3.进阶点8 高考中的抽象函数(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦抽象函数核心考点，涵盖函数性质交汇、双抽象函数、导数结合及具体函数还原等内容，按逻辑层次梳理对称性、周期性等关键性质，通过考点解析、方法归纳、真题演练环节，帮助学生构建知识网络，突破抽象函数难点。 资料以高考真题为载体，创新采用“性质推导+实例还原”教学策略，如通过例1对称性与周期性推导培养数学思维，例4具体函数还原强化模型意识，配合分层练习与即时反馈，高效提升学生抽象推理与解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

进阶点8　高考中的抽象函数 视角一　抽象函数与函数性质的交汇 (1)已知f(x)是定义在R上的函数，若f(x＋a)(a∈R)是奇函数，则f(x)的图象关于点A(a,0)对称． (2)已知f(x)是定义在R上的函数，若f(x＋a)(a∈R)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|. (4)若函数y＝f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|. (5)若函数y＝f(x)既关于x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|. 例1　(1)(2025·沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，则(D) A．f(0)＝1 B．f(1)＝－1 C．f(2)＝0 D．f(3)＝0 解析　根据题意，因为函数f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(1－x)＝－f(1＋x), 所以f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，所以f(1)＝0.又因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝0.故选D. (2)(2025·山西二模)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝0，函数y＝xf(x＋3)是奇函数，函数y＝(x＋1)f(x)的图象关于直线x＝－1对称，则(B) A．f(x)是偶函数 B．f(x－1)是奇函数 C．f(x＋8)＝f(x) D．f(1)＝0 解析　因为y＝xf(x＋3)是奇函数，所以f(x＋3)为偶函数，所以f(－x＋3)＝f(x＋3)，即f(－x)＝f(x＋6)，故f(x)的图象关于直线x＝3对称，由y＝(x＋1)f(x)的图象关于直线x＝－1对称得(x＋1)f(x)＝(－2－x＋1)f(－2－x)，即(x＋1)f(x)＝－(x＋1)f(－2－x)，即f(x)＝－f(－x－2)，所以f(x)关于(－1,0)对称，所以f(－x)＝－f(x－2)，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，故f(x－1)是奇函数，所以B选项正确；因为f(－x)＝－f(x－2)，又f(－x)＝f(x＋6)，所以f(x＋6)＝－f(x－2)，即f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故C选项错误；不能得到f(x)的奇偶性与f(1)的值，故A，D选项错误．故选B. 视角二　双抽象函数 例2　(1)(2025·河南二模)已知函数f(x)为R上的奇函数，若函数y＝g(x＋2)与y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(4)＝(B) A．1 B．0 C．－1 D．－2 解析　根据题意，函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，函数y＝g(x＋2)与y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(x)＋g(2＋2－x)＝0，即f(x)＋g(4－x)＝0，所以g(4)＝－f(0)＝0.故选B. (2)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则(k)＝(D) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 解析　由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，可得g(2＋x)＝g(2－x)，在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x)　①，y＝f(x)为偶函数．在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2　②，所以y＝f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由①②可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，所以(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D. 视角三　与导数结合的抽象函数 例3　(1)(2025·湖北二模)(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(2－3x)＝f(3x)，f′的图象关于直线x＝－2对称，f′(x)在[1,3]上单调递减，且f′(2 031)＝6，则(ABD) A．f′(x－1)是偶函数 B．f′(x＋1)是奇函数 C．f′(7)＝－6 D．f′(x)的极小值为－6 解析　因为f′的图象关于直线x＝－2对称，所以f′＝f′，即f′＝f′，所以f′(x)的图象关于直线x＝－1对称，则f′(x－1)是偶函数，故A正确；因为f(2－3x)＝f(3x)，所以f(2－x)＝f(x)，所以－f′(2－x)＝f′(x)，所以f′(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f′(x＋1)的图象关于点(0,0)对称，即f′(x＋1)是奇函数，故B正确；因为－f′(2－x)＝f′(x)，又因为f′(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f′(x)＝f′(－2－x), 所以－f′(2－x)＝f′(－2－x)，则f′(x)＝－f′(4＋x), 所以f′(x＋8)＝－f′(4＋x)＝f′(x)，所以8为f′(x)的一个周期．所以f′(2 031)＝f′(253×8＋7)＝f′(7)＝6，故C错误；因为f′(x)在[1,3]上单调递减，且f′(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f′(x)在[－1,1]上单调递减，f′(x)在[－1,3]上单调递减，因为f′(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f′(x)在[－5，－1]上单调递增，因为f′(x)是T＝8的周期函数，所以f′(x)在[3,7]上单调递增，因为x＝3时，f′(x)取得极小值，所以f′(3)＝－f′(－1)＝－f′(7)＝－6，故D正确．故选ABD. (2)(2025·秦皇岛二模)(多选题)记定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)，若f(x＋3)－g(3－x)＝4，f′(x)＝g′(x＋2)，且g(x＋2)＋g(2－x)＝0，则(BC) A．f(－x)＝－f(x) B．g′(x)的图象关于直线x＝2对称 C．f(x)是周期函数，且其中一个周期为8 D.(i)＝0 解析　由题意，函数f(x)与g(x)的定义域均为R.由g(x＋2)＋g(2－x)＝0求导可得g′(x＋2)－g′(2－x)＝0，即g′(x＋2)＝g′(2－x)，所以g′(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；由f(x＋3)－g(3－x)＝4求导可得f′(x＋3)＋g′(3－x)＝0，因为f′(x)＝g′(x＋2)，所以f′(1－x)＝g′(3－x)，所以f′(x＋3)＋f′(1－x)＝0，则f(x＋3)－f(1－x)＝c(c为常数)，令x＝－1，则有f(2)－f(2)＝c＝0，所以f(x＋3)－f(1－x)＝0，即f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(x＋4)，即函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．又由f(x＋3)－g(3－x)＝4可得g(3－x)＝f(x＋3)－4，则有g(x＋2)＝f(－x＋4)－4，g(2－x)＝f(x＋4)－4，因为g(x＋2)＋g(2－x)＝0，所以f(－x＋4)－4＋f(x＋4)－4＝0，即f(－x＋4)＋f(x＋4)＝8，所以函数f(x)的图象关于点(4,4)对称．所以函数f(x)是周期函数，周期T＝4×|4－2|＝8.故C正确；对于A，因为f(－x)＝f(x＋4)，f(x)＝f(x＋8)，若f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＋f(x＋8)＝0，与f(x＋4)＋f(x＋8)＝8矛盾．故A错误；对于D，由f(x＋3)－g(3－x)＝4求导可得f′(x＋3)＋g′(3－x)＝0，则有f′(x)＋g′(6－x)＝0，因为f′(x)＝g′(x＋2)，所以g′(x＋2)＋g′(6－x)＝0，则g(x＋2)－g(6－x)＝t(t是常数)，令x＝2，可得g(4)－g(4)＝t＝0，所以g(x＋2)＝g(6－x)，即函数g(x)的图象关于直线x＝4对称．所以函数g(x)也是周期函数，周期T＝4×|4－2|＝8.因为g(x＋2)＋g(2－x)＝0，令x＝0，可得g(2)＝0，根据对称性可知，g(6)＝g(2)＝0，g(1)＋g(3)＝g(7)＋g(5)＝0，g(4)＋g(8)＝g(4)＋g(0)＝0，所以g(1)＋g(2)＋…＋g(7)＋g(8)＝0.所以(i)＝g(1)，g(1)不确定是否为0，故D错误．故选BC. 视角四　抽象函数还原具体函数 例4　(1)(2025·四川一模)(多选题)已知函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(1)≠0，那么(AC) A．f(0)＝1 B．f(1)＝2 C．f(－x)＝f(x) D．若f(π)＝，则f(x＋2π)＝f(x) 解析　对于A，令x＝1，y＝0，f(1)＋f(1)＝2f(1)f(0)，因为f(1)≠0，所以f(0)＝1，故A正确；设f(x)＝cos x，则f(x＋y)＋f(x－y)＝cos(x＋y)＋cos(x－y)＝cos xcos y－sin xsin y＋cos xcos y＋sin xsin y＝2cos xcos y＝2f(x)f(y)，显然满足条件，但是f(1)＝cos 1≠2，故B错误；对于C，令x＝0，f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(y)＝f(－y)，又y∈R，所以f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，故C正确；对于D，设f(x)＝cos，类似B中推导，可知满足题设条件，但最小正周期是6π，故D错误．故选AC. (2)(2025·重庆模拟)(多选题)已知函数f(x)是定义域为R的可导函数，若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3xy(x＋y)，且f′(0)＝－3，则(ACD) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是减函数 C．f()＝0 D．x＝1是f(x)的极小值点 解析　对于选项A：令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令y＝－x，可得0＝f(x)＋f(－x)，且函数f(x)的定义域为R，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于选项B，D，因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3x2y＋3xy2＝f(x)＋f(y)＋(x＋y)3－x3－y3，所以f(x＋y)－(x＋y)3＝f(x)－x3＋f(y)－y3，设f(x)－x3＝kx，所以f′(x)＝3x2＋k，因为f′(0)＝－3，所以k＝－3，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>1；令f′(x)<0，解得－1<x<1；可知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数，f(x)在(－1,1)上为减函数，所以x＝1是f(x)的极小值点，故B错误，D正确．对于选项C，f(x)＝x3－3x，所以f()＝()3－3＝0，故C正确．故选ACD. 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(B) A．f(10)>100 B．f(20)>1 000 C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000 解析　因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；依次类推，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；f(6)>f(5)＋f(4)>8＋5＝13；f(7)>f(6)＋f(5)>13＋8＝21；f(8)>f(7)＋f(6)>21＋13＝34；f(9)>f(8)＋f(7)>34＋21＝55；f(10)>f(9)＋f(8)>55＋34＝89；f(11)>f(10)＋f(9)>89＋55＝144；f(12)>f(11)＋f(10)>144＋89＝233；f(13)>f(12)＋f(11)>233＋144＝377；f(14)>f(13)＋f(12)>377＋233＝610；f(15)>f(14)＋f(13)>610＋377＝987；….显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000，故选B. 2．(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(A) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解析　因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)　①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)　②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(ABC) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 解析　取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；不妨取f(x)＝0，此时f(x)符合题设，但f(x)无极值．故D不正确．综上，选ABC. 4．(2022·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(BC) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) 解析　解法一(转化法)：因为f为偶函数，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f＝f，即f(－1)＝f(4)，所以C正确；因为g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)＝g(2－x)，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，因为g(x)＝f′(x)，所以函数g(x)的图象关于点对称，所以g(x)的周期T＝4×＝2，因为f(－1)＝f(4)，所以f′(－1)＝－f′(4)，即g(－1)＝－g(4)＝－g(2)，所以D不正确；因为f＝f，即f＝f，所以f′＝－f′，所以g＝－g＝－g＝－g，所以g＝0，所以B正确；不妨取f(x)＝1(x∈R)，经验证满足题意，但f(0)＝1，所以选项A不正确．综上，选BC. 解法二 (特例法)：因为f，g(2＋x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称．取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R)，则f(0)＝1，排除A；取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx，则f′(x)＝πcos πx，即g(x)＝πcos πx，所以g(－1)＝πcos (－π)＝－π，g(2)＝πcos 2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D.故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $