11.4.2 平面与平面垂直-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦平面与平面垂直，系统讲解二面角定义、面面垂直判定与性质定理，衔接线面垂直知识，通过生活实例引入、概念辨析、定理推导搭建学习支架。 资料以“开门角度”“砌墙铅锤”等生活实例引发直观想象，结合定理推导与例题分析培养逻辑推理，设置易错点辨析与分层练习，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

11.4.2　平面与平面垂直 知识层面 1．了解二面角、面面垂直的定义．　2．掌握面面垂直的判定定理和性质定理．　3．灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题． 素养层面 通过对二面角概念、平面与平面垂直定义的学习，培养直观想象核心素养；借助面面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象核心素养． 问题1．如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”． (1)“把门开大一些”是指哪个角大一些？ (2)用图中的∠AOB能刻画门与墙所成角的大小吗？ 提示：(1)门所在的平面与墙所在的平面形成的角大一些． (2)能． 问题2．建筑工人在砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直． (1)由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？ (2)若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？ 提示：(1)垂直． (2)可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可． 学生用书第90页 问题3．教室黑板所在平面与地面垂直． (1)黑板所在平面内的直线是否都垂直于地面？ (2)黑板上任意画一条线与地面垂直吗？ (3)怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示：(1)不都垂直于地面． (2)不一定，也可能平行、相交(不垂直). (3)只要保证所画的线与两面的交线垂直即可． 知识点一　二面角 1．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． 2．二面角的表示 如图所示，以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α-AB-β.如果C和D分别是半平面α和β内的点，那么这个二面角也可记作C-AB-D． 3．二面角的平面角 自然语言 图形语言 符号语言 在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角 α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB为二面角α-l-β的平面角 4．二面角大小的度量 二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小． 平面角是直角的二面角称为直二面角． [微提醒]　(1)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个要素缺一不可．前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和二面角的平面角所在的平面与棱垂直． (2)一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小指的是它们所形成的4个二面角中不大于90°的角的大小． (3)当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是0°≤α≤180°. 知识点二　平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的定义 一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β．作图时，两个平面互相垂直可画成如图所示的样子． 2．平面与平面垂直的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β 3．平面与平面垂直的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 如果α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β 学生用书第91页 1．以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：异面直线所成的角α的范围为0°<α≤90°；直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°；二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°.故只有二面角的平面角可能为钝角．故选B． 2．已知直线l，两个不同的平面α，β，下列命题正确的是(　　) A．若l∥α，l⊥β，则α⊥β B．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 答案：A 解析：已知直线l，两个不同的平面α，β，对于A，若l∥α，l⊥β，则在平面α内一定存在直线m∥l，则m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；对于B，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选A． 3．如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 答案：D 解析：对于A，由D，F分别是AB，CA的中点，所以DF∥BC，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，可得BC∥平面PDF，故A正确．对于B，过P作PO⊥平面ABC，令垂足为O，则O在AE上，又DF⊂平面ABC，则DF⊥PO，又DF⊥AE，PO∩AE＝O，AE、PO⊂平面PAE，故DF⊥平面PAE，故B正确．对于C，由DF⊥平面PAE，DF⊂平面PDF，可得平面 PDF⊥平面PAE，故C正确．对于D，若PO′⊥平面ABC，垂足为O′，则O′在AE上，且AO′＝2O′E，又PO′与平面PDE相交于点P，平面PDE不可能垂直平面ABC，则故D错误．故选D． 4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下述错误的是(　　) A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β B．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α C．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β 答案：C 解析：对于A，若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α，故B正确；对于C，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n共面或m，n异面，故C错误；对于D，若m⊥β，m⊂α，则α⊥β，故D正确．故选C． 5．四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为________． 答案：60° 解析：取AB、CD的中点E、F，连接VE、EF、VF，所以VA＝VB＝，所以△VAB为等腰三角形，所以VE⊥AB，又因为ABCD是正方形，则BC⊥AB，因为EF∥BC，所以EF⊥AB，因为EF∩VE＝E，所以∠VEF为二面角V-AB-C的平面角，因为△VAB≌△VDC，所以VE＝VF＝2，EF＝BC＝2，所以△VEF为等边三角形，所以∠VEF＝60°，即二面角V-AB-C为60°. 题型一　求二面角 例1　如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中： (1)求二面角D′-AB-D的大小； (2)求二面角A′-AB-D的大小． 点拨：→→ 解：(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD， 因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角． 在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°， 所以二面角D′-AB-D的大小为45°. (2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′， ∠A′AD为二面角A′-AB-D的平面角． 又∠A′AD＝90°，所以二面角A′-AB-D的大小为90°. 1．二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点，为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析． 2．求二面角的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解．一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 对点练1．(一题多问)四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB． 求：(1)二面角A-PD-C的平面角的度数； (2)二面角B-PA-D的平面角的度数； 学生用书第92页 (3)二面角B-PA-C的平面角的度数． 解：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD， 因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD， 所以平面PAD⊥平面PCD． 所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°. (2)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AB⊥PA，AD⊥PA． 所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角． 又由题意可得∠BAD＝90°， 所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°. (3)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以AB⊥PA，AC⊥PA． 所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角． 又四边形ABCD为正方形， 所以∠BAC＝45°. 即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°. 题型二　平面与平面垂直的判定 例2　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a. 求证：(1)PD⊥平面ABCD； (2)平面PAC⊥平面PBD； (3)∠PCD为二面角P-BC-D的平面角． 点拨： (1) (2) (3) 证明：(1)因为PD＝a，DC＝a，PC＝a， 所以PC2＝PD2＋DC2，则PD⊥DC． 同理可证PD⊥AD． 又AD∩DC＝D，且AD⊂平面ABCD， DC⊂平面ABCD， 所以PD⊥平面ABCD． (2)由(1)知PD⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD， 所以PD⊥AC． 因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD． 又BD∩PD＝D，且PD⊂平面PBD， BD⊂平面PBD， 所以AC⊥平面PBD． 又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD． (3)由(1)可得PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D， 所以BC⊥平面PCD，所以BC⊥PC． 所以∠PCD为二面角P-BC-D的平面角． 证明面面垂直的方法 1．定义法：证明二面角的平面角为直角．步骤：(1)找出两个相交平面的平面角．(2)证明这个平面角是直角．(3)根据定义，说明这两个平面互相垂直． 2．判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决． 对点练2．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，M，N分别为AD，C1D1的中点．求证： (1)平面B1D1M⊥平面AA1C1C； (2)(一题多解)MN∥平面AA1C1C． 证明：(1)因为底面A1B1C1D1为菱形， 所以B1D1⊥A1C1． 因为四棱柱为直四棱柱， 所以AA1⊥平面A1B1C1D1． 因为B1D1⊂平面A1B1C1D1， 所以AA1⊥B1D1． 因为A1C1∩AA1＝A1，A1C1， AA1⊂平面AA1C1C， 所以B1D1⊥平面AA1C1C． 因为B1D1⊂平面B1D1M， 所以平面B1D1M⊥平面AA1C1C． (2)方法一 设B1D1交A1C1于点E，连接AE，NE. 因为底面A1B1C1D1为菱形， 所以E为A1C1的中点． 因为N为C1D1的中点， 所以EN∥A1D1，2EN＝A1D1． 又因为M为AD的中点，AD∥A1D1，AD＝A1D1， 所以AM∥A1D1，2AM＝A1D1， 所以EN∥AM，EN＝AM， 所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE. 因为AE⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C， 所以MN∥平面AA1C1C． 方法二 连接BD交AC于点E. 因为底面ABCD为菱形， 所以E为AC的中点． 因为M为AD的中点，所以EM∥CD，2EM＝CD． 因为N为C1D1的中点，C1D1∥CD，C1D1＝CD， 所以C1N∥CD，2C1N＝CD， 所以EM∥C1N，EM＝C1N， 所以四边形C1EMN为平行四边形， 所以MN∥C1E. 因为C1E⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C， 所以MN∥平面AA1C1C． 学生用书第93页 题型三　面面垂直的性质定理的应用 例3　如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1． 求证：(1)AF∥平面BDE； (2)CF⊥平面BDE. 点拨：(1)→→→ (2) 证明：(1)如图所示，设AC与BD交于点G，连接EG.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG. 又EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)如图所示，连接FG. 因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1， 所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC． 又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC， 所以BD⊥平面ACEF. 因为CF⊂平面ACEF，所以BD⊥CF. 又EG∩BD＝G，所以CF⊥平面BDE. 1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用 (1)证明直线与平面垂直． (2)证明直线与直线平行． (3)作平面的垂线． 2．应用性质定理证线面垂直的关键 一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直． 对点练3．如图，在四棱锥P-ABCD中，经过AB的平面与PD、PC分别交于点E与点F，且平面ABFE⊥平面PCD，AE⊥CD，CD∥平面ABFE.求证： (1)AB∥EF； (2)平面PAD⊥平面PCD． 证明：(1)因为CD∥平面ABFE，CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABFE＝EF， 所以CD∥EF， 又因为CD∥平面ABFE，CD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ABFE＝AB， 所以CD∥AB， 所以AB∥EF. (2)因为AE⊥CD， 又CD∥EF，可得AE⊥EF， 因为平面ABFE⊥平面PCD，平面PCD∩平面ABFE＝EF， 所以AE⊥平面PCD， 又因为AE⊂平面PAD， 所以平面PAD⊥平面PCD． 学生用书第94页 题型四　线面、面面垂直的综合应用 例4　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，△PAD为等边三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD． (1)求证：AD⊥PB； (2)若E为BC边的中点，则能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． 点拨：(1)取AD的中点G，由线面垂直的判定定理易证AD⊥平面PGB．(2)考虑所找的点F满足平面DEF∥平面PGB，从而得出结论． 解：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图． 因为△PAD为等边三角形，G为AD的中点， 所以PG⊥AD． 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点， 所以BG⊥AD． 又BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB， 所以AD⊥平面PGB． 又PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB． (2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD． 证明如下：连接DF，EF. 在△PBC中，因为E，F分别为CB，CP的中点， 所以FE∥PB． 又因为在菱形ABCD中，GB∥DE. 且FE，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E， PB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B， 所以平面DEF∥平面PGB． 由(1)及已知得PG⊥平面ABCD， 而PG⊂平面PGB， 所以平面PGB⊥平面ABCD， 所以平面DEF⊥平面ABCD． 线面、面面垂直的综合问题的解题策略 1．重视转化：涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直． 2．充分挖掘线面垂直关系：解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用． 对点练4．如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．求证： (1)AO⊥CD； (2)平面AOF⊥平面ACE. 证明：(1)因为△ABE为等边三角形， O为BE的中点， 所以AO⊥BE. 又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，AO⊂平面ABE，所以AO⊥平面BCDE. 因为CD⊂平面BCDE，所以AO⊥CD． (2)连接BD，因为四边形BCDE为菱形， 所以CE⊥BD． 因为O，F分别为BE，DE的中点， 所以OF∥BD，所以CE⊥OF. 由(1)可知，AO⊥平面BCDE， 因为CE⊂平面BCDE，所以AO⊥CE. 又AO∩OF＝O，所以CE⊥平面AOF. 因为CE⊂平面ACE，所以平面AOF⊥平面ACE. 学生用书第95页 易错点　对面面垂直的性质定理把握不准确致误 (多选)已知两个平面垂直，则下列命题错误的是(　　) A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 C．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面 D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD． 对于A，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故A错误； 对于B，在平面ABCD中有无数条直线垂直AD，且这无数条直线都垂直平面AA1D1D，进而垂直平面AA1D1D中的任意一条直线，故B正确； 对于C，AD1⊂平面AA1D1D，但AD1不垂直于平面ABCD，故C错误； 对于D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，DC1过平面AA1D1D内一点D，AD⊥DC1，但DC1不垂直于平面ABCD，故D错误．故选ACD． 答案：ACD 易错探因：很容易认为D是正确的而漏选，其实“如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”与“如果两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，那么此垂线垂直于另一个平面”是不同的，关键是过平面内一点作的直线不一定在平面内． 误区警示：证明时要充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化．如果有面面垂直，先在其中一个面内作交线的垂线(有时题中就有这样的垂线，如果没有就要作辅助垂线)，推出线面垂直，再和线线垂直进行循环证明．谨防把线面垂直的判定误认为垂直于两条线就会得到线面垂直(必须是垂直于两条相交线)；把面面垂直的性质定理误认为两平面内的任意两条直线都垂直；把面面垂直的判定误认为两平面内的两条直线垂直，则两面垂直． 1．如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小关系是(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．大小关系不确定 答案：C 解析：可作出这两个二面角的平面角，易知这两个平面角的两边分别平行，故这两个二面角相等或互补．故选C． 2．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直 答案：C 解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直． 3．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案：ABC 解析：如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．故选ABC． 4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形是等边三角形，且AB＝，AA1＝，则二面角A1-BC-A的大小为________． 答案：45° 解析：取BC的中点D，连接AD，A1D，如图所示，由题知，A1B＝A1C，AD＝AB sin 60°＝，又因为D为BC的中点，所以A1D⊥BC，AD⊥BC，所以∠ADA1为二面角A1-BC-A的平面角．在△A1AD中，AA1⊥AD，AA1＝AD，所以△A1AD为等腰直角三角形，∠ADA1＝45°. 学科网（北京）股份有限公司 $