1.微专题18 函数的图象与性质(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的图象与性质核心考点，涵盖单调性、奇偶性、周期性及对称性等高考高频内容，按“性质梳理—图象辨析—性质应用”逻辑分层构建知识体系，通过考点精讲、方法归纳、真题解析和分层训练四环节，帮助学生系统掌握函数性质的内在联系与解题策略。 讲义突出数学思维与数学语言的融合，如通过奇偶性判定、特殊值代入等方法引导学生用数学眼光观察函数图象特征，结合2024全国甲卷等真题训练培养逻辑推理能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈机制，助力学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏提供实用教学工具。

微专题18　函数的图象与性质 1.函数的单调性 (1)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减． (2)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数组成的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数组成的复合函数为减函数，简称“同增异减”． 2．函数的奇偶性 (1)若函数f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (2)在公共定义域内，奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3．函数的周期性 (1)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a≠0)，则y＝f(x)是以2|a|为周期的周期函数． (2)若f(x＋a)＝f(x－a)(a>0)恒成立，则y＝f(x)是以2a为周期的周期函数． (3)函数图象的对称与周期关系的常见结论： ①若函数y＝f(x)图象的两条对称轴的方程分别为x＝a，x＝b，则函数的一个周期为2|a－b|. ②若函数y＝f(x)图象的两个对称中心分别为点(a,0)，(b,0)，则函数的一个周期为2|a－b|. ③若函数y＝f(x)图象的一条对称轴的方程为x＝a，一个对称中心为点(b,0)，则函数的一个周期为4|a－b|. 4．函数的对称性 已知函数f(x)是定义在R上的函数． (1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)恒成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若f(a＋x)＋f(b－x)＝0恒成立，则f(x)的图象关于点对称．特别地，若f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)恒成立，则f(x)的图象关于点(a,0)对称. 微点一　函数的图象与函数解析式 例1　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(B) 　　 　　 解析　(排除法)由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin＝－1＋－>0，排除D.故选B. (2)(2025·天津高考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(D) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析　由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，且f(x)为偶函数，易得f(x)＝与f(x)＝均为奇函数，排除选项A，B.由题图可知当x>1时，f(x)>0，易得当x>1时，f(x)＝<0，f(x)＝>0，排除C，故选D. 训练1　(1)(2025·江西一模)函数f(x)＝cos πx的部分图象大致为(A) 　　 　　 解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数f(－x)＝cos(－πx)＝－cos πx＝－f(x)，f(x)是奇函数，所以排除B，C，又函数f(x)在原点附近大于0的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数，如0.1，得f(0.1)＝(0.1－10)cos(0.1π)<0，所以排除D.故选A. (2)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(B) A．f(x)＝cos 2x·(ex－e－x) B．f(x)＝sin 2x·ln C．f(x)＝ D．f(x)＝·ln 解析　对于A，函数f(x)＝cos 2x·(ex－e－x)的定义域为R，而题中函数图象在自变量为0时无意义，不符合题意，排除；对于C，当x>0时，f(x)＝>0，与题中函数图象不符，排除；对于D，当x>0时，f(x)＝·ln＝[ln x2－ln(x2＋1)]<0，与题中函数图象不符，排除．故选B. 微点二　函数性质的应用 考向1　单调性与奇偶性 例2　(1)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(D) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 解析　函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. (2)(2025·济宁一模)已知函数f(x)＝cos x是奇函数，则实数a＝_1_. 解析　因为2x＋1>0，可知函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，则f(0)＝a－1＝0，解得a＝1，则f(x)＝cos x，又因为f(－x)＋f(x)＝cos(－x)＋cos x＝cos x＝(2－2)cos x＝0，即f(－x)＝－f(x)，可知函数f(x)是奇函数，所以a＝1符合题意. ,, 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域． 训练2　已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>0时，f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)＋f(2x)≥0的解集为(A) A．[－2,0] B．[0,2] C．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞) 解析　解法一：由题意得f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)，即f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)，不妨令x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在R上单调递减．在f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)中，令x1＝x2＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.令x1＝x，x2＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，故f(x)是奇函数．由f(x2)＋f(2x)≥0，得f(x2)≥－f(2x)，即f(x2)≥f(－2x)，所以x2≤－2x，解得－2≤x≤0，即x∈[－2,0]．故选A. 解法二：因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以可令f(x)＝kx，又当x>0时，f(x)<0，所以k<0，所以f(x2)＋f(2x)≥0可转化为kx2＋2kx≥0，即x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，即x∈[－2,0]．故选A. 考向2　奇偶性、周期性与对称性 例3　(2025·合肥模拟)(多选题)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R，且f(x－1)和g(2x＋1)都是奇函数，且g(0)＝，则下列说法正确的有(ACD) A．g(x)关于x＝－1对称 B．f(x)关于(1,0)对称 C．g(x)是周期函数 D.g(2i)＝4 解析　因为f(x－1)为奇函数，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f′(x－1)＝f′(－x－1)，即g(x－1)＝g(－x－1)，所以g(x)的图象关于直线x＝－1对称．故A正确；因为f(x－1)为奇函数，则其图象关于(0,0)对称，向左平移一个单位后得到f(x)的图象，则f(x)的图象关于(－1,0)对称，故B错误；因为g(2x＋1)为奇函数，则g(2x＋1)＝－g(－2x＋1)，则有g(x＋1)＝－g(－x＋1)，所以g(x)＝－g(－x＋2)　①，又g(x－1)＝g(－x－1)，则g(x)＝g(－x－2)　②，由①②得g(－x－2)＝－g(－x＋2)，则g(x－2)＝－g(x＋2)，则g(x)＝－g(x＋4)，g(x＋4)＝－g(x＋8)，则g(x)＝g(x＋8)，所以8是函数g(x)的一个周期，g(x)是周期函数，故C正确；因为g(0)＝，g(x)＝－g(－x＋2)，g(x)＝－g(x＋4)，所以g(2)＝－g(2－2)＝－g(0)＝－，g(4)＝－g(0)＝－，g(6)＝－g(2)＝，所以g(2i)＝(－1－2＋3＋4－5－6＋7＋8－9－10＋11＋12)×＝4，故D正确，故选ACD. ,, 周期性与奇偶性的综合应用 周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值对应的自变量转化到已知解析式的区间内求解． 训练3　(2025·南昌一模)(多选题)已知f(x)是R上的连续函数，满足∀x，y∈R有f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1.则下列说法中正确的是(BCD) A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数 C．f(x)的一个周期为6 D.是f(x)的一个对称中心 解析　因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(x)的定义域为R，关于原点对称，对于选项A：令x＝y＝0，则2f(0)＝f2(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝2，若f(0)＝0，令y＝0时，f(x)＋f(x)＝2f(x)＝f(x)f(0)＝0，这与f(1)＝1矛盾，故f(0)＝2，故A错误；对于选项B：令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，可知f(x)是偶函数，故B正确；对于选项D：因为f(0)＝2，f(1)＝1，当x＝1，y＝1时，f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，故f(2)＝－1，当x＝2，y＝1时，f(3)＋f(1)＝f(2)f(1)，故f(3)＝－2，当x＝y＝时，f(3)＋f(0)＝f2，故f＝0，当x＝时，f＋f＝ff(y)＝0，所以f＋f＝0，是f(x)的一个对称中心，故D正确；对于选项C：因为f＋f＝0，即f＝－f，即f＝－f，则f(x＋3)＝－f(－x)，又f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故f(x)是以6为周期的周期函数，故C正确；故选BCD. 1．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(D) A．f(x)＝－x B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析　如图，在坐标系中分别画出A、B、C、D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D. 2．(2023·天津高考)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(D) A．f(x)＝ 　B．f(x)＝ C．f(x)＝ 　D．f(x)＝ 解析　由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A；对于B，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除B；对于C，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D符合题意，故选D. 3．(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(A) A．－ B．－ C. D. 解析　f＝f＝f＝5－2×＝－. 4．(2021·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝_1_. 解析　因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $