11.1.6 第一课时 祖暅原理与柱体、锥体的体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂课时作业word（人教B版）

1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　) A．48　　　　　　　 B．64 C．16 D．96 解析：B　[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.] 2．将两个棱长为10 cm的正方体铜块熔化后铸成一个底面边长为5 cm的正四棱柱，则该正四棱柱的高为(　　) A．8 cm B．80 cm C．40 cm D. cm 解析：B　[设正四棱柱的高为h cm，根据题意，得5×5×h＝2×103，解得h＝80.故选B.] 3．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2××12×＝.故选B.] 4．(2021·北京卷，8)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度，其中小雨(＜10 mm)，中雨(10 mm－25 mm)，大雨(25 mm－50 mm)，暴雨(50 mm－100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级(　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 解析：B　[按相似，小圆锥的底面半径r＝ mm＝50 mm，故V小锥＝×π×502×150 mm3＝503·π mm3，积水厚度h＝＝ mm＝12.5 mm，属于中雨，选B.] 5．(多选题)一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积分别为(　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.πa2 解析：BD　[S柱＝2×π2＋2π··a＝ πa2，S锥＝π2＋π··a＝πa2.] 6．圆柱的侧面展开图是长12 cm、宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为　________　 cm3(　　) A．288 π B．192 π C. D. 解析：CD　[设圆柱的底面半径为r cm，高为 h cm，则，或 ∴或 ∴V＝πr2h＝cm3或cm3.] 7．正三棱柱底面边长为2，高为1，则其体积为　________　. 解析：底面积S＝×22＝，所以V＝. 答案： 8.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，已知PA＝2，PB＝3，PC＝4，三棱锥P­ABC的体积V＝　________　. 解析：V＝·S·h＝·S△PAC·PB＝××2×4×3＝4. 答案：4 9．(多空题)正三棱柱的侧面积为54 cm2，体积为45 cm3，则此棱柱的高为　________　 cm，底面边长为 　________　 cm. 解析：设底面边长为a cm，高为h cm，则3ah＝54，且a2h＝45，解得a＝10，h＝. 答案：　10 10．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积． 11．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm.以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积和体积． 解：因为32＋42＝52，所以底面是直角三角形．所以上、下底面内切圆半径r＝＝1(cm)．所以S表＝(3＋4＋5)×6＋2×－2π×12＋2π×1×6＝72＋12－2π＋12π＝(84＋10π)(cm2)，V＝×3×4×6－π×12×6＝(36－6π)(cm3)．故剩余部分形成几何体的表面积是(84＋10π)(cm2)，体积是(36－6π)(cm3)． 12．(2021·天津卷，6)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　) A．3π B．4π C．9π D．12π 解析：B　[如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D， 设球的半径为R，则＝，可得R＝2， 因为圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1， 即AD＝3BD， 所以，AB＝AD＋BD＝4BD＝4， 所以，BD＝1，AD＝3 ， 因为CD⊥AB，则∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，所以，∠CAD＝∠BCD， 又因为∠ADC＝∠BDC，所以，△ACD∽△CBD， 所以，＝，∴CD＝＝， 因此，这两个圆锥的体积之和为π×CD2·(AD＋BD)＝π×3×4＝4π. 故选：B.] 13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥． (1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥A－A1BD的高． 解：(1)由题意，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则正方体的体积为V正方体＝a3，根据三棱锥的体积公式，可得＝·S△ABD·A1A＝··AB·AD·A1A＝a3 所以剩余部分的体积V＝V正方体－＝a3－a3＝a3； (2)由(1)知＝＝a3， 设三棱锥A－A1BD的高为h，则＝··h＝×××(a)2×h＝a2h，故a2h＝a3，解得h＝a. 学科网（北京）股份有限公司 $