课时测评19 平面与平面平行-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评19　平面与平面平行 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　) A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n C．若n∥α，n∥β，则α∥β D．若m∥n，n⊂α，则m∥α 答案：B 解析：若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误； 若m∥α，则在平面α内存在不同于n的直线l，使得l∥m，则l∥β，从而l∥n，故m∥n，故B正确；若n∥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故C错误； 若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故D错误. 故选B． 2．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　) A．α内有无数条直线与β平行 B．α，β平行于同一个平面 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一个平面 答案：B 解析：若α，β平行于同一个平面，则可得到α∥β. 3．在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与点P，Q，R所在平面平行的是(　　) 答案：D 解析：由题意可知经过P，Q，R三点的平面如图所示，为平面PQNHRG，可知点N在经过P，Q，R三点的平面上，所以B，C错误；在平面BCC1B1内，连接MC1，MC1与QN是相交直线，所以A不正确． 4．(多选)设α，β为两个平面，则α∥β的充分条件可以是(　　) A．β内的所有直线都与α平行 B．β内有三条直线与α平行 C．α和β平行于同一条直线 D．α和β都平行于同一平面γ 答案：AD 解析：对于A，当β内的所有直线都与α平行时，则α∥β，故A正确； 对于B，α与β相交时，β内的和交线平行的直线都与平面α平行，故B不正确； 对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故C不正确； 对于D，如果α和β都平行于同一平面γ，则α∥β，故D正确．故选AD． 5．(多选)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有(　　) A．BD1∥GH B．BD，EF是异面直线 C．AD∥平面EFGH D．平面EFGH∥平面A1BCD1 答案：BCD 解析：对于A，由图形知BD1与GH是异面直线，故A错误； 对于B，由题意知BD与EF也是异面直线，故B正确； 对于C，易得AD∥BC∥FG，由AD⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，得AD∥平面EFGH，故C正确；对于D，平面EFGH∥平面A1BCD1，理由是： 由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，得出EF∥A1B，EH∥A1D1，又因为A1B⊂平面A1BCD1，EF⊄平面A1BCD1，A1D1⊂平面A1BCD1，EH⊄平面A1BCD1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，又EF∩EH＝E，所以平面EFGH∥平面A1BCD1，故D正确. 故选BCD． 6．如图，在棱长为2的正方体ABCD - A1B1C1D中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为________． 答案：2 解析：分别取D1C1、AB的中点M、N，连接A1M、MC、A1N、NC，则A1M∥PC1∥NC，A1N∥PB∥MC，且A1M＝MC＝NC＝A1N，所以四边形A1MCN是菱形，又A1M∥PC1，A1N∥PB，所以平面PBC1∥平面A1MCN，因为MN＝2，A1C＝2，所以S菱形A1MCN＝×2×2＝2. 7．已知α∥β，AC⊂α，BD⊂β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________． 答案：6 解析：如图所示： 因为AB∥CD，所以经过AB，CD可确定唯一平面γ，且AC⊂γ，BD⊂γ. 又因为AC⊂α，BD⊂β，即α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．因为α∥β，所以AC∥BD，故四边形ABDC为平行四边形，因为AB＝6，所以CD＝6． 8．(开放题)在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面四边形BCC1B1内(不含边界)一点，当点P满足____________时，A1P∥平面AEF.(填一个满足题意的条件即可) 答案：P在线段MN上(M，N分别为棱BB1，B1C1的中点，不含端点) 解析：如图所示： 分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接MN，A1M，A1N，连接BC1，因为M，N，E，F为所在棱的中点，所以MN∥BC1，EF∥BC1，所以MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以MN∥平面AEF，连接NE，因为AA1∥NE，AA1＝NE，所以四边形AENA1为平行四边形，所以A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1N∥平面AEF，又A1N∩MN＝N，A1N，MN⊂平面A1MN，所以平面A1MN∥平面AEF，因为P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，所以P必在线段MN上(不含端点). 9．(10分)如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的三等分点．(M靠近B，N靠近C) (1)求证：MN∥平面PAD；(4分) (2)在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．(6分) 解：(1)证明：取PD的三等分点(靠近D点)E ，如图，连接EN，AE， 因为N是PC的三等分点，E是PD的三等分点， 所以EN∥DC，EN＝DC 因为M是AB的三等分点， 所以AM＝DC． 又AM∥DC， 所以NE∥AM，NE＝AM， 所以四边形AMNE为平行四边形， 所以MN∥AE， 因为MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD， 所以MN∥平面PAD． (2)方法一：如图，连接MQ，NQ. 若平面MNQ∥平面PAD， 且平面MNQ∩平面PAB＝MQ，平面PAD∩平面PAB＝PA， 则MQ∥PA， 因为M是AB的三等分点， 所以Q是PB的三等分点， 即当Q为PB的三等分点时，平面MNQ∥平面PAD． 方法二：当Q为PB的三等分点(靠近B点)时，平面MNQ∥平面PAD． 证明如下：如图，连接MQ，NQ. 因为N是PC的三等分点，Q是PB的三等分点， 所以QN∥BC， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AD∥BC，所以QN∥AD， 因为QN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以QN∥平面PAD， 因为M是AB的三等分点，Q是PB的三等分点， 所以QM∥PA， 因为QM⊄平面PAD，PA⊂平面PAD， 所以QM∥平面PAD， 因为QM⊂平面MNQ，QN⊂平面MNQ，QM∩QN＝Q， 所以平面MNQ∥平面PAD． 10．(10分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点， 连接PQ， 易证四边形PQBA是平行四边形，所以QB∥PA． 又AP⊂平面PAO，QB⊄平面PAO， 所以QB∥平面PAO. 因为P，O分别为DD1，DB的中点， 所以D1B∥PO. 又PO⊂平面PAO，D1B⊄平面PAO， 所以D1B∥平面PAO， 又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO. 11．(5分)如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，点G为MN的中点，则G点的轨迹的长度是(　　) A． B． C．1 D． 答案：B 解析：因为M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，所以MN∥平面ACC1A1． 如图所示，过点M作MP∥AA1，交AB于点P，过点N作NQ∥BB1，交BC于点Q，则MP∥NQ∥AA1，所以MP∥平面ACC1A1．又MN∩MP＝M，所以平面MNQP∥平面ACC1A1，所以PQ∥AC，所以＝＝＝，因为A1B＝B1C，所以A1M＝CN.当A1M＝CN＝0(即点M与点A1重合，点N与点C重合)时，MN的中点G为A1C的中点，当A1M＝CN＝(即点M与点B重合，点N与点B1重合)时，MN的中点G为BB1的中点，取D，E，F分别为AA1，BB1，CC1的中点，连接DE，EF，DF，所以G点的轨迹为△DEF的高，且△DEF为边长为1的等边三角形，故G点的轨迹的长度是. 12．(5分)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过点E作平面α，使得平面α∥平面AB1C，则平面α在正方体表面上截得的图形的周长为________． 答案：6 解析：如图，F，G，H，I，J分别为棱AD，AA1，A1B1，B1C1，CC1的中点，则HI∥A1C1∥GJ，故G，H，I，J四点共面，同理E，F，G，J四点共面．因为EJ∥AB1，EF∥AC，EF∩EJ＝E，所以平面EFGJ∥平面AB1C．连接HE，FI，易知HE的中点为正方体的中心，FI的中点也是正方体的中心，设正方体中心为O，则HE∩FI＝O，所以H，I∈平面EFGJ，所以平面EFGHIJ即为平面α，根据三角形的中位线的性质可得，六边形每条边的长度都等于正方体面对角线的一半，即每边长都等于，故六边形的周长为6. 13．(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点． (1)当等于何值时，BC1∥平面A1B1D1？(5分) (2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1．(8分) 解：(1)当＝1时，BC1∥平面AB1D1． 如图，此时D1为线段A1C1的中点， 连接A1B交AB1于点O，连接OD1． 由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形， 所以点O为A1B的中点． 在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1． 又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1， 所以BC1∥平面AB1D1． 故当＝1时，BC1∥平面AB1D1． (2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1， 所以四边形ADC1D1是平行四边形． 所以AD1∥DC1． 又DC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1， 所以DC1∥平面AB1D1． 又BC1∥平面AB1D1，BC1⊂平面BC1D，DC1⊂平面BC1D，DC1∩BC1＝C1， 所以平面BC1D∥平面AB1D1． 14．(17分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点． (1)证明：EF∥平面PAC；(4分) (2)证明：平面PCG∥平面AEF；(6分) (3)在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．(7分) 解：(1)证明：因为E、F分别是BC，BP的中点， 所以EF綉PC， 因为PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC， 所以EF∥平面PAC． (2)证明：因为E、G分别是BC、AD的中点， 所以AE∥CG， 因为AE⊄平面PCG，CG⊂平面PCG， 所以AE∥平面PCG， 又因为EF∥PC，PC⊂平面PCG，EF⊄平面PCG， 所以EF∥平面PCG， 又AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF， 所以平面AEF∥平面PCG. (3)设AE，GC与BD分别交于N，M两点， 则M，N分别为△ACD，△ABC的重心， 所以F，N分别是BP，BM的中点， 所以FN綉PM， 因为PM⊂平面PGC，FN⊄平面PGC， 所以FN∥平面PGC， 即N点为所找的H点． 学科网（北京）股份有限公司 $