课时测评17 平行直线与异面直线-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评17　平行直线与异面直线 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，E是DD1的中点，则下列直线中与直线OE不是异面关系的是(　　) A．直线AD B．直线DC C．直线B1C1 D．直线D1B 答案：D 解析：在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，E是DD1的中点，故可得D1B∥EO，故直线D1B与直线OE不是异面关系. 根据异面直线的概念可看出直线AD，DC，B1C1都和直线OE为异面直线. 故选D． 2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在的直线中与直线BC1所成角为的条数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案：B 解析：因为正方体中∠CBC1＝，所以BC与直线BC1所成角为，又BC∥AD∥A1D1∥B1C1，所以AD，A1D1，B1C1与直线BC1所成角为，同理可得BB1，CC1，DD1，AA1与直线BC1所成角为，又AB，CD，C1D1，A1B1与直线BC1所成角为，所以与直线BC1所成角为的棱有8条．故选B． 3．已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是(　　) A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合 B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交 C．当直线AB与CD相交，且AC∥l时，BD可能与l相交 D．当直线AB与CD异面时，MN可能与l平行 答案：B 解析：当CD＝2AB时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，M，N两点重合，可知A错误；若M，N重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；当AB与CD相交，直线AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选B． 4．给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的角相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． 其中正确的命题有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 解析：对于①，这两个角也可能互补，故①错误；②显然正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误；对于④，由空间平行线的传递性，可知④正确．所以正确的命题有2个．故选B． 5．(多选)在空间四边形ABCD中，下列说法正确的是(　　) A．直线AB与CD异面 B．对角线AC与BD相交 C．四条边不能都相等 D．四条边的中点组成一个平行四边形 答案：AD 解析：由定义知A正确；若AC与BD相交，则A，B，C，D四点共面，故B错误；可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形，故C错误；由平行四边形的判定定理可得D正确．故选AD． 6．在空间四边形ABCD中，如图所示，＝＝，＝＝，则EH与FG的位置关系是________． 答案：平行 解析：连接BD，如图所示：在△ABD中，因为＝，所以EH∥BD．在△CBD中同理可证FG∥BD． 故EH∥FG. 7．已知a，b，c是三条直线，若a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是________． 答案：平行或相交或异面 解析：如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，①设AA1为直线a，BC为直线b，DD1为直线c，则a与b异面，b与c异面，此时a与c平行； ②设AA1为直线a，BC为直线b，A1C1为直线c，则a与b异面，b与c异面，此时a与c相交；③设AA1为直线a，BC为直线b，D1C1为直线c，则a与b异面，b与c异面，此时a与c异面；综上，a与c的位置关系是平行或相交或异面. 8．若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD的位置关系一定是________． 答案：异面 解析：若AB，CD是两条异面直线，则A，B，C，D四点不同在任何同一平面上，则直线AC，BD的位置关系一定是异面. 9．(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，MN∥AC． (1)AM和CN是否是异面直线？并说明理由；(4分) (2)D1B和CC1是否是异面直线？并说明理由．(6分) 解：(1)AM和CN不是异面直线．理由如下： 因为MN∥AC，所以MN和AC确定一个平面， 所以AM和CN在同一个平面内，即AM和CN不是异面直线． (2)D1B和CC1是异面直线，理由如下： 假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内， 则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1， 这与几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体相矛盾， 所以假设不成立． 故D1B和CC1是异面直线． 10．(10分)如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝. (1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(4分) (2)求的值．(6分) 解：(1)证明：在△ABO与△A′B′O中， 因为∠AOB＝∠A′OB′，＝＝. 所以△ABO∽△A′B′O， 所以＝，∠BAO＝∠B′A′O， 所以A′B′∥AB． 同理A′C′∥AC，B′C′∥BC． (2)因为A′B′∥AB，A′C′∥AC， 且∠BAC与∠B′A′C′的边AB与A′B′， AC与A′C′方向相反， 所以∠BAC＝∠B′A′C′， 同理∠ABC＝∠A′B′C′，所以△ABC∽△A′B′C′. 又＝，所以＝＝. 11．(5分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A．CC1与B1E是异面直线 B．CC1与AE是共面直线 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与BB1是共面直线 答案：C 解析：在A中，显然B1E⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，所以CC1与B1E是共面直线，故A错误； 在B中，因为AE∩平面BCC1B1＝E，CC1⊂平面BCC1B1，且E∉CC1，所以CC1与AE是异面直线，故B错误； 在C中，因为AE∩平面BCC1B1＝E，B1C1⊂平面BCC1B1，且E∉B1C1，所以AE与B1C1是异面直线，故C正确； 在D中，因为AE∩平面BCC1B1＝E，BB1⊂平面BCC1B1，且E∉BB1，所以AE与BB1是异面直线，故D错误. 故选C． 12．(5分)如图所示，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是_________． ①M，N，P，Q四点共面； ②∠QME＝∠DBC ③四边形MNPQ为梯形； ④ △BCD∽△MEQ 答案：①②④ 解析：对于①，由已知可得，MQ∥BD，NP∥BD，所以MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故①正确；对于②，根据等角定理，得∠QME＝∠DBC，故②正确；对于③，由三角形中位线的性质知MQ∥BD，MQ＝BD，NP∥BD，NP＝BD，所以MQ∥NP，MQ＝NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故③不正确；对于④，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故④正确．故选①②④. 13．(13分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．求证： (1)EF綉E1F1；(5分) (2)∠EA1F＝∠F1CE1．(8分) 证明：(1)如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綉BD． 同理可证E1F1綉B1D1． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，则BD綉B1D1．所以EF綉E1F1． (2)如图，取A1B1的中点M，连接F1M，BM， 则MF1綉B1C1，又B1C1綉BC，所以MF1綉BC． 所以四边形BMF1C为平行四边形， 所以BM∥CF1． 因为A1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1綉AB， 所以A1M綉BE，所以四边形BMA1E为平行四边形， 所以BM∥A1E，所以A1E∥CF1． 同理可证A1F∥CE1． 因为∠EA1F的两边与∠F1CE1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠F1CE1． 14．(17分)如图所示，设E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ.求证： (1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；(7分) (2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形．(10分) 证明：(1)在△ABD中，因为＝＝λ， 所以EH∥BD，且EH＝λBD． 在△CBD中，因为＝＝μ， 所以FG∥BD，且FG＝μBD， 所以EH∥FG， 所以点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内． 当λ＝μ时，EH綉FG， 故四边形EFGH为平行四边形． (2)由(1)知当λ≠μ时，EH≠FG，EH∥BD，故四边形EFGH是梯形． 学科网（北京）股份有限公司 $