1.微专题14 直线与圆(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆核心考点，涵盖平行垂直判定、距离公式、圆的方程及位置关系等内容，按直线方程、圆的方程、直线与圆位置关系、圆与圆位置关系四个微点系统梳理，通过考点解析、方法归纳、真题演练环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如直线与圆相切问题结合几何法与代数法推理，设计分层训练题与高考真题精讲，引导学生用数学眼光分析问题、用数学语言表达思路，有效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

微专题14　直线与圆 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．两个距离公式 (1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. (2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 3．圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心为(a，b)，半径为r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径为r＝. (3)圆的参数方程：以(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程为(其中θ为参数)． 4．与圆的切线有关的常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2. 5．两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0　①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0　②，若两圆相交，则有一条公共弦，公共弦所在直线的方程可由①－②得到，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. 微点一　直线的方程 例1　(1)(多选题)对于直线l1：ax＋2y＋3a＝0，l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，则(ABC) A．l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝－2 B．当a＝时，l1⊥l2 C．直线l2经过第二象限内的某定点 D．点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为3 解析　对于A，若l1∥l2，则a(a－1)－6＝0，解得a＝3或a＝－2，经检验，符合题意，所以a＝3或a＝－2，所以l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝－2，故A正确；对于B，当a＝时，3a＋2(a－1)＝－＝0，所以l1⊥l2，故B正确；对于C，由l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，得(y－1)a＋3x－y＋3＝0，令解得所以直线l2经过定点，位于第二象限，故C正确；对于D，由l1：ax＋2y＋3a＝0，得(x＋3)a＋2y＝0，令解得所以直线l1过定点M(－3，0)，当PM⊥l1时，点P(1,3)到直线l1的距离最大，最大值为|PM|＝＝5，故D错误．故选ABC. (2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n＝_3_. 解析　因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以＝≠，解得n＝－4且m≠－3，所以直线l2为2x－4y－6＝0，直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，因为两平行线间的距离为2，所以＝2，得|2m＋6|＝20，因为m>0，所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3. ,, 解决直线方程问题的要点：(1)熟悉不同形式的直线方程中的参数的几何意义；(2)能够熟练地将直线的方程与直线相结合；(3)要注意各种形式的直线方程的“短板”，要考虑到斜率不存在的情况，同时注意斜率为零时直线方程的特征． 训练1　(多选题)已知直线l：x－y＋1＝0，下面四个说法中正确的是(CD) A．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m B．与直线n：2x－2y＋3＝0之间的距离是1 C．点(，0)到直线l的距离为2 D．过点(2，2)，并且与直线l平行的直线方程为x－y－4＝0 解析　直线m的斜率k＝，倾斜角为，与直线l不垂直，A不正确；直线n：2x－2y＋3＝0化为x－y＋＝0，所以直线l与直线n的距离为＝，B不正确；点(，0)到直线l的距离d＝＝2，C正确；过点(2，2)与直线l平行的直线方程为y－2＝(x－2)，即x－y－4＝0，D正确．故选CD. 微点二　圆的方程 例2　(1)经过A(1,1)，B(－1,1)，C(0,2)三个点的圆的方程为(C) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 解析　设经过A，B，C三个点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意可得解得且满足D2＋E2－4F＝4>0，所以经过A，B，C三个点的圆的方程为x2＋y2－2y＝0，即为x2＋(y－1)2＝1. (2)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为(A) A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－4)2＋(y－2)2＝4 C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4 D．(x－2)2＋(y－4)2＝4 解析　由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，则解得所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4. ,, 求圆的方程的方法 (1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法：设出圆的方程，用待定系数法求解． 训练2　(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为(D) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 解析　因为圆心在直线y＝－x上，设圆心坐标为(a，－a)，因为圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，所以＝，解得a＝1，所以圆心坐标为(1，－1)，又＝r，所以r＝，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选D. (2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为_(x－2)2＋y2＝9_. 解析　设C(a,0)(a>0)，由题意知＝，解得a＝2，所以r＝＝3.故圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. 微点三　直线与圆的位置关系 考向1　直线与圆相切 例3　(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(B) A．1 B. C. D. 解析　解法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2,0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝＝2，则|PA|＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－<0，即∠APB为钝角，所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝. 解法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2,0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，如图，可得|PC|＝＝2，则|PA|＝|PB|＝＝，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－<0，即∠APB为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，且α为锐角，所以sin α＝＝. 考向2　直线与圆相交 例4　(多选题)已知直线l：mx＋y－m＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，则下列选项中正确的是(CD) A．线段AB最短为2 B．△AOB的面积的最大值为2 C．若P是圆上任意一点，则不存在m，使得∠APB取最大值 D．过点A，B分别作直线l的垂线，与x轴交于C，D两点，若|CD|＝2，则|AB|＝ 解析　对于A，因为l：mx＋y－m＝0过定点(，0)且斜率存在，所以圆心O到l的距离d满足0≤d<，所以|AB|>2，故A不正确；对于B，△AOB的面积S＝×2×2×sin∠AOB≤×2×2×1＝2，当且仅当|AB|＝2时取最大值，而|AB|>2，故B不正确；对于C，由圆周角定理可得，因为|AB|不存在最小值，所以钝角∠APB不存在最大值，故C正确；对于D，设l的倾斜角为α，由tan α＝－m知|cos α|＝，而圆心O到l的距离d＝，|AB|＝2，所以由|CD||cos α|＝|AB|知，|cos α|＝，所以＝，解得m2＝3，此时d＝，故|AB|＝，故D正确．故选CD. 考向3　直线与圆中的平面向量的交汇 例5　已知点P(1,0)，C(0，)，O是坐标原点，点B满足||＝1，则与夹角的最大值为(A) A. B. C. D. 解析　 设点B(x，y)，可得＝(－x，－y)，因为||＝1，可得x2＋(y－)2＝1，即点B的轨迹是以C(0，)为圆心，半径r＝1的圆，如图所示，当直线BP与圆C相切且切线在圆心下方时，直线BP的倾斜角最大，即与夹角最大．设过点P与圆C相切的直线PB的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，则圆心到直线的距离等于圆的半径，可得＝1，解得k＝－，设切线的倾斜角为α(0≤α<π)，则tan α＝－，可得α＝，即与夹角的最大值为. 训练3　(1)(多选题)已知点M在直线l：y－4＝k(x－3)上，点N在圆O：x2＋y2＝9上，则下列说法正确的是(ABD) A．点N到l的最大距离为8 B．若l被圆O所截得的弦长最大，则k＝ C．若l为圆O的切线，则k的取值范围为 D．若点M也在圆O上，则点O到l的距离的最大值为3 解析　由题意可知，直线l过定点P(3,4)，圆O的圆心为原点O，半径为3，设圆心O到直线l的距离为d.当OP⊥l时，圆心O到直线l的距离最大，最大距离为＝5，所以点N到l的最大距离为5＋3＝8，故A正确．若l被圆O所截得的弦长最大，则直线l过圆心O，可得－3k＝－4，所以k＝，故B正确．若l为圆O的切线，则＝3，解得k＝，故C错误．若M也在圆O上，则直线l与圆O相切或相交，当直线l与圆O相切时，点O到l的距离取最大值3，故D正确． (2)已知P是圆O：x2＋y2＝9上的动点，点Q满足＝(3，－4)，点A(1,1)，则|AQ|的最大值为(C) A．8　　B．9　　C.＋3　　D.＋3 解析　设Q(x，y)，P(x0，y0)，由＝(x－x0，y－y0)＝(3，－4)，得x0＝x－3，y0＝y＋4，因为点P在圆O上，即x＋y＝9，则(x－3)2＋(y＋4)2＝9，所以点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，3为半径的圆．因为A(1，1)，(1－3)2＋(1＋4)2＝29>9，所以点A在圆外，所以|AQ|的最大值为＋3＝＋3. (3)(2025·黑龙江模拟)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点M(0,1)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|＝ . 解析　x2＋y2－4x＝0可化为(x－2)2＋y2＝4，所以圆C的圆心为(2,0)，半径为2，易知其中一条切线与y轴重合，不妨设此切点为A(0,0)，易得|MA|＝1. 解法一：故以M(0,1)为圆心，|MA|为半径的圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1，将两圆的方程相减得到直线AB的方程2x－y＝0.将2x－y＝0与x2＋y2－4x＝0联立，得5x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.所以得A(0，0)，B，故|AB|＝＝. 解法二：如图，连接MC，则MC⊥AB，设MC与AB的交点为F，由△MAF∽△MCA，可得|MA|2＝|MF|·|MC|.又|MC|＝＝，所以|MF|＝，故|AF|＝＝＝，所以|AB|＝2|AF|＝. 微点四　圆与圆的位置关系 例6　(2025·浙江温州模拟)(多选题)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则(AD) A．两圆的圆心距|OC|的最小值为1 B．若圆O与圆C相切，则a＝±2 C．若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2<a<2 D．若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2 解析　根据题意，可得圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(a，1)，半径R＝2.对于A，两圆的圆心距d＝|OC|＝≥1，故A正确；对于B，两圆内切时，圆心距d＝|OC|＝R－r＝1，即＝1，解得a＝0.两圆外切时，圆心距d＝|OC|＝R＋r＝3，即＝3，解得a＝±2.综上所述，若两圆相切，则a＝0或a＝±2，故B不正确；对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d＝|OC|∈(R－r，R＋r)，即∈(1,3)，可得1<<3，解得－2<a<2且a≠0，故C不正确；对于D，若圆O与圆C相交，则当圆O：x2＋y2＝1的圆心O在公共弦上时，公共弦长等于2r＝2，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D正确．故选AD. ,, (1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理． (2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长． 训练4　(多选题)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是(BD) A．若圆C2与x轴相切，则m＝2 B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离 C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在直线的方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0 D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点 解析　对于A，由x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0得(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以圆C2的圆心为C2(－1，m)，圆C2的半径r2＝2，若圆C2与x轴相切，则|m|＝r2＝2，即m＝±2，所以A错误；对于B，当m＝－3时，圆C2的圆心为C2(－1，－3)，圆C2的半径r2＝2，因为圆C1的圆心为C1(1,3)，圆C1的半径r1＝，所以|C1C2|＝2>r1＋r2＝＋2，所以圆C1与圆C2相离，所以B正确；对于C，圆C1的一般方程为x2＋y2－2x－6y－1＝0，圆C2的一般方程为x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，因为圆C1与圆C2有公共弦，所以公共弦所在直线的方程为4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，所以C错误；对于D，因为直线kx－y－2k＋1＝0，即y－1＝k(x－2)，所以直线恒过定点(2,1)，因为(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，所以点(2,1)在圆C1的内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，所以D正确．综上，选BD. 1．(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(D) A. B．2 C．3 D．3 解析　化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝＝3.故选D. 2．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(C) A．1 B．2 C．4 D．2 解析　根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1，－2)．设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，|AB|最小，将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5，则C(0，－2)，所以|MC|＝1，所以|AB|的最小值为2＝4，故选C. 3．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(B) A. B. C.　 D. 解析　因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝.故选B. 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 2 . 解析　设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式，得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，又d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±2或m＝±. 5．(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是 . 解析　因为kAB＝，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以≤1.整理，得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤. 学科网（北京）股份有限公司 $