4.微专题2 平面向量及其应用(专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量核心考点，涵盖数量积性质、模与夹角、数量积计算及参数取值等内容，按“性质结论—微点突破—真题应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法总结、真题精讲与分层训练，帮助学生构建向量问题解题框架。 讲义突出数学思维与数学语言培养，创新采用平方法、坐标法、极化恒等式等解题策略，如在数量积计算中对比基底法与坐标法应用，设置基础训练、能力提升及高考真题演练，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统指导。

微专题2　平面向量及其应用 1.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与b的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 2.常用结论 (1)向量a在向量b上的投影向量等于·. (2)已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. (3)极化恒等式：如图，在△ABC中，M为BC的中点，则·＝2－2＝2－2. 微点一　平面向量的模与夹角 例1　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(B) A. B. C. D．1 解析　由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，所以|b|＝. (2)(2025·南通一模)若非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且向量b在向量a上的投影向量是－a，则向量a与b的夹角为(B) A. B. C. D．π 解析　b在a上的投影向量为·a＝－a，所以＝－，所以a·b＝－|a|2，则cos〈a，b〉＝＝＝－，由于〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. , , 向量的模与夹角问题的求解方法 (1)平方法：若已知两个向量的模的关系或者向量方程，则常常通过平方运算求解； (2)坐标法：若向量之间存在垂直关系，则可建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算； (3)几何法：若存在或可以得到动端点的向量的模为定值，则可应用几何法(需尝试与圆有关)求解有关的模或角的范围问题． 训练1　(1)已知向量|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b－2c＝0，则cos〈a，c〉＝(D) A．－ B．－ C. D. 解析　a＋b－2c＝0，所以a＋b＝2c，两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝4c2，又|a|＝|b|＝1，|c|＝，所以1＋2a·b＋1＝3⇒a·b＝，所以cos〈a，c〉＝＝＝＝＝. (2)(2025·烟台一模)在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，则||＝(C) A. B. C. D．2 解析　在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，所以＝＋＝＋(－)＝＋，则||＝＝＝＝. 微点二　平面向量的数量积 例2　(1)(2025·长沙二模)已知平面向量a，b满足|a|＝2，a⊥(a＋b)，则a·b＝(C) A．－2 B．2 C．－4 D．4 解析　由a⊥(a＋b)，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝0，所以a·b＝－a2＝－4. (2) 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则·＝_13_. 解析　 解法一(坐标法)：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(12,0)，B(0,0)，C(0,8)，F(6,0)，易知CF＝＝10，即CE＝FC，FE＝FC，所以＝＋＝(6,0)＋(－6,8)＝，所以＝－＝(12,0)－＝，而＝，所以·＝×＋2＝13. 解法二(基底法)：由解法一知＝，且CF＝＝10，故·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×102－×122＝13. 解法三(利用极化恒等式)：由解法一知||＝7，由极化恒等式知·＝||2－||2＝49－×144＝13. , , 求非零向量a，b的数量积的方法 (1)定义法：a·b＝|a||b|cos θ. (2)坐标法：①若已知向量的坐标，直接利用坐标运算求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；②若未知向量的坐标，则可通过建立平面直角坐标系写出向量的坐标，进而利用坐标运算求解． 训练2　(1)(2025·上饶一模)在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝60°，＝3，则·＝(D) A．1 B. C．2 D．3 解析　 如图，以{，}为基底，则2＝16，2＝4，·＝4×2cos 60°＝4，且＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝·＝－2＋·＋2＝－×16＋×4＋4＝3. (2)(多选题)已知a，b，i均为单位向量，且|3a＋b|＝－2a·b，则(ACD) A．a⊥(a＋2b) B．|a＋b|＝ C．当实数t变化时，|a＋tb|的最小值是 D．若〈i，a〉＝〈a，b〉，则a·(b－i)＝0 解析　由|3a＋b|＝－2a·b，得14(a·b)2－3a·b－5＝0，解得a·b＝(舍去)或a·b＝－.因为a，b均为单位向量，则a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－1＝0，故A正确．|a＋b|＝＝＝1，故B错误．|a＋tb|＝＝＝≥，当且仅当t＝时取等号，故C正确．由〈i，a〉＝〈a，b〉，得cos〈i，a〉＝cos〈a，b〉，所以＝，整理得i·a＝a·b，即a·(b－i)＝0，故D正确．故选ACD. 微点三　参数的取值(范围) 例3　(1)已知向量a＝(t,2)，b＝(2，－1)．若a与b的夹角的余弦值为－，则实数t的值为(D) A. B．－ C. D．－ 解析　由题意得a·b＝2t－2，|a|＝，|b|＝，所以－＝，解得t＝－. (2)已知向量a＝(m,1)，b＝(4－n,2)，m>0，n>0，若a∥b，则＋的最小值为 ＋ . 解析　因为a∥b，所以2m＝4－n，(2m＋n)＝1，所以＋＝·(2m＋n)＝≥＝＋，当且仅当即m＝2－2，n＝8－4时等号成立. , , 向量参数问题的求解策略 此类问题一般涉及夹角、模、数量积求值、向量位置关系等内容，解题的关键是在掌握以上相关问题解决方法的基础上，应用方程思想求解． 训练3　(1) 如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若＝x＋y，则2x＋2y的最大值为(A) A. B．2 C. D．1 解析　 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，如图，设＝λ＋μ，则λ＋μ＝1，因为等边三角形边长为2，所以外接圆半径为，当点P为切点时，AE＝AF＝，因为BC∥EF，所以设＝＝k，则k∈，当点P为切点时，k有最大值，则＝k，＝k，＝λ＋μ＝λk＋μk，所以x＝λk，y＝μk，则x＋y＝λk＋μk＝(λ＋μ)k＝k≤，所以x＋y的最大值为，故2x＋2y的最大值为. (2)(2025·贵州毕节一模)已知正方形ABCD的边长为2，且＝λ，·＝2，则λ＝ . 解析　 如图，由题意，＝λ，则＝(1－λ)，所以＝＋＝＋(1－λ)，＝＋＝－，所以·＝[＋(1－λ)]·(－)＝2＋(1－λ－1)·－(1－λ)2＝4－4(1－λ)＝2，解得λ＝. 1．(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(x－1,2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝ . 解析　a－b＝(1,1－2x)，根据a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，所以|a|＝. 2．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(C) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝1＋是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 解析　a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B，D错误． 3．(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(B) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n. 4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝ . 解析　由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3　①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，结合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，整理得，b2＝3，所以|b|＝. 5．(2025·天津高考)△ABC中，D为AB中点，＝，＝a，＝b，则＝ a＋b (用a，b表示)；若||＝5，AE⊥CB，则·＝_－15_. 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.因为||＝5，所以25＝2，即900＝a2＋16b2＋8a·b　①，又＝b－a，因为⊥，所以·＝0，即·(b－a)＝0，得4b2－a2－3a·b＝0　②，由①②得2 700＝80b2－5a2，所以16b2－a2＝540，所以·＝·＝(a2－8b2＋2a·b)＝[a2－8b2＋(4b2－a2)]＝(a2－16b2)＝×(－540)＝－15. 学科网（北京）股份有限公司 $