课时测评2 余弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评2　余弦定理 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝，b＝3，a＝，则c＝(　　) A． B．2 C．3－ D．3 答案：B 解析：因为△ABC中，B＝，b＝3，a＝，所以由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝3＋c2－2c×，c2－c－6＝0，解得c＝2或c＝－(舍去)，所以c＝2.故选B． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝c，a2＝b2＋c2－2b2sin A，则A＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，因为b＝c，a2＝b2＋c2－2b2sin A，所以sin A＝cos A，所以tan A＝1，又角A为△ABC的内角，所以A＝. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，且a＝2b－c，则△ABC的形状为(　　) A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 答案：D 解析：由余弦定理得＝cos 60°，即b2＋c2－bc＝a2＝(2b－c)2，整理得b2＝bc，所以b＝c.又A＝60°，所以a＝b＝c.故△ABC的形状为等边三角形．故选D． 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，c＝1，则B＋C＝(　　) A．90° B．120° C．60° D．150° 答案：C 解析：在△ABC中，由于a＝，b＝2，c＝1，所以cos A＝＝＝－，又0°<A<180°，所以A＝120°，又A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝60°.故选C． 5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是(　　) A．在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，则C是锐角 B．在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则A＞B＋C C．在△ABC中，若4sin A cos A＝0，则△ABC一定是直角三角形 D．任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3 答案：ACD 解析：对于A，由a2＋b2－c2＞0及余弦定理可得cos C＝＞0，又C∈(0，π)，所以C∈，所以C是锐角，故A正确；对于B，由a2＜b2＋c2及余弦定理可得cos A＝＞0，又A∈(0，π)，所以A∈，所以A是锐角，所以B＋C＞＞A，故B错误；对于C，因为4sin A cos A＝0，A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A＝0，则A＝，所以△ABC一定是直角三角形，故C正确；对于D，若三角形三边之比是1∶2∶3，不妨设三边分别为x，2x，3x(x＞0)，则两短边之和为3x，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3，故D正确．故选ACD． 6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________． 答案： 解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝. 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝________． 答案：30° 解析：利用正弦定理化简sin C＝2sin B，得到c＝2b，代入a2－b2＝bc中，得a2－b2＝6b2，即a＝b.由余弦定理得cos A＝＝＝.因为A为三角形的内角，所以A＝30°. 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋ac cos B＋abcos C，则△ABC是________三角形． 答案：直角 解析：由c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，得c2＝＋＋，化简得c2＝a2＋b2，所以C＝90°，所以△ABC是直角三角形． 9．(10分)已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C． (1)求边c的长；(4分) (2)若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．(6分) 解：(1)因为△ABC的周长为＋1， 所以a＋b＋c＝＋1， 因为sin A＋sin B＝sin C， 所以由正弦定理得a＋b＝c， 所以c＝1． (2)因为△ABC的面积S＝absin C＝sin C， 所以ab＝， 因为a＋b＝c＝， 所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝， 所以由余弦定理得cos C＝＝， 因为C∈(0，π)， 所以C＝. 10．(10分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2＝a2＋c2－ac. (1)求角B的大小；(2分) (2)若a＝c＝2，求△ABC的面积；(3分) (3)求sin A＋sin C的取值范围．(5分) 解：(1)由cos B＝，可知cos B＝， 又0°<B<180°，所以B＝60°. (2)由(1)知B＝60°，又a＝c＝2， 所以S△ABC＝ac sin B＝×2×2×sin 60°＝. (3)由题意得，sin A＋sin C＝sin A＋sin (120°－A)＝sin A＋cos A＝sin (A＋30°)， 因为0°<A<120°，所以30°<A＋30°<150°. 所以<sin (A＋30°)≤， 故所求范围为(，]. 11．(5分)在锐角△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若cos B＋sin B＝2，且满足关系式＋＝，则a＋c的取值范围是(　　) A．(，2] B． C． D．(3，2] 答案：D 解析：因为cos B＋sin B＝2，所以2sin ＝2，则B＋＝2kπ＋(k∈Z)，因为B∈(0，π)，所以B＋＝，B＝；由余弦定理得，＋＝＋＝＝，由正弦定理得＝＝，所以＝＝，所以＝，解得b＝；所以＝＝2＝2R，在锐角△ABC中，由A＋B＋C＝π，B＝，得A＋C＝，所以C＝－A，由可得<A<；a＋c＝2R(sin A＋sin C)＝2＝3sin A＋cos A＝2，由<A＋<，得<sin ≤1，所以3<2sin ≤2，所以a＋c的取值范围是(3，2].故选D． 12．(5分)在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，cos ∠B＝－，AB＝BC＝2，则sin ∠BAC＝________，DC＝________． 答案：　3 解析：在△ABC中，由AB＝BC＝2，cos ∠B＝－，得AC＝＝，所以cos ∠BAC＝＝，sin ∠BAC＝＝.因为∠B＋∠D＋∠BAD＋∠BCD＝360°，∠BCD＝60°，∠BAD＝120°，所以∠D＋∠B＝180°，所以cos∠D＝，sin ∠D＝.在△ADC中，sin ∠DAC＝sin(120°－∠BAC)＝sin 120°cos ∠BAC－cos 120° sin ∠BAC＝，由正弦定理＝，得DC＝3． 13．(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝2，2cos2－cos2C＝1． (1)求C的大小；(5分) (2)求的值．(8分) 解：(1)在△ABC中，因为2cos2－cos2C＝1， 所以2sin2－cos 2C＝1， 所以cos 2C＋1－2sin2＝cos 2C＋cos C＝0， 所以2cos2C＋cosC－1＝0，解得cos C＝或cos C＝－1(舍去). 又因为0<C<π，所以C＝. (2)因为a＝3，b＝2． 所以在△ABC中，由余弦定理，得c＝＝＝，所以＝. 14．(17分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝. (1)若cos A＝，求cos C；(7分) (2)已知b＝4，求·的最小值．(10分) 解：(1)因为cos B＝，B∈(0，π)， 所以sin B＝＝. 因为cosA＝，所以sin A＝， 所以cos C＝－cos (A＋B) ＝sin A sin B－cos A cos B＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，可得a2＋c2－ac＝16． 因为a2＋c2≥2ac，所以ac≤13，当且仅当a＝c时等号成立， 所以·＝ac cos (π－B)＝－ac cos B＝－ac≥－5， 所以·的最小值为－5． 学科网（北京）股份有限公司 $