4.微专题13 统计与成对数据的统计分析(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦统计与成对数据的统计分析专题，涵盖分层抽样的均值方差、回归分析、独立性检验等核心考点，按“公式梳理-微点突破-真题演练”逻辑架构知识，通过考点精讲、方法归纳、分层训练帮助学生构建统计问题的解题框架。 讲义突出数学思维与数据意识培养，如通过频率分布直方图估计数字特征训练数学眼光，结合回归模型选择（比较R²值）强化模型观念，设置基础巩固与真题应用分层练习，助力学生高效突破统计难点，为教师把控复习节奏提供系统支持。

微专题13　统计与成对数据的统计分析 1.分层随机抽样中的均值与方差 若将总体分为k层，第j层的样本量为nj，样本均值为j，样本方差为s，j＝1,2，…，k，记n＝j，则总的样本均值和样本方差s2分别为＝jj，s2＝njs＋nj(j－)2]． 2．一元线性回归模型 (1)经验回归直线＝x＋一定过样本点的中心(，)． (2)a，b的最小二乘估计为(3)决定系数R2＝1－越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差． 3．独立性检验 (1)卡方：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量． (2)基于小概率值α的检验规则： 当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，没有充分证据推断H0不成立，即认为X和Y独立. 微点一　统计图表及数字特征的应用 例1　(1)(多选题)给定一组不全相同的样本数据x1，x2，…，xn，关于样本数据2x1－1,2x2－1，…，2xn－1的说法正确的是(AD) A．与原数据相比，极差一定变大 B．与原数据相比，众数一定变大 C．与原数据相比，平均数一定变大 D．与原数据相比，方差一定变大 解析　对于A，若样本数据x1，x2，…，xn中的最小的数为x1，最大的数为xn，则极差为xn－x1，则样本数据2x1－1,2x2－1，…，2xn－1的极差为(2xn－1)－(2x1－1)＝2(xn－x1)，因为xn－x1>0，所以2(xn－x1)>xn－x1，所以A正确；对于B，若x1，x2，…，xn的众数为x1，则2x1－1,2x2－1，…，2xn－1的众数为2x1－1，若x1＝－1，则2x1－1＝2×(－1)－1＝－3<－1，所以B错误；对于C，若x1，x2，…，xn的平均数为，则2x1－1,2x2－1，…，2xn－1的平均数为2－1，若＝0，则2－1＝－1<0，所以C错误；对于D，若x1，x2，…，xn的方差为s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，而s2>0，则2x1－1,2x2－1，…，2xn－1的方差为s′2＝[(2x1－1－2＋1)2＋(2x2－1－2＋1)2＋…＋(2xn－1－2＋1)2]＝4×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝4s2>s2，所以D正确．故选AD. (2)(2025·滨州二模)(多选题)据网络平台数据，电影《哪吒之魔童闹海》登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10 000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则(BD) A．a＝0.019 B．观众年龄的众数估计为35 C．观众年龄的平均数估计为30.2 D．观众年龄的第70百分位数估计为38 解析　由题意知(0.010＋a＋0.022＋0.025＋0.020＋0.005)×10＝1，解得a＝0.018，故A错误；观众年龄的众数估计是＝35，故B正确；估计这10 000名观众年龄的平均数为5×0.1＋15×0.18＋25×0.22＋35×0.25＋45×0.2＋55×0.05＝29.2，故C错误；前3组的频率之和为(0.010＋0.018＋0.022)×10＝0.50，前4组的频率之和为0.50＋0.025×10＝0.75，故第70百分位数位于第4组，设其为t，则(t－30)×0.025＋0.50＝0.70，解得t＝38，即第70百分位数为38，故D正确．故选BD. ,, 利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法 (1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数． (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘矩形底边中点横坐标之和． 训练1　(1)(2025·广东模拟)(多选题)为了丰富学生的课余生活，减轻学生的学习压力，某校提倡师生全民健身，口号为“全民健身，与奥运同行”．该校跳绳社团组织学生校内跳绳比赛，得到10名同学的跳绳数分别为：180,166,190,176,180,200,170,198,160,220(单位：个)，则这组样本数据的(ABD) A．极差为60 B．平均数是184 C．方差为400 D．60%分位数是185 解析　将这组数据从小到大排序得160,166,170,176,180,180,190,198,200,220，这组数据的极差为220－160＝60，故A正确；平均数为×(180＋166＋190＋176＋180＋200＋170＋198＋160＋220)＝184，故B正确；方差为×[(180－184)2＋(166－184)2＋(190－184)2＋(176－184)2＋(180－184)2＋(200－184)2＋(170－184)2＋(198－184)2＋(160－184)2＋(220－184)2]＝297.6，故C错误；因为10×0.6＝6，所以60%分位数为＝185，故D正确．故选ABD. (2)(多选题)2020至2024年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则(ABD) A．2020至2024年我国快递业务量逐年增长 B．2020至2024年我国快递业务量的中位数是1 106亿件 C．2020至2024年我国快递业务量增长速度的极差是19.4% D．估计我国2019年的快递业务量大于500亿件 解析　对于A中，根据统计图表，可得2020至2024年我国快递业务量逐年增长，所以A正确．对于B中，2020至2024年我国快递业务量分别为834,1 083，1 106，1 321,1 605，可得数据的中位数为1 106亿件，所以B正确；对于C中，2020至2024年我国快递业务量增长速度的极差为31.2%－2.1%＝29.1%，所以C错误．对于D中，设我国2019年的快递业务量为x亿件，则(1＋31.2%)x＝834，可得x＝>＝556>500，所以D正确．故选ABD. 微点二　回归分析 例2　某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出xi(万元)与年度销售量yi(万台)的数据，如表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 广告费 支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 其中iyi＝279.4，＝708. (1)若用回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程； (2)若用y＝c＋d模型拟合得到的经验回归方程为＝1.63＋0.99，经计算回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请根据R2的数值选择更好的回归模型拟合y与x的关系，进而计算出年度广告费x为何值时，利润＝200y－x的预报值最大？ 参考公式： ＝＝，＝－. 解　(1)由题意可得：＝＝8，＝＝4.2，所以＝＝＝0.17，＝－＝4.2－0.17×8＝2.84，y关于x的经验回归方程为＝0.17x＋2.84. (2)因为0.75<0.88，R2越大拟合效果越好，选用经验回归方程＝1.63＋0.99更好，＝200(1.63＋0.99)－x＝－x＋198＋326＝－(－99)2＋10 127，当＝99，即x＝9 801时，利润的预报值最大． 训练2　某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本 号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 根部 横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 a b c 0.07 0.06 材积 量yi 0.25 0.41 0.22 0.54 0.53 0.34 0.35 0.39 0.43 0.44 0.39 其中a，b，c为等差数列，并计算得：iyi＝0.146，≈0.044，≈0.303. (1)求b的值； (2)若选取前6个样本号对应数据，判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性，并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的经验回归方程(若0.25≤|r|≤0.75，则认为两个变量的线性相关性一般；若|r|>0.75，则认为两个变量的线性相关性很强)； (3)根据经验回归方程估计a，c的值(精确到0.01)． 附：样本相关系数r＝， 经验回归方程＝x＋中，＝.＝－. 解　(1)由a，b，c为等差数列，得2b＝a＋c，由表格得该树木根部横截面积的平均值为0.06，可得a＋b＋c＝0.06×10－(0.04＋0.06＋0.04＋0.08＋0.08＋0.05＋0.07)＝0.18，故3b＝0.18，解得b＝0.06. (2)由已知得＝×(0.04＋0.06＋0.04＋0.08＋0.08＋0.05)≈0.058，＝×(0.25＋0.41＋0.22＋0.54＋0.53＋0.34)≈0.382，样本相关系数r＝≈0.98>0.75，故这种树木的根部横截面积与材积量具有很强的线性相关性．所以＝≈6.75，＝－≈－0.009 5，所以该林区这种树木的根部横截面积与材积量的经验回归方程为＝6.75x－0.009 5. (3)由表格数据可得，根部横截面积为a，c时对应的材积量分别为0.35,0.43，代入经验回归方程分别得0.35＝6.75a－0.009 5，0.43＝6.75c－0.009 5，解得a≈0.05，c≈0.07. 微点三　独立性检验 例3　(2025·重庆模拟)随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 (1)从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； (2)依据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式：χ2＝， χ2独立性检验中常用小概率值和相应临界值： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)用A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”，B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A)，n(AB)＝22，n(A)＝50，所以P(B|A)＝＝. (2)零假设为H0：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异，根据表中数据，计算得到χ2＝＝＝1.920<3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，所以可以认为H0成立，即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异. ,, 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据列2×2列联表． (2)提出零假设，根据公式 χ2＝，计算χ2的值． (3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断．χ2越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大． 训练3　(2025·河南省名校模拟)某校开设校本课程“剪纸”，为了解学生参加该课程与性别是否有关，用简单随机抽样的方法分别从男生和女生中各抽取了50名学生进行调查，得到如下2×2列联表： 性别 课程 合计 参加“剪纸”课程 不参加“剪纸”课程 男生 10 女生 30 50 合计 (1)补全列联表，并依据小概率值α＝0.050的独立性检验，分析参加“剪纸”课程是否与性别有关联； (2)以样本估计总体，且以频率估计概率，若从该校女生中随机抽取3人，记其中参加“剪纸”课程的人数为X，求X的期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.025 0.010 xα 3.841 5.024 6.635 解　(1)2×2列联表如下： 性别 课程 合计 参加“剪纸” 课程 不参加“剪纸”课程 男生 10 40 50 女生 20 30 50 合计 30 70 100 零假设为H0：参加“剪纸”课程与性别无关联，则χ2＝＝≈4.762>3.841＝x0.050，依据小概率值α＝0.050的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为参加“剪纸”课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050. (2)由表格中的数据知，从女生中抽取1人，其参加“剪纸”课程的概率为P＝＝，X的可能取值为0,1,2,3，且X～B，所以E(X)＝3×＝. 1．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200] 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(C) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 解析　对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050,1 100)，故A不正确；对于B,100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%＝66%，故B不正确；对于C，因为1 200－900＝300,1 150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确；对于D,100块稻田亩产量的平均值为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg)，故D不正确．综上所述，故选C. 2．(2024·天津高考)下列图中，线性相关系数最大的是(A) 　　 　　 解析　选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近，故选项A中的线性相关系数最大，故选A. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(BD) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 解析　取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为＝，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，选BD. 4．(2021·新课标Ⅰ卷)(多选题)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则(CD) A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 解析　A项，设＝i，则＝i＝(xi＋c)＝i＋c，所以＝＋c，因为c≠0，所以≠，所以A选项错误．B项，因为yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，所以y1，y2，…，yn的中位数是x1，x2，…，xn的中位数加c，所以B选项错误．C项，设s＝(xi－)2，s＝(yi－)2，所以s＝(xi＋c－－c)2＝(xi－)2，所以s＝s，所以两组数据的方差相同，从而这两组数据的标准差相同，所以C选项正确．D项，设x1<x2<…<xn，则第一组数据的极差为xn－x1，设y1<y2<…<yn，则第二组数据的极差为yn－y1＝(xn＋c)－(x1＋c)＝xn－x1，所以两组数据的极差相同，所以D选项正确，故选CD. 学科网（北京）股份有限公司 $