3.微专题12 随机变量及其分布(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦随机变量及其分布核心考点，涵盖离散型随机变量分布列、均值与方差，以及二项分布、超几何分布、正态分布三类模型，按“概念梳理-专项突破-微点精讲”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法总结、真题演练等环节，帮助学生构建从定义到应用的解题框架。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如定义法求均值方差时引导学生规范“列取值、算概率、建分布列”步骤，二项分布与超几何分布对比教学强化模型识别能力，结合2025年全国卷真题设计分层训练，助力学生高效突破高频考点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

微专题12　随机变量及其分布 1.若离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，且X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)，则： (1)pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)i＝1； (3)E(x)＝ipi； (4)D(X)＝(xi－E(X))2pi. 2．随机变量的数学期望与方差的相关公式 (1)若E(η)和E(ξ)都存在，则E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)． (2)若η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)． (3)期望与方差的转化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2. 3．几个特殊分布的期望与方差 (1)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (2)超几何分布：假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，X表示抽取的n件产品中的次品数，则随机变量X服从超几何分布，E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)，D(X)＝. (3)正态分布：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 专项1　离散型随机变量的均值与方差 微点一　分布列的性质及应用 例1　(1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是(C) A．P(0<ξ<3.5)＝ B．E(3ξ＋2)＝7 C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6 解析　随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,5)，由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1.对于A，P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝，故A不正确；对于B，因为E(ξ)＝1×＋2×＋5×＝2，所以E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确；对于C，D(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C正确；对于D，因为D(ξ)＝2，所以D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故D不正确． (2)(多选题)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则下列结论正确的是(ACD) A．m＝ B．E(X)＝ C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝ 解析　由＋m＋＝1，得m＝，A正确．E(X)＝0×＋1×＋2×＝，E(2X－1)＝2E(X)－1＝，B不正确，C正确．D(X)＝×2＋×2＋×2＝，D正确．故选ACD. ,, 分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率． 训练1　(1)(多选题)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有(ACD) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 解析　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，A正确．由题意，得E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，所以D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，B错误，C正确．因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝2×2＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝4×1.8＝7.2，D正确．故选ACD. (2)(多选题)随机变量ξ的分布列如表，其中xy≠0，则下列说法正确的是(ABC) ξ 0 1 2 P x A.x＋y＝1 B．E(ξ)＝ C．D(ξ)有最大值 D．D(ξ)随y的增大而减小 解析　由题意可知x＋＋＝1，即x＋y＝1，故A正确；E(ξ)＝0×x＋1×＋2×＝，故B正确；D(ξ)＝x2＋2＋2＝(1－y)＋2＋2＝－y2＋3y，因为xy≠0，x＋y＝1，所以0<y<1，设f(y)＝－y2＋3y，易知f(y)在上单调递增，在上单调递减，所以D(ξ)随着y的增大先增大后减小，当y＝时，D(ξ)取得最大值，故C正确，D错误．故选ABC. 微点二　定义法求离散型随机变量的均值与方差 例2　(1)(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝ . 解析　X的所有可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝C3＝＝，P(X＝2)＝C3×6＝＝，P(X＝3)＝C×3×6＝＝，所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. (2)(2025·梅河口模拟)某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求． ①求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率； ②用X表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求X的分布列和数学期望． 解　①由题意，甲选择篮球，并在建模，写作，音乐，朗诵，素描5门里再选2门，则选中建模的概率为＝；乙同学没有要求，则选中建模的概率为＝.故甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为×＝. ②由①知，甲选中建模的概率为，乙选中建模的概率为，丙选中建模的概率为＝，由题意X可能的取值有0,1,2,3，故P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ,, 求随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能值； (2)求X取每个值时对应的概率； (3)写出X的分布列； (4)由均值定义求出E(X)； (5)由方差定义求出D(X)． 训练2　为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项．根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 奖项组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 (1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； (2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断D(ξ)与D(η)的大小关系．(结论不要求证明) 解　(1)记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生”为事件B，P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝. (2)由已知可得，X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (3)D(ξ)＝D(η)．理由：因为ξ＋η＝3，故ξ＝3－η，D(ξ)＝D(3－η)＝(－1)2D(η)＝D(η)． 专项2　三类分布模型及应用 微点一　二项分布 例1　(2025·安徽五校联考)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立)，设X表示智能客服的回答被采纳的次数．求X的分布列、期望及方差． 解　(1)设A＝“智能客服的回答被采纳”，B＝“输入的问题表达不清晰”，依题意，P(B)＝，P()＝，P(A|B)＝，P(A|)＝，因此P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×＋×＝，所以智能客服的回答被采纳的概率为. (2)依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3，X～B，P(X＝0)＝C03＝，P(X＝1)＝C12＝，P(X＝2)＝C21＝，P(X＝3)＝C30＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)＝3×＝；D(X)＝3××＝. ,, 二项分布概率模型的解题策略 (1)求解二项分布问题的“四关”：一是“判断关”，即判断离散型随机变量X是否服从二项分布；二是“公式关”，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出概率p，然后利用P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，求出X取各个值时的概率；三是“分布列关”，列出表格，得到离散型随机变量的分布列；四是“结论关”，分别利用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，求期望和方差． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时可以应用均值与方差的性质求解，即利用E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求解． 训练1　(2025·安庆模拟)DeepSeek席卷全球引发了AI浪潮．某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立DeepSeek应用学生社团组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习四个学生社团并计划招募成员，由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员．下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数. 社团 计划人数 报名人数 数据运用 50 100 模型设计 60 m 场景分析 n 160 迁移学习 160 200 甲同学报名参加这四个学生社团，记ξ为甲同学最终被招募的社团个数，已知P＝，P(ξ＝4)＝. (1)求甲同学至多获得三个社团招募的概率； (2)求甲同学最终被招募的社团个数的期望． 解　(1)由于事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“ξ＝4”是对立的，所以甲同学至多获得三个社团招募的概率是1－P(ξ＝4)＝1－＝. (2)解法一：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习四个社团招募依次记作事件A，B，C，D.由题意可知，P(ξ＝0)＝P()＝×××＝，P(ξ＝4)＝P(ABCD)＝×××＝，又m>60，n<160，解得m＝120，n＝80，则P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，P(ξ＝3)＝P(ABC)＋P(ABD)＋P(ACD)＋P(BCD)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)＝，所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.3. 解法二：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习四个社团招募依次记作事件A，B，C，D.由题意可知，P(ξ＝0)＝P()＝×××＝，P(ξ＝4)＝P(ABCD)＝×××＝，又m>60，n<160，解得m＝120，n＝80.设甲同学报名数据运用，模型设计，场景分析3个社团，最终被招募的社团个数X，由于其被招募的概率均为，所以X服从二项分布，故X～B；甲同学被迁移学习社团招募的概率为，最终被迁移学习社团招募的个数为Y，则Y也服从二项分布，Y～B，从而ξ＝X＋Y，故E(ξ)＝E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)＝3×＋1×＝2.3. 微点二　超几何分布 例2　北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表. 成绩 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 5 5 15 25 10 (1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率； (2)用分层随机抽样的方法，在考核成绩为[70,90)的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80,90)的学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 解　(1)设该名学生考核成绩优秀为事件A，由已知60名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以P(A)＝＝，所以可估计这名学生考核优秀的概率为. (2)由已知，用分层随机抽样方法，在考核成绩为[70,90)的学生中任取8人，则考核成绩在[70,80)的学生应抽取3人，考核成绩在[80,90)的学生应抽取5人．由题意可得X的所有可能取值为1,2,3,4，所以P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. ,, 求超几何分布的分布列的解题模型 (1)对于超几何分布，首先要确定参数N，M，n的值． (2)明确随机变量的所有可能取值，以及随机变量取每一个值时对应的k值． (3)将k的值一一代入超几何分布的概率计算公式，求出对应概率． (4)写出分布列． (5)利用公式求期望值． 训练2　某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0<p<1)，且猜中每道谜语与否互不影响． (1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； (2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围． 解　(1)设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的可能取值分别为2,3,4.P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，故小张猜中谜语道数X的分布列为 X 2 3 4 P 设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y～B(4，p)，Y的取值分别为0,1,2,3,4，P(Y＝0)＝(1－p)4，P(Y＝1)＝C(1－p)3p＝4p(1－p)3，P(Y＝2)＝C(1－p)2p2＝6p2(1－p)2，P(Y＝3)＝C(1－p)p3＝4p3(1－p)，P(Y＝4)＝p4.故小王猜中谜语道数Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P (1－p)4 4p(1－p)3 6p2(1－p)2 4p3(1－p) p4 (2)由(1)可知E(X)＝2×＋3×＋4×＝3，E(Y)＝4p，若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3>4p，可得0<p<，即p的取值范围为. 微点三　正态分布 例3　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)(多选题)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(BC) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析　依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N(2.1，0.12)，故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误；因为X～N(1.8,0.12)，所以P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)≈0.158 7，所以B正确，A错误． (2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝_0.14_. 解析　由题意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14. ,, 利用正态分布求概率的两个常见方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，所以随机变量在关于直线x＝μ对称的区间上取值的概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X的取值落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别约是0.682 7，0.954 5,0.997 3求解． 训练3　(2025·江西宜春模拟)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为＝110.据此估计这20 000名优秀考生数学成绩的标准差s； (2)根据以往经验，可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ和σ可以分别用(1)中的和s来估计．记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y＝5X－10，试估计这20 000名优秀考生中总成绩Y∈[600,660]的人数． 注：≈2.4； 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. 解　(1)抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2＝(80－110)2×0.02＋(90－110)2×0.09＋(100－110)2×0.22＋(110－110)2×0.33＋(120－110)2×0.24＋(130－110)2×0.08＋(140－110)2×0.02＝150.故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150，标准差s＝＝5≈5×2.4＝12. (2)由(1)知μ可用＝110来估计，σ可用s来估计．故X～N(110，122)．又P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝≈＝0.135 9，故P(122≤X≤134)≈0.135 9.又Y＝5X－10，所以P(600≤Y≤660)＝P(600≤5X－10≤660)＝P(122≤X≤134)≈0.135 9.故这20 000名考生中成绩在[600,660]的人数约为20 000×0.135 9＝2 718. 学科网（北京）股份有限公司 $