课时测评13 旋转体-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评13　旋转体 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 B．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点 C．有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥 答案：ABD 解析：在A中，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故A正确；在B中，由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故B正确；在C中，依照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故C错误；在D中，若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故D正确. 故选ABD． 2．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　) A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 答案：C 解析：对于圆柱、圆锥、圆台，只有当截面与底面平行时，所得的截面才是圆；对于球，无论如何截，截面都是圆． 3．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　　) A．8π B． C． D． 答案：A 解析：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO1＝1，设截面圆的半径为r，球的半径为R，因为截面圆的面积为π，所以πr2＝π，解得r＝1，又由R2＝|OO1|2＋r2＝2，所以R＝，所以球的表面积为S球＝4πR2＝8π.故选A． 4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 答案：D 解析：轴截面的图形是①，其他截面的图形为⑤. 5．(多选)下列关于球体的说法正确的是 (　　) A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 答案：BC 解析：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误．故选BC． 6．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为________． 答案：4π 解析：如图，圆锥的母线长为l＝ ＝2，圆锥的侧面展开图为扇形，故侧面积为S＝πrl＝4π. 7．已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________． 答案：16π 解析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO＝AO＝R，又因为正四棱锥P-ABCD的体积为6，所以S正方形ABCD＝6，又因为P-ABCD是正四棱锥，所以AB＝BC＝CD＝DA＝，所以AC＝2，又因为PO1＝3，所以OO1＝3－R，在Rt△AO1O中，R2＝3＋(3－R)2，得R＝2，所以球的表面积S＝16π. 8．(新定义)若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”．现有一黄金圆锥的高为6，则该黄金圆锥的侧面积为________；体积为____________． 答案：36π　(36－36)π 解析：设该黄金圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，高为h，则lr＝h2＝36，故该黄金圆锥的侧面积是l·2πr＝36π. 因为h2＋r2＝l2，所以36＋r2＝，解得r2＝18－18，故该黄金圆锥的体积为πr2h＝(36－36)π. 9．(10分)已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和． (1)求圆台的母线长；(4分) (2)求圆台的表面积．(6分) 解：(1)设圆台的母线长为l， 则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62， 所以8πl＝40π，所以l＝5， 所以该圆台的母线长为5． (2)由(1)可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π. 10．(10分)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. (1)若OA＝1，求圆M的面积；(4分) (2)若圆M的面积为3π，求球O的半径．(6分) 解：(1)若OA＝1，则OM＝， 故圆M的半径r＝＝ ＝， 所以圆M的面积S＝πr2＝π. (2)因为圆M的面积为3π，所以圆M的半径r＝. 设球O的半径为R，则R2＝＋3， 所以R2＝3，所以R2＝4． 所以R＝2，即球O的半径为2． 11．(5分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于(　　) A． B． C．π D． 答案：A 解析：在平面AA1B1B上，交线为，且在过球心A的大圆上，因为AE＝2，AA1＝，则∠A1AE＝30°.同理可得∠BAF＝30°，所以∠EAF＝30°，故的长为×4π＝.在平面BB1C1C上，交线为，且在距球心为的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为1，∠FBG＝90°，所以的长为×2π＝.故两段弧长之和为＋＝.故选A． 12．(5分)如图，已知圆柱体底面圆的半径为 cm，高为2 cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm.(结果保留根式) 答案：2 解析：如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC1的长度即为所求，在Rt△AB1C1中，AB1＝×2π·＝2 cm，B1C1＝2 cm，AC1＝2 cm. 13．(13分)如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将等边三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积． 解：该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体． 令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h， 则R＝2，r＝1，l＝4，h＝. 所以圆锥的表面积为S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π， 圆柱的侧面积为S2＝2πrh＝2π×1×＝2π. 所以所求几何体的表面积为： S＝S1＋S2＝12π＋2π＝(12＋2)π. 14．(17分)有三个球，已知球O1内切于正方体，球O2与这个正方体各棱都相切，球O3过这个正方体的各个顶点，求球O1、球O2、球O3的表面积之比． 解：设正方体的棱长为a. (1)球O1为正方体的内切球，球心O1是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①所示，设球O1的半径为r1，表面积为S1，则2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2． (2)球O2与正方体各棱的切点为各棱的中点，过正方体的两个相对面的面对角线作截面，如图②所示，设球O2的半径为r2，表面积为S2，则2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2． (3)球O3过正方体的各个顶点，即正方体的各个顶点都在球面上，过正方体的体对角线作截面，如图③所示，设球O3的半径为r3，表面积为S3，则2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2． 故这三个球的表面积之比S1∶S2∶S3＝πa2∶2πa2∶3πa2＝1∶2∶3． 学科网（北京）股份有限公司 $