11.4.2 平面与平面垂直-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“平面与平面垂直”核心知识点，从平面几何角的概念类比引入二面角（含概念、平面角定义及范围），进而定义面面垂直，系统梳理判定定理（线面垂直推面面垂直）与性质定理（面面垂直推线面垂直），构建从空间角到面面关系的完整学习支架。 该资料以问题链驱动概念建构，通过“思考”引导学生类比抽象二面角，体现数学抽象素养。结合正方体、三棱锥等实例解析二面角求解及面面垂直证明，培养逻辑推理能力，例题链接教材注重迁移。课中助力教师分层教学，课后学生可通过跟进训练与分层作业巩固，提升用数学语言表达论证过程的能力，有效查漏补缺。

11.4.2　平面与平面垂直 1．能够用数学语言表达面面垂直的判定与性质定理．(数学抽象) 2．了解面面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑关系．(逻辑推理) 3．掌握一些基本命题的证明，并有条理地表述论证过程．(逻辑推理) 在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直． 思考：(1)回顾初中所学知识，什么是射线？如何用射线来定义角？ (2)二面角的大小从哪个角度刻画更为合理？为什么？ 知识点1　二面角 概念 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面 图示 二 面 角 的 平 面 角 定义 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角称为二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 [0，π] 规定 二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小．平面角是直角的二面角叫做直二面角 记法 棱为l，面分别为α，β的二面角记为α-l-β．如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P-l-Q 1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？ [提示]　无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关． 知识点2　平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β． (2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示． (3)面面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 面面垂直的判定定理可简述为“若线面垂直，则面面垂直”． (4)面面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 如果α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β 面面垂直的性质定理可简述为“若面面垂直，则线面垂直”． 2．若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？ [提示]　相交或平行． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面． (　　) (2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面． (　　) (3)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线垂直． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× [提示]　(1)正确． (2)错误．必须要在其中一个平面内作直线才能成立． (3)错误．可能平行，也可能相交或异面． 2．(多选)下列说法正确的有(　　) A．两个相交平面组成的图形称为二面角 B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个半平面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角中的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 BD　[由二面角的定义知，A错误；a，b分别垂直于两个半平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C错误；由二面角的平面角的定义知，D正确．故选BD．] 3．在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　　) A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB B　[如图，因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面BCD，所以AD⊥平面BCD， 又AD⊂平面ADC， 所以平面ADC⊥平面BCD．] 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝，则二面角C1-BD-C的大小为________． 30°　[如图，连接AC交BD于点O，连接C1O． 因为AB＝AD，所以C1D＝C1B，又O为BD中点，所以C1O⊥BD．因为AC⊥BD， 所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角， 在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算出C1O＝2， 所以sin ∠C1OC＝． 所以∠C1OC＝30°．] 类型1　求二面角 【例1】　【链接教材P119例1】 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB． 求：(1)二面角A-PD-C的平面角的度数； (2)二面角B-PA-D的平面角的度数； (3)二面角B-PA-C的平面角的度数． [思路引导]　借助于线面垂直的性质，先确定二面角的平面角，再求解大小． [解]　(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD， 因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD， 所以平面PAD⊥平面PCD． 所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°． (2)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以AB⊥PA，AD⊥PA． 所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角． 又由题意可得∠BAD＝90°， 所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°． (3)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以AB⊥PA，AC⊥PA． 所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角． 又四边形ABCD为正方形， 所以∠BAC＝45°． 即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°． [母题探究] (变结论)在本例中，若求二面角P-BC-D的平面角的度数又该如何解？ [解]　因为PA⊥平面ABCD， BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC，又BC⊥AB，且AB∩AP＝A， 所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．又AB⊥BC， 所以∠PBA为二面角P-BC-D的平面角． 在Rt△PAB中，AP＝AB，所以∠PBA＝45°． 所以二面角P-BC-D的平面角的度数为45°． 【教材原题·P119例1】 例1　如图11-4-16所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求二面角D′-AB-D的大小． [解]　连接D′A和C′B．由已知有 AB⊥平面ADD′A′， 所以 AD′⊥AB，AD⊥AB， 因此∠D′AD即为二面角D′-AB-D的平面角． 由于△D′AD是等腰直角三角形，因此∠D′AD＝45°， 所以二面角D′-AB-D的大小是45°． 　 1．求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”． 2．作二面角的平面角的方法 方法一(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α-a-β的平面角． 方法二(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 如图所示，∠ACB为二面角α-m-β的平面角． [跟进训练] 1．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小． [解]　因为E为SC的中点，且SB＝BC， 所以BE⊥SC． 又DE⊥SC，BE∩DE＝E， 所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC． 又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD， 因为SC∩SA＝S，所以BD⊥平面SAC， 从而BD⊥AC，BD⊥DE， 所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角． 设SA＝AB＝1，在△SAB与△ABC中， 因为SA⊥AB，AB⊥BC， 所以SB＝BC＝， 所以SC＝2． 所以在Rt△SAC中，∠DCS＝30°， 所以∠EDC＝60°， 即二面角E-BD-C的大小为60°． 类型2　平面与平面垂直的证明 【例2】　【链接教材P121例3】 (源自人教A版教材)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC． [思路引导]　要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．在本题中，由题意可知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，从而BC⊥平面PAC，进而平面PAC⊥平面PBC． [证明]　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC． ∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°，即BC⊥AC． 又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC． 又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC． 【链接原题·P121例3】 例3　如图11-4-22(1)所示，已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高．如图11-4-22(2)所示，以AD为折痕将△ABC折起，使∠BDC为直角．在图11-4-22(2)中，求证： (1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC； (2)∠BAC＝60°． [证明]　(1)由已知有AD⊥BD，AD⊥DC，因此在图11-4-22(2)中，有 AD⊥平面BDC． 又因为AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC． 同理，平面ACD⊥平面BDC． (2)因为AB＝AC＝a，所以在图11-4-22(1)中，有BC＝a．从而BD＝DC＝a． 因此图11-4-22(2)中△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝a＝a． 从而AB＝AC＝BC，所以 ∠BAC＝60°． 　证明平面与平面垂直的两个常用方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是 ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角； ③根据定义，这两个相交平面互相垂直． (2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是 [跟进训练] 2．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．证明：平面BED⊥平面ACD． [证明]　因为AD＝CD，E为AC的中点， 所以AC⊥DE； 在△ABD和△CBD中， 因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB， 所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB， 又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE； 又因为DE⊂平面BED，BE⊂平面BED，DE∩BE＝E， 所以AC⊥平面BED， 因为AC⊂平面ACD， 所以平面BED⊥平面ACD． 类型3　面面垂直性质定理的应用 【例3】　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点． 求证：(1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB． [思路引导]　 (2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可． [证明]　(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°， 所以△ABD为正三角形，因为G是AD的中点，所以BG⊥AD． 因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD． (2)如图，连接PG． 因为△PAD是正三角形，G是AD的中点， 所以PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD． 又因为PG∩BG＝G， 所以AD⊥平面PBG． 而PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB． 　 1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用 (1)证明直线与平面垂直． (2)证明直线与直线平行． (3)作平面的垂线． 2．应用性质定理证线面垂直的关键 一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直． [跟进训练] 3．如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，M为DC的中点，将△ADM沿AM向上折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．求证：AD⊥BM． [证明]　在长方形ABCD中，AB＝2，M为DC的中点，则AM＝BM＝＝2， 即有AM2＋BM2＝8＝AB2，于是BM⊥AM，因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM， 所以BM⊥平面ADM，又因为AD⊂平面ADM，所以AD⊥BM． 类型4　垂直关系的综合应用 【例4】　在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，且AB＝BC，能否在侧棱BB1上找到一点E，恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C？若能，指出点E的位置，并求解；若不能，请说明理由． [解]　E为BB1中点．如图，作EM⊥A1C于点M， 因为截面A1EC⊥平面AA1C1C， 所以EM⊥平面AA1C1C． 取AC的中点N， 连接BN，MN． 因为AB＝BC，所以BN⊥AC． 而AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C， 所以平面ABC⊥平面AA1C1C，且交于AC， 所以BN⊥平面AA1C1C． 所以BN∥EM，BN⊥MN． 又BE∥平面AA1C1C，平面BEMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BE∥MN∥A1A． 所以四边形BEMN为平行四边形． 因为AN＝NC，所以A1M＝MC． 所以BE＝MN＝A1A， 即E为BB1的中点时， 平面A1EC⊥平面AA1C1C． 　 1．垂直关系的相互转化 2．探究型问题的两种解题方法 (1)(分析法)即从问题的结论出发，探求问题成立的条件． (2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在，然后进行推证，推出矛盾，否定假设，确定使结论成立的条件不存在． [跟进训练] 4．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．求证： (1)PA⊥BD； (2)平面BDE⊥平面PAC． [证明]　(1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC． 又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD． (2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC． 由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC．因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC． 1．如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行，则这两个二面角的大小关系是(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．大小关系不确定 C　[可作出这两个二面角的平面角，易知这两个平面角的两边分别平行，故这两个二面角相等或互补．] 2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，则(　　) A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b可能垂直也可能平行 C．a与b不可能垂直，但可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行 C　[平面α⊥平面β，α∩β＝l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a，b与l均不垂直，直线a在平面β内的射影为直线l，若b⊥a，则有b⊥l，与已知矛盾，a与b不可能垂直，当a∥l且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a与b可能平行．故选C．] 3．下列说法中，错误的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D　[如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D错误．] 4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-AB-D的大小是________． 45°　[在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥AD1．又AB⊥AD，所以∠D1AD为二面角D1-AB-D的平面角，在Rt△D1AD中，∠D1AD＝45°．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．用平面角度量二面角的大小时要注意哪三点？ [提示]　一是平面角的顶点在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个半平面内；三是两边分别垂直于棱．平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关． 2．求二面角大小的步骤是怎样的？ [提示]　二面角的平面角的定义实际上给出了二面角大小的求法，即一找(或作)、二证、三解(三角形)． 3．平面与平面垂直的判定定理的本质与应用思路是怎样的？ [提示]　(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直． (2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决． 4．线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定和性质是如何转化的？ 提示：三者之间的相互转化关系如图所示． 课时分层作业(二十)　平面与平面垂直 一、选择题 1．已知直线a，b，平面α，β，则下列命题中正确的是(　　) A．α⊥β，a⊂α，则a⊥β B．α∥β，a∥α，则a∥β C．a∥β，b⊂β，则a∥b D．a与b互为异面直线，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β D　[对于A，α⊥β，a⊂α，则只有当直线α与平面α，β的交线垂直时，才有a⊥β，故A错误； 对于B，α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故B错误； 对于C，a∥β，b⊂β，则a与b平行或异面，故C错误； 对于D，a与b互为异面直线，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，由线面平行性质定理及面面平行的判定定理得α∥β，故D正确，故选D．] 2．下列说法正确的有(　　) ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直； ②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行； ③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直； ④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内． A．①③ B．②③ C．②③④ D．④ D　[过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β，所以②不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以③不对；如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内，所以④对．] 3．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则过点C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC的内部 A　[因为BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B， 所以AC⊥平面ABC1． 因为AC⊂平面ABC， 所以平面ABC⊥平面ABC1． 又因为平面ABC∩平面ABC1＝AB， 所以过点C1作C1H⊥平面ABC，则H∈AB， 即H在直线AB上．] 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，E为PB的中点，则三棱锥E-ABC的体积为(　　) A． B． C． D． A　[取CD中点F，连接PF，∵PC＝PD，F为CD中点，∴PF⊥CD，PF＝＝1， 又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PF⊂平面PCD， ∴PF⊥平面ABCD． ∵S△ABC＝S▱ABCD，E为PB中点， ∴VE-ABC＝VP-ABC＝VP-ABCD＝S▱ABCD·PF＝．故选A．] 5．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则二面角A-BD-P的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° A　[过A作AE⊥BD，连接PE，易证BD⊥PE， 则∠AEP为所求角． 由AB＝3，AD＝4，四边形ABCD为矩形，知BD＝5． 又AB·AD＝BD·AE， 所以AE＝， 所以tan ∠AEP＝． 所以∠AEP＝30°．] 二、填空题 6．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P-BC-A的大小为________． 90°　[取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°．] 7．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，将这个菱形沿对角线BD折成60°的二面角，这时线段AC的长度为________． 　[如图，取BD中点E，连接AE，EC，则由菱形的性质可知AE⊥BD，EC⊥BD．故∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，AE＝EC＝，故由余弦定理有AC2＝3＋3－2＝3，故AC＝． ] 8．在一个直二面角α-l-β的棱l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝AC＝BD＝6，则线段CD的长为________． 6　[连接BC，因为AC⊥AB， 则BC＝， 又因为α⊥β，α∩β＝l，BD⊥l，BD⊂β， 所以BD⊥α，由BC⊂α，可得BD⊥BC， 所以CD＝．] 三、解答题 9．(源自北师大版教材)如图，在四面体A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB． (1)四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面？ (2)求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小． [解]　(1)由A1A⊥平面ABC，A1A⊂平面A1AB，得平面A1AB⊥平面ABC；同理可得平面A1AC⊥平面ABC． 因为A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC． 又因为AB⊥BC，A1A⊂平面A1AB，AB⊂平面A1AB，A1A∩AB＝A， 所以BC⊥平面A1AB． 由BC⊂平面A1BC，得平面A1BC⊥平面A1AB． 于是四面体A1-ABC中互相垂直的平面为： 平面A1AB⊥平面ABC，平面A1AC⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1AB． (2)由(1)知，平面A1BC⊥平面A1AB，所以二面角A-A1 B-C为90°．由BC⊥平面A1AB，得A1B⊥BC；又AB⊥BC，所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角． 在Rt△A1AB中，A1A＝AB，则∠A1BA＝45°，即二面角A1-BC-A为45°． 10．如图，A，B，C，D为空间四点，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝(　　) A． B．2 C． D．1 B　[取AB的中点E，连接DE，CE(图略)．因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE．由已知可求得DE＝，CE＝1，故在Rt△DEC中，CD＝＝2．] 11．(多选)在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面四个结论中正确的是(　　) A．BC∥平面AGF B．EG⊥平面ABF C．平面AEF⊥平面BCD D．平面ABF⊥平面BCD ABD　[因为F，G分别是CD，DB的中点，所以GF∥BC，又GF⊂平面AGF，BC⊄平面AGF，所以BC∥平面AGF．故A正确． 因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，所以CD⊥AF，CD⊥BF，又AF∩BF＝F，所以CD⊥平面ABF， 因为EG∥CD，所以EG⊥平面ABF．故B正确． 因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点， 所以CD⊥AF，CD⊥BF，又AF∩BF＝F，所以CD⊥平面ABF． 因为CD⊂平面BCD， 所以平面ABF⊥平面BCD，故D正确，C错误． 故选ABD．] 12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是________． 45°　[因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD，又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD，因为PA∩AD＝A，PA，AD在平面PAD内，所以CD⊥平面PAD， 又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角， 因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD，又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°， 于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°．] 13．如图，在四面体P-ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________． 7　[取AB的中点E，连接PE． ∵PA＝PB，∴PE⊥AB． 又平面PAB⊥平面ABC， 平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴PE⊥平面ABC．连接CE， ∵CE⊂平面ABC， ∴PE⊥CE．∵∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝2＝7．] 14．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1． 求证：(1)DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F． [证明]　(1)因为D，E分别是AB，BC的中点， 所以DE∥AC，又AC∥A1C1，所以DE∥A1C1， 又因为A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，所以DE∥平面A1C1F． (2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以AA1⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1． 又因为A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B， 所以A1C1⊥平面AA1B1B， 因为B1D⊂平面AA1B1B， 所以A1C1⊥B1D，又A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F， 又因为B1D⊂平面B1DE， 所以平面B1DE⊥平面A1C1F． 15．如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝2． (1)求证：平面PCD⊥平面PAD． (2)求三棱锥P-ABD的体积． (3)在棱PC上是否存在点E，使得EB∥平面PAD？若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：因为AB∥CD，AB⊥AD， 所以CD⊥AD，因为平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD， 所以CD⊥平面PAD， 又CD⊂平面PCD， 所以平面PCD⊥平面PAD． (2)取AD中点O，连接PO， 因为△PAD为正三角形， 所以PO⊥AD， 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD， 所以PO⊥平面ABCD， 所以PO为三棱锥P-ABD的高， 因为CD＝2AB＝2AD＝2，△PAD为正三角形， 所以PO＝， VP-ABD＝S△ABD·PO＝． (3)当E为PC中点时，EB∥平面PAD． 证明如下： 取PC的中点E，PD的中点F，连接EF，AF，BE， 则EF∥CD，EF＝CD， 又AB∥CD，AB＝CD， 所以AB∥EF且AB＝EF， 所以四边形ABEF为平行四边形， 所以BE∥AF， 因为BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD． 学科网（北京）股份有限公司 $