11.2 平面的基本事实与推论-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 (V12+t+V12-t)2=24+2V144-F∈[24+8V5,48],因 此，PE+PFe[2V5+2,4V3]. 13.解：()圆锥的底面半径=号，高为a,母线= V写：空a,挖去的圆维的侧面积为mem·号： ai Cn). (2)·M的体积为正方体体积减去圆锥的体积，M的 体积为a-号m受广a=l-晋m(cm). 14.解：(1)设圆台的母线长 为，由截得圆台上、下底面面积之 比为1：16，可设截得圆台的上、下 底面的半径分别为r,4r.过轴S0 作截面，如图所示.则△SO'A'∽ B △S0A,0A'=3,0A'=1, 0A4,0A= 第14题答图 12cm.又S0=24cm,.SA=V122+24=12V5(cm). AM'=圣SA=9V5cm,即圆台的母线长为9V万m (2)如图所示，过正方体的 体对角线作圆锥的轴截面，设正 方体的棱长为x,则OC=Y2x, 2 -2若.解得24V7 12 第14题答图 -1),.正方体的棱长为24(V2-1)cm. >m11.2平面的基本事实与推论 1.C【解析】由于点P在平面a外，.有P,又直 线a经过点P,.P∈a,故选C. 2.D【解析】由直线和直线外的一点确定一个平面， 可得D正确，故选D. 3.D【解析】不在同一条直线上的三个点可确定一个 平面，A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个 点，故不正确，故选D. 4.B【解析】设直线为a,直线a外不共线的三点为 A,B,C,则A,B,C三点确定一个平面；直线a与A确 定一个平面；直线a与B确定一个平面；直线a与C确定 一个平面，故最多可确定四个平面，故选B. 5.C【解析】自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三 个接触点不在同一条直线，它们可以确定唯一一个平面， 因此自行车就稳了，其中蕴涵的道理是不共线三点确定一 82 个平面.故选C. 6.A【解析】平面与平面B相交，相交于一条直线， 因此它们有无限个公共点，A说法错误；由推论1知B说 法正确；由推论2知C说法正确；由推论3知D说法正确 故选A. 7.D【解析】当α过B与y的交线时，这三个平面有1 条交线；当B与y没有交线时，a与B和y各有1条交线， 共有2条交线：当B∩y=b,a∩B=a,a∩y=c时，有3条交 线.故选D. 8.∩a=A【解析】“直线L和平面相交于点A”的 符号表达为l∩a=A.故答案为l∩a=A. 9.1【解析】根据题意，P,Q点在直线l上，P是1与 a的交点，Q不在平面α内，直线和平面相交，只有一 个交点. 10.直线CD【解析】如图，平面ABC∩平面a=AB, 平面ABC∩平面B=CD. 第10题答图 11.2V6【解析】如图所示，取DD中点F,连接 AF,FC1,则菱形AECF为所求截面，易得对角线AC1= 2V3,-2V2,载面面积S=24GEF-2V6. D C B 第11题答图 第12题答图 12.证明：如图，连接EF,D,C,AB,E,F分别为 AB,AA1的中点，EF∥BA又BA1∥CD,EF∥CD, 且EF-CD.四边形EFDC是梯形，GE,DF相交。 设交点为P.·CEC平面ABCD,P∈CE,P∈平面ABCD, 同理可证P∈平面ADDA·又.平面ABCD∩平面ADDA1= AD,P∈AD,DA,CE,DF交于一点P,即DA,CE, DF三线共点. 13.(1)证明：连接BD1,E,F分别为D,C,B,C 的中点，.EF∥BD1.又BD1∥BD,EF∥BD.D,B, E,F四点共面（设为a). (2)解：AA1∥CC,A1, A,C,C1四点共面（设为B).设 平面BDEF为a,P∈BD,而BDC a,故P∈ax.又P∈AC,而ACCB, P∈B,.Pea∩B.同理，可证得 第13题答图 Q∈∩B,从而有∩B=PQ.又 ACCB,.AC与平面a的交点就是AC与PQ的交点.连 接AC,则AC与PQ的交点就是所求的交点. (3)证明：由(2)可知，PO=平面BDEF∩平面 AACC1,R∈A1C,而ACC平面AACC1,故R∈平面A4ACC 同理R∈平面BDEF,故R∈PQ,即P,Q,R三点共线. 14.BCD【解析】若三个平面交于一条直线，则可将空 间分为6个部分：若三个平面两两相交且三条交线平行， 则可将空间分为7个部分；若三个平面两两相交且三条交 线交于一点，则可将空间分为8个部分；n的取值为 6,7,8,故选BCD. 15.D【解析】在A选项图中 分别连接PS,QR,则PS∥QR,∴.P, S,R,Q共面.在B选项图中，过P, Q,R,S可作一个正六边形，如图， 故P,Q,R,S四点共面.在C选项 Q.- 图中，易知P,Q,R,S共面.在D 第15题答图 选项图中，连接PS,RQ,易知PS与RQ为异面直线，.P, Q,R,S四点不共面.故选D "11.3空间中的平行关系 11.3.1平行直线与异面直线 1.A【解析】空间中有两条直线，若“这两条直线为 异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若“这两条直 线没有公共点”，则“这两条直线可能平行，可能为异面直 线”..“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公 共点”的充分非必要条件.故选A. 2.B【解析】设正方体棱长为2，直接计算可知四边形 D,PBQ各边均为V5,又：四边形D,PBQ是平行四边形， ·.四边形DPBO是菱形 3.D【解析】如图1、图2所示，OB与OB1不一定 平行. 0、 图2 第3题答图 参考答案。 4.D【解析】：AB.CD=0,.直线AB与CD垂直， .AB与CD相交或异面.故选D. 5.B【解析】在正方体ABCD ABCD中，AB:∥CD1,因此 A ∠CDC1是异面直线AB,与CD1所 成的角或其补角，在等腰Rt△CDC 中，∠CDC牙异面直线AB, 与CD,所成的角为T.故选B 第4题答图 4 6.D【解析】空间中三条直线，m,n.若l与m异面， 且l与n异面，则m与n可能平行，如图1，也可能相交， 如图2，也可能异面，如图3，故选D 图1 图2 图3 第6题答图 7.C【解析】A中PQ∥RS,B中PQ∥RS,D中PQ与 RS相交，故选C. 8.ABC【解析】经过两条平行直线有且只有一个平面， 选项A正确；经过两条相交直线有且只有一个平面，选项 B正确；空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则 直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，选项 C正确：若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定 是异面直线，选项D错误.故选ABC, 9.135°【解析】由等角定理，可知B=135° 10.相交【解析】直线AB与直线外一点E确定的平 面为ABCD,EFC平面ABCD,且两直线不平行，故两 直线相交 11.④【解析】由题图，知①②③中a,b是异面直线， ④中a,b平行. 12.D【解析】如图，取CD,的中点F,连接ER, 5 FB,则AE∥FD1且AE=FD,∴.四边形AEFD为平行四边 形，则AD∥EF,故∠FEB,(或其补角)为异面直线AD 与EB所成的角。 D E B 第12题答图 83第十一章立体几何初步 11.2 平面的基本事实与推论 6.下列说法错误的是( 基础练习 A.平面与平面B相交，它们只有有 一、选择题 限个公共点 1.“直线a经过平面a外一点P”用符 B.经过一条直线和这条直线外一点，有 号表示为() 且只有一个平面 A.P∈a,aL C.经过两条相交直线，有且只有一个 B.a∩a=P 平面 C.P∈a,Pta D.经过两条平行直线，有且只有一个 D.P∈，aCa 平面 2.若点A与直线1能够确定一个平面， 7.已知平面αx与平面B、平面y都相 则点A与直线1的位置关系是( ) 交，则这三个平面可能的交线有() A.ACI B.ACI A.1条或2条 C.A∈l D.A庄l B.2条或3条 3.能确定一个平面的条件是( C.1条或3条 A.空间三个点 D.1条或2条或3条 B.一个点和一条直线 二、填空题 C.无数个点 8.“直线l和平面α相交于点A”的符 D.两条相交直线 号表达为 4.一条直线和这条直线外不共线的三 9.若P∈l,P∈a,Q∈l,Q,则直 点，最多可确定() 线1与平面a有 个公共点 A.三个平面 B.四个平面 10.如图所示，平面 B C.五个平面 D.六个平面 ax∩平面B=l,A∈，B∈ D 5.每次停放自行车时，将脚撑放下，自x,AB∩l=D,C∈B,C 行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是：1，则平面ABC与平面B的 第10题图 交线是 A.两条直线确定一个平面 11.如图，在棱长为2 B.三点确定一个平面 的正方体ABCD-AB1CD C.不共线三点确定一个平面 中，点E是棱BB的中点， D.两条平行直线确定一个平面 则平面AEC,截该正方体所 得截面的面积为 第11题图 练 51 N 高中数学必修第四册人教B版 三、解答题 13.如图所示，在正方体ABCD-AB,CD 12.如图，在正方体ABCD-ABCD1中， 中，E,F分别为DC1,BC1的中点，AC∩ 点E,F分别是棱AB,AA1的中点，求证： BD=P,AC1∩EF=Q. DA,CE,DF三线共点 (1)求证：D,B,E,F四点共面 (2)作出直线AC与平面BDEF的交点 B R的位置， (3)求证：P,Q,R三点共线 E 第12题图 第13题图 提升练习 14.（多选题)三个平面两两相交，并将 空间分成n个部分，则n可能是() A.5 B.6 C.7 D.8 15.如图所示是正方体或四面体，P,Q, R,S分别是所在棱的中点或顶点，这四个 点不共面的是( 已守A鑫 52)练