＋y2＝<1，所以D不正确．综上可知，选BC. 4．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(A) A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a 解析　因为9m＝10，所以m＝log910，所以a＝10m－11＝10log910－11＝10log910－10log1011.因为log910－log1011＝－＝>＝>0，所以a>0.b＝8log910－9＝8log910－8log89，因为log910－log89＝－＝<＝<0，所以b<0.综上，a>0>b.故选A. 5．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(C) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋ 解析　因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以A不符合题意．因为y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以B不符合题意．因为y＝2x＋22－x≥2＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以C符合题意．当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，所以D不符合题意．故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $