11.1.6 第1课时 柱、锥、台的体积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

11.1.6 第1课时 柱、锥、台的体积 [课时跟踪检测] 1.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为 (　　) A.48 B.64 C.16 D.96 解析:选B　设正方体的棱长为a,则6a2=96, ∴a=4.∴其体积V=a3=43=64.故选B. 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 (　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 解析:选B　设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为 ,因为它们的侧面积相等,所以2πr·=πr·,即2=,故r2=9,故圆锥的体积为π×9×=3π.故选B. 3.已知圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选A　设圆台的体积为V,高为h.由题意得,V=(π+2π+4π)h=7π,所以h=3. 4.小明有一卷纸,纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷,它的整体外貌如图,纸卷的直径为12 cm,轴的直径为4 cm,当小明用掉的纸后,则剩下的这卷纸的直径最接近于 (　　) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 解析:选B　设小明用掉的纸后,剩下的这卷纸的直径为x cm,卷纸高为h cm,则由题可知(π×62-π×22)h×=h, 解得x2=48.所以剩下的这卷纸的直径最接近于7 cm.故选B. 5.如图所示,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D'C'上,则三棱锥A'-EFQ的体积 (　　) A.与点E,F的位置有关 B.与点Q的位置有关 C.与点E,F,Q的位置都有关 D.与点E,F,Q的位置均无关,是定值 解析:选D　因为点Q到平面A'EF的距离为正方体的棱长4,A'到EF的距离为正方体的棱长4,所以VA'-QEF=VQ-A'EF=××2×4×4=,是定值,因此与点E,F,Q的位置均无关. 6.(多选)如图所示的圆锥的底面半径为3,高为4,且AB=BC,则 (　　) A.三棱锥S-ABC的体积为12 B.该圆锥的体积为12π C.该圆锥的表面积为14π D.该圆锥的母线长为5 解析:选ABD　由题意可得△ABC是等腰直角三角形,由AC=6可得AB=BC=AC=3,∴S△ABC=9,即VS-ABC=×4×9=12,故A正确;由圆锥体积公式可得V=π×32×4=12π,故B正确;由勾股定理及圆锥性质可得其母线SA==5,故D正确;由圆锥的表面积公式可得S=π×3×(5+3)=24π,故C错误.故选A、B、D. 7.(5分)将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱,则圆柱的最大体积是　　　　　　.  解析:当矩形的边长4作为圆柱的底面周长时,圆柱的高为6,设底面半径为r,由2πr=4,可得r=,此时圆柱的体积为πr2h1=π··6=. 当矩形的边长6作为圆柱的底面周长时,圆柱的高为4, 设底面半径为R,由2πR=6,可得R=, 此时圆柱的体积为πR2h2=π··4=. 故圆柱的最大体积为. 答案: 8.(5分)已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是　　　　.  解析:设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上=πr2=π,S下=πR2=4π,∴r=1,R=2.∵S侧=π(r+R)l=6π,∴l=2.∴h=.∴V=π(12+22+1×2)×=π. 答案:π 9.(5分)已知一个圆锥的底面半径为1,高为1,且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱,则此圆柱侧面积的最大值为　　　　.  解析:作出圆锥的轴截面,如图,设圆柱的半径为r(0<r<1),由题意得=,即r=1-x(0<x<1),则圆柱的侧面积S=2πrx=2π(1-x)x=2π(-x2+x)=2π,∴当x=时,圆柱的侧面积S取最大值. 答案: 10.(5分)已知圆柱的全面积为80π,圆柱内有一平行于圆柱轴的截面,截面面积为24,且截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1∶2,则圆柱的体积是　　　　　.  解析:因为截面上的两条母线将圆柱侧面分成两部分的表面积之比为1∶2, 所以由圆柱底面圆心向截面与底面的两个交点连线形成的圆心角,即弦AB所对的圆心角为×2π=. 设底面半径为r,则弦AB===r. 设圆柱的高为h,则 解得或(舍去). 所以圆柱的体积V=πr2h=96π. 答案:96π 11.(5分)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h正好相同,则h=　　　　.  解析:设圆锥形容器的液面的半径为R,则液体的体积为πR2h,圆柱形容器内的液体体积为πh.根据题意,有πR2h=πh,解得R=a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得=,所以h=a. 答案:a 12.(10分)有一堆规格相同的铁制(铁的密度为7.8 g/cm3)六角螺帽共重6 kg,已知该种规格的螺帽底面是正六边形,边长是12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm. (1)求一个六角螺帽的体积;(精确到0.001 cm3)(8分) (2)问这堆六角螺帽大约有多少个?(2分) (参考数据:π取3.14,取1.73,2.952×7.8≈23,1.083×7.8≈8.45) 解:(1)由题得V=×122×6×10-3.14××10=3 736.8-785=2 951.8≈2 952(mm3)=2.952(cm3),所以一个六角螺帽的体积为2.952 cm3. (2)这堆螺帽的个数为6×1 000÷(7.8×2.952)≈261.即这堆六角螺帽大约有261个. 13.(10分)如图,甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板,现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱,将乙裁剪焊接成一个正四棱锥,使它们的全面积都等于原正方形的面积.(不计焊接缝的面积) (1)将你的裁剪方法用虚线标示在图中,并作简要说明;(5分) (2)试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小.(5分) 解:(1)如图甲所示,将正方形按图中虚线剪,以两个边长为2a的小正方形为底面,以四个小矩形为侧面,焊接成一个底面边长为2a,高为a的正四棱柱. 如图乙所示,将正方形沿图中虚线剪开,把两个小长方形焊接成边长为2a的正方形作为底面,三个等腰三角形为侧面,两个边上的小直角三角形,焊接成与其他侧面相同的等腰三角形为第四个侧面,这样就可焊成一个底面边长为2a,斜高为3a的正四棱锥. (2)由上面的裁剪焊接方式可得V柱=(2a)2·a=4a3,V锥=(2a)2·2a=a3. 又∵42-=>0,∴4a3>a3. ∴正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大. 14.(15分)某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m,该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4 m(高不变);方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积;(5分) (2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积;(6分) (3)哪个方案更经济些?为什么?(4分) 解:(1)若按方案一,新建的圆锥形仓库的底面直径变成16 m,高不变,则新建的圆锥形仓库的体积V1=×π××4=(m3); 若按方案二,新建的圆锥形仓库的高变成8 m,底面直径不变,则新建的圆锥形仓库的体积V2=×π××8=96π(m3). (2)若按方案一,新建的圆锥形仓库的底面直径变成16 m,高不变,则圆锥的母线长l1==4(m),新建的圆锥形仓库的侧面积S1=π××4=32π(m2); 若按方案二,新建的圆锥形仓库的高变成8 m,底面直径不变,则圆锥的母线长l2==10(m), 新建的圆锥形仓库的侧面积S2=π××10=60π(m2). (3)由(1)(2)知,V1<V2,S2<S1,所以按方案二新建的圆锥形仓库的体积更大,侧面积更小,所需耗材更少,故方案二比方案一更加经济. 学科网（北京）股份有限公司 $