课时测评20 直线与平面垂直-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评20　直线与平面垂直 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为AD1∥BC1， 所以∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角), 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则PB1＝PC1＝＝，BC1＝＝2，BP＝＝， 所以cos ∠PBC1＝＝＝，所以∠PBC1＝，所以直线PB与AD1所成的角为. 故选D． 2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：连接BC1，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，所以BD1＝＝，因为直线BD1与平面BCC1B1所成角为∠D1BC1，所以直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 sin ∠D1BC1＝＝＝.故选C． 3．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA垂直于底面．则下列结论不正确的是(　　) A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAF C．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD 答案：D 解析：由ABCDEF是正六边形，可得CF∥AB，利用线面平行的判定定理可得CF∥平面PAB，C正确；同理可得CD∥平面PAF，A正确；在正六边形ABCDEF中，易得DF⊥AF，因为PA垂直于底面，所以PA⊥DF，且PA∩AF＝A，由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF，B正确．对于D，若CF⊥平面PAD，则CF⊥AD，由正六边形的结构特征可知CF与AD不可能垂直．故选D． 4．如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，PA＝PB＝PC＝2，则点P到平面ABC的距离为(　　) A． B． C．2 D．2 答案：C 解析：因为PA＝PB＝PC, 所以点P在平面ABC的射影为△ABC的重心，又∠ACB＝90°，所以点P在平面ABC的射影为AB的中点O，即PO⊥平面ABC，由AB＝4，PA＝PB＝PC＝2，则PO＝＝＝2，即点P到平面ABC的距离为2．故选C． 5．(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，连接AC1，交平面A1BD于点H，则下列结论中正确的是(　　) A．AC1⊥平面A1BD B．H是△A1BD的垂心 C．AH＝ D．直线AH和BB1所成的角为45° 答案：ABC 解析：正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1＝AB等．故选项A，C正确．易得H为等边△A1BD的中心，故选项B正确．直线AH与BB1所成的角与直线AH和CC1所成的角相等，又tan ∠AC1C＝，所以∠AC1C≠45°，故选项D错误．故选ABC． 6．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________． 答案： 解析：因为FB⊥平面ABCD，连接BE, 则∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成角，因为正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E，F分别为AD，BB1的中点，所以在Rt△BEF中，BF＝1，BE＝＝，则tan ∠FEB＝＝＝. 7．若a，b表示直线，α表示平面，下列结论中正确的是________． ①a⊥α，b∥α⇒a⊥b； ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α； ③a∥α，a⊥b⇒b⊥α； ④a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 答案：①④ 解析：由线面垂直的性质知①④正确． 8．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是________． 答案： 解析：由题意，得A1D＝，A1E＝，DE＝，则A1E2＋DE2＝A1D2，所以△A1ED为直角三角形，设点A到平面A1DE的距离是h，因为VA1-ADE＝VA-A1DE ⇔S△ADE·AA1＝S△A1DE·h ⇔·AD·AB·AA1＝·A1E·DE·h ⇔h＝＝＝，所以点A到平面A1DE的距离是. 9．(10分)设P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，AE⊥PB，求证： (1)BC⊥平面PAB；(4分) (2)AE⊥PC．(6分) 证明：(1)因为ABCD是正方形，所以BC⊥AB． 又因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥PA． 而PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB． (2)由(1)知BC⊥平面PAB，而AE⊂平面PAB， 所以BC⊥AE. 又因为AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC． 所以AE⊥平面PBC． 又因为PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC． 10．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PA＝AD＝CD＝2AB，M为PC的中点． (1)求证：BM∥平面PAD；(4分) (2)求证：BM⊥平面PCD．(6分) 证明：(1)取PD的中点N，连接MN，AN， 因为M为PC的中点， 所以MN∥CD，且MN＝CD， 又AB∥CD，且CD＝2AB， 所以MN∥AB且MN＝AB， 所以四边形ABMN是平行四边形， 所以BM∥AN， 因为BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD， 所以BM∥平面PAD． (2)因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD． 因为CD⊥AD，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD． 因为AN⊂平面PAD，所以CD⊥AN. 在△PAD中，PA＝AD，N为PD的中点， 所以AN⊥PD． 又因为PD⊂平面PCD ，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D． 所以AN⊥平面PCD． 又因为AN∥BM，所以BM⊥平面PCD． 11．(5分)(多选)如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是(　　) A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 答案：ABC 解析：因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD，又ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故选项A正确；因为AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD，故选项B正确；设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等，故选项C正确；AB与SC所成的角等于∠SCD，为锐角，而DC与SA所成的角是∠SAB，为直角，这两个角不相等，故选项D错误．故选ABC． 12．(5分)已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个表面积为4π的球面上，球心O在棱AB上，SO⊥平面ABC，AC＝，则三棱锥S-ABC的表面积为________． 答案：2＋ 解析：因为球的表面积为4π，所以球的半径R＝1，如图所示，由题意及图可知AB＝2R＝2，SO＝AO＝BO＝CO＝1，又SO⊥平面ABC，所以SA＝SB＝SC＝，又AC＝，所以BC＝，所以△ABC与△ABS均为等腰直角三角形，其面积之和为2×1＝2，△SAC与△SBC均为等边三角形，其面积之和为××＝，所以三棱锥的表面积为2＋. 13．(13分)已知四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，点E在AD上，且AE＝AD，BC＝3，O为AB的中点，PA＝PB，AB＝AD． (1)证明：EC⊥PE；(5分) (2)求点E到平面POC的距离．(8分) 解：(1)证明：连接OE，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO⊂平面PAB，PA＝PB，O为AB的中点，所以PO⊥AB， 所以PO⊥平面ABCD， 因为CE⊂平面ABCD，所以PO⊥CE， 又因为底面ABCD为矩形，BC＝AD＝3，CD＝AB＝AD＝2， 所以AE＝AD＝1，DE＝2，EC＝＝2， OE＝＝，OC＝＝， 所以EC2＋OE2＝OC2， 所以OE⊥EC， 又PO⊥CE，PO∩OE＝O，PO，OE⊂平面POE， 所以EC⊥平面POE， 因为PE⊂平面POE， 所以EC⊥PE. (2)由(1)知，PO⊥平面ABCD， 因为PO⊂平面POC，所以平面POC⊥平面ABCD， 又平面POC∩平面ABCD＝OC， 如图，过点E作OC的垂线，交OC于点F， 根据面面垂直的性质定理得，EF⊥平面POC， EF即为点E到平面POC的距离， 根据面积相等知2×＝×EF， 所以EF＝ . 即点E到平面POC的距离为. 14．(17分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是平行四边形，F是BD1的中点，点E在线段CD1上，且D1E＝2CE. (1)证明：直线AF∥平面BDE；(7分) (2)若AA1＝AB＝3，AD＝2，∠BAD＝60°，求点F到平面BDE的距离．(10分) 解：(1)证明：连接AC，记AC∩BD＝O，连接OE.取线段D1E的中点H，连接AH，HF. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点． 因为H是D1E的中点，且D1E＝2CE， 所以E是HC的中点． 因为O，E分别是AC，HC的中点，所以OE∥AH. 因为OE⊂平面BDE，AH⊄平面BDE， 所以AH∥平面BDE. 因为H，F分别是D1E，BD1的中点， 所以HF∥BE. 因为BE⊂平面BDE，HF⊄平面BDE， 所以HF∥平面BDE. 因为AH⊂平面AHF，HF⊂平面AHF，且AH∩HF＝H，所以平面AHF∥平面BDE. 因为AF⊂平面AHF，所以AF∥平面BDE. (2)由(1)可知AF∥平面BDE，则点F到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离． 因为AD＝2，AB＝3，∠BAD＝60°，所以△ABD的面积为AD·AB sin ∠BAD＝. 作EG⊥CD，垂足为G，连接BG，则EG⊥平面ABCD． 因为D1E＝2CE，所以EG＝DD1＝1，DG＝2GC＝2，则DE＝. 因为AB＝3，AD＝2，∠BAD＝60°，所以BD＝. 因为CG＝1，BC＝2，∠BCG＝60°，所以BG＝，则BE＝2． 在△BDE中，由余弦定理可得cos ∠BED＝＝，则sin ∠BED＝. 故△BDE的面积为BE·DE sin ∠BED＝×2××＝. 设点F到平面BDE的距离为h， 因为三棱锥E-ABD的体积等于三棱锥A-BDE的体积，所以××1＝×h， 解得h＝，即点F到平面BDE的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $