课时测评22 二面角的平面角的常见解法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评22　二面角的平面角的常见解法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为(　　) A．60° B．30° C．45° D．15° 答案：C 解析：由条件得，PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.故选C． 2．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：A 解析：因为AB＝AD＝2，CC1＝，所以取BD的中点O，连接C1O，CO(图略)，则∠C1OC即为二面角C1-BD-C的一个平面角，由CO＝，tan ∠C1OC＝＝知，∠C1OC＝30°.故选A． 3．如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则二面角C1-EF-C的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AB⊥平面B1BCC1，E，F分别为棱AD，BC的中点，所以EF∥AB，所以EF⊥平面B1BCC1，所以EF⊥FC1，EF⊥FC，所以∠CFC1就是二面角C1-EF-C的平面角，cos ∠CFC1＝＝＝＝.故选B． 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：B 解析：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA，又底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角．在Rt△PAD中，由PA＝AD＝1，可得∠PDA＝45°.即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°. 5．如图，将正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD，连接A1C与BD相交于点O，连接AO，则AO⊥BD，因为平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD，取CD的中点M，连接OM，AM，则OM∥BC，所以OM⊥CD，所以∠AMO即为所求二面角的平面角．不妨设正方形A1BCD的边长为2，则AO＝，OM＝1，所以AM＝＝.所以cos ∠AMO＝＝.故选B． 6．(多选)如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是(　　) A．异面直线AC与BC1所成的角为60° B．直线AB1与平面ABC1D1所成的角为45° C．二面角A-B1C-B的正切值为 D．四面体D1-AB1C的外接球的体积为π 答案：ACD 解析：如图所示，连接AD1，AO，CD1，对于A，平移直线BC1到直线AD1，则∠D1AC为异面直线AC与BC1所成的角，显然△AD1C为正三角形，所以∠D1AC＝60°，故A正确；对于B，因为B1O⊥BC1，B1O⊥AB，AB∩BC1＝B，所以B1O⊥平面ABC1D1，所以∠B1AO为直线AB1与平面ABC1D1所成的角，因为AO＝，B1O＝，所以tan ∠B1AO＝，所以∠B1AO＝30°，故B错误；对于C，在△AB1C中，AO⊥B1C，所以∠AOB为二面角A-B1C-B的平面角，tan ∠AOB＝＝，故C正确；对于D，利用补形法，即三棱锥的外接球为正方体的外接球，所以R＝，所以V＝R3＝π，故D正确．故选ACD． 7．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则二面角C-BB1-D的正切值是________． 答案： 解析：由长方体特点可知，BB1⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BC⊥BB1，BD⊥BB1，所以∠CBD即为二面角C-BB1-D的平面角．又CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，BC⊥CD，所以tan ∠CBD＝＝. 8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为________． 答案： 解析：设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在Rt△ABE中，AE＝＝a，所以tan ∠A1EA＝＝＝，即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为. 9．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为________． 答案： 解析：由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱长都为1，得△BCD为正三角形，取CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD， 在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则EF⊥DC，∠BEF为二面角A-CD-B的平面角． 因为EF＝AD＝，BE＝，又易知AB⊥BC，BF＝AC＝， 所以cos ∠BEF＝＝＝. 10．(10分)如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2，DC＝1，F，G分别是EB和AB的中点，求二面角B -FC-G的正切值． 解：设二面角B-FC-G的大小为θ， 根据题易证EA⊥AB，EA∥GF，所以BG⊥GF， 在Rt△BGF中，可得BF＝， 在Rt△CGF中可得CF＝2，又BC＝2，在△BCF中BF边上的高为， 所以S△BFC＝××＝， 又△ABC是正三角形，所以GC＝， 又AE垂直于平面ABC，FG∥EA， 所以FG⊥平面ABC，所以S△FCG＝××1＝， 又BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC在平面GFC上的射影， 所以cos θ＝＝＝，所以tan θ＝. 所以二面角B-FC-G的正切值为. (11—13每小题5分，共15分) 11．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：C 解析：由已知得AD·BD＝AD·CD×2，即BD＝2CD．翻折后，易知BC⊥CD．在Rt△BCD中，cos ∠BDC＝＝，所以∠BDC＝60°.而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°.故选C． 12．在正四棱锥V-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，则二面角V-AB-C的大小为________． 答案：60° 解析：连接AC，BD交于点O，连接VO，则VO⊥平面ABCD，取AB的中点E，连接VE，OE，则VE⊥AB，OE⊥AB，所以∠VEO是二面角V-AB-C的平面角．由题意，知OE＝1，VE＝2，所以cos ∠VEO＝＝，所以∠VEO＝60°. 13．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角B-AC-D的大小为________． 答案： 解析：设翻折前AC与BD相交于点O，则OB⊥AC，OD⊥AC，而翻折之后的图形如图所示，所以∠BOD为二面角B-AC-D的平面角，因为OB＝OD＝，BD＝1，所以△BOD为等腰直角三角形，且∠BOD＝，所以二面角B -AC-D的大小为. 14．(11分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(3分) (2)证明：AE⊥平面PCD；(4分) (3)求二面角A-PD-C的正弦值．(4分) 解：(1)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB， 又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角， 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°， 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (2)证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA，又CD⊥CA，PA∩CA＝A，PA，CA⊂平面PAC， 所以CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以AC＝AB，所以PA＝AC，又E为PC的中点，所以AE⊥PC，又CD∩PC＝C，CD，PC⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD． (3)过E作EM⊥PD于M，连接AM， 则AM⊥PD，所以∠AME即二面角A-PD-C的平面角， 设PA＝a，则AE＝a， 在四边形ABCD中，∠CAD＝30°，所以AD＝a，则PD＝＝a， 在Rt△PAD中，AM＝＝a， sin ∠AME＝＝. 所以二面角A-PD-C的正弦值为. 15．(5分)如图，已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧棱长为4，则二面角A-PB-C的余弦值为________． 答案： 解析：过点A作AD⊥PB于点D，连接CD． 因为△PAB≌△PCB，所以CD⊥PB，即∠ADC是二面角A-PB-C的平面角， 在△PAB中，S△PAB＝PB·AD＝AB·⇒AD＝，即CD＝AD＝， 所以cos ∠ADC＝＝， 即二面角A-PB-C的余弦值为. 16．(14分)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1与A1C，B1C1都垂直，已知AB＝3，A1A＝AC＝5． (1)求证：平面A1BC⊥平面ABC；(5分) (2)直线A1B与底面ABC所成的角θ为多少时，二面角A1-AC-B的余弦值为？(9分) 解：(1)证明：因为A1B1与A1C，B1C1都垂直，由棱台的性质得AB∥A1B1，BC∥B1C1， 所以AB⊥BC，AB⊥A1C． 又BC∩A1C＝C，所以AB⊥平面A1BC． 又AB⊂平面ABC，所以平面A1BC⊥平面ABC． (2)由(1)知，平面A1BC⊥平面ABC．如图，过A1作A1D⊥BC于D， 因为平面A1BC∩平面ABC＝BC，A1D⊂平面A1BC， 所以A1D⊥平面ABC， 所以∠A1BD是A1B与平面ABC所成的角， 即∠A1BD＝θ. 作DE⊥AC于E，连接A1E， 因为A1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， 所以A1D⊥AC． 又A1D∩DE＝D，所以AC⊥平面A1DE. 因为A1E⊂平面A1DE，所以AC⊥A1E， 则∠A1ED为二面角A1-AC-B的平面角． 在Rt△ABC中，易得BC＝4． 在Rt△A1DB中，A1B＝4，A1D＝4sin θ，BD＝4cos θ，DC＝4－4cos θ. 由Rt△ABC∽Rt△DEC，得＝， 则DE＝＝. 因为cos ∠A1ED＝， 所以tan ∠A1ED＝＝， 即＝， 于是，sin θ＋cos θ＝， 则2sin ＝， 因为0<θ≤，所以θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $