训练2 余弦定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练测（人教B版2019）

训练二 余弦定理 8.(2022·弥勒高一月考)在△ABC中，内角 基础练了学考测椰 A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知 1.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对 acos B=√3 bsin A. 边，若C=60°，a=5,b=8,则△ABC的周 (1)求B; 长为 ( (2)若a=√3，c=3,求b的值. A.20 B.30 C.40 D.25 2.(2022·邯郸高二月考)在△ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,B=135°，b= √/15，c=√3，则a= () A.2 B.√6 C.3 D.26 3.(2022·梁河高二检测)△ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c,若a=√7，b= 3,c=2,则A= () A.30° B.45 C.60 D.90° 4.(2022·徐闻高一期中)在△ABC中，已知 9.(2022·长丰高二月考)在△ABC中，AB a2=b+bc+c2,则角A为 () =②，B=年，D为BC边上一点，且BD A.3 B吾 =3. (1)求AD: c D.号或号 (2)若AC-2√Σ，求sinC. 5.(2022·武汉高二月考)在△ABC中，已知 sinC=2sin(B+C)cosB,则△ABC一定 是 A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6.(2022·桂林高二检测)在△ABC中，已知 a=4,b=5,c=6,则角A的正弦值为 7.△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b, c,已知b=c=1,a2=2(1-sinA),则 △ABC的面积等于一： 3 高中数学·必修第四册(JB 能力练 赶移运周 创新练素能培优 10.(多选)在△ABC中，已知sin2A十cos2B 14.(2022·临沂高一期中)在①asin C 十√3 sin Asin C=cos2C,则下列结论中 √3 ccos A,②b2+c2-a2=bc,③√5sinA 正确的是 ( ) 一c0sA=1三个条件中任选一个，补充 A.cos B=3 B.cos B=3 在下面问题中，并解答。 2 问题：已知a,b,c分别为△ABC三个内 C.mB=号 D,tanB=经 角A,B,C的对边，且 (1)求A: 11.(多选)下列条件中能够判定△ABC是钝 (2)若a=2,则△ABC的面积为√3，求 角三角形的是 b,c. A.a=4,b=5,c=6 注：如果选择多个条件分别解答，按第一 B.AB·BC=2b 个解答计分： c名如斗A如B sin A D.b2sin2 C+c2sin2B=2bccos Bcos C 12.(多选)(2022·铜山高一期中)在△ABC 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B 一2C,cb=3,则下列结论正确的是 A.sin C=6 3 B.sin B=22 3 C.a=3 D.SAARC=22 l3.在①sinA,sinB,sinC成等差数列； ②sinB,sinA,sinC成等比数列； ③2 bcos C=2a一√3c三个条件中任选一 个，补充在下面的问题中，并加以解答. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分 别是a,b,c,面积为S.若 ,且 4S=√5(b+c2-a2),试判断△ABC的 形状.13.解，'2B=A+C,A+B+C=180°， :7.解析由a=b十c2-2brc0sA=2-2c05A=2(1一 .B=60°，A+C=120°， sinA),所以cosA=sinA,tanA=1.图为A∈(0，π)， .0°<A<120°，0°<C<120°且A=120°-C. a+√2b=2c,由正弦定理，得sinA十2sinB=2sinC. 所以A=片以5=nA=×号- ÷sn120°-c)+5=2sinC, 2 答案 4 xsi十之2s《”。 8.解(1)在△ABC中，acos B=√3 bsin A, 2 由正弦定理，得 sin Acos B=3sin Bsin A. 21 sin(C-30)=2 因为A∈(0，n),所以sinA≠0，所以tanB= 3 2 -30°<C-30°<90°， 又周为BE0,,所以B=吾 ∴.C-30°=45，C=75 (2)在△ABC中，由余弦定理，得B=a十c一2ao05B, .sinC=sin(45°+30)=sin45°cos30°+cos45 sin30°=y6+2 代入轻据得)=3+9-2×3×3×5=3，所以b=3. 4 创新练素能培优 9.解1)在△ABD中，AB=2,B=于，BD=3, 14.解设方程的两根为无，x,由根与系数的关系，得 由余弦定理，得AD=AB+BD-2AB·BDcos B x1十x=bosA, ..bcos A=acos B. r;=acos B. 2+9-62×2=5. 2 由正孩定理，得sin Beos A=sin Acos B, ∴AD=5. .sin Acos B-cos Asin B=0.sin(A-B)=0. ·A,B为△ABC的两内角， (2)在△ABC中，AB=2,AC=22,B=, .0<A<π，0<Bπ，一π<A一Bπ ,A-B=0,即A=B. 由正孩定理，得AB=AC】 sin Csin B,即C-2y2 故△ABC为等腰三角形. 训练二余弦定理 sin C= 4 基础练学考测评 能力练迁移运用 L.A根据余弦定理得c2=a+6-2 abeos C=5°+8-5 10.BC图为sinA+cosB+√3 sin Asin C=cosC,可得 ×8=49,所以c=7,则△ABC的周长为20. sinA+1-sinB+√3 sin Asin C=1-sinC,整理可 2.B由余弦定理，得6=a+c2十√2ac,即15=a+6a 得sin'A一sinB+√3 sin Asin C=-sinC,所以由正 十3，解得a=6】 3C由余弦定理知cosA=公十-a=9+4-71 弦定理可得a十c2一b=一V3ac,由余孩定理可得 2×3×22 sB-t公=-停周为B∈0 又0°<A<180°，.A=60. 2ac 4.C因为a2=十bc十c,所以b十2-a2=一c,由余 所以sinB=-cosB= z,tanB=inB-区 弦定理可得osA士4-是=一之 cos B 3 2bc 2bc 厂2，又因为A 1l.BC对于A,因为c>b>,所以C最大，由余弦定理 ∈(0，)，所以A=2= 可得cosC-:+C>0,C为锐角，则△ABC是锐 3 2ab 5.B因为sinC=2sin(B十C)cosB,sin(B+C)=sinA, 角三角形：对于B,AB·BC=AB1|BC1cOs(π-B) 所以sinC=2 sin Acos B,所以由正余弦定理，得c=2a -cacos B=2b,所以cosB<0,则B为钝角，故△ABC .公+-6.化简符a2=.因为a>0,b>0,所以a 2ac 为纯角三角形：对于C,由运贫定理可得治 b,所以△ABC为等腰三角形，故选B. sin A 6.解析因为a=4,b=5,c=6,所以由余弦定理，得c0sA nC得nB平b所以c-=d+ab,可得a+b 6+口=2566=是国为A∈(0，，所以 2be 2×5×6 一=-ab,由余孩定理，得osC=。+B-C 2ab A=-不-√厂- -子别C为锐角，故△ABC是锐角三角形：对于D, 答案 阁为bsin'C+c2sin'B=2 bccos Beos C,由正弦定理可 得2sin'Bsin'C=2 sin Bsin Ceos Beos C,因为B,C∈ 30 (0,π)，所以sinB>0,sinC>0,所以cos Beos C sin Bsin C=0,即cos(B十C)=0.因为0<B+C<x, (2:a=2.5ae=号simA=csin号=5 .bc=4.由余弦定理，得a=十2-2cosA, 数B+C=受，则△ABC是直角三角形. 即4=6+2-2b6ccos号，即B+c2=8, 12,AB在△ABC中，周为B=2C,=b.由正孩定理 2 由b=4.b十c=8,所以(b一c)=b十c2-2bc=0. 可得mC-snB=点、 之sin2C=5 sin Ceos C.因为 即b=c,所以b=c=2. 若选② Ce(0,x,可得mC>0,所以cosC-号，则s血C (1)62+c2-a2=bc, 由余孩定理，得cosA十一d=1 V个wsC-5又由nB=m2C=2 sin CeosC- 2bc 2 :A∈0xA=子 3 (2)同上 2hosC可样9=d2+(25y-2a·25×停中 若选圆 a-4a+3=0,解得a=3或a=l,若a=3时，可得a= (D5snA-osA=1n(A-晋）- c=3,则A=C.因为A+B+C=元，可得C=开，这与 :Ae0,A-∈（A-吾=吾 c0sC=矛盾，所以4=1.由三角形的面积公式可得 3 A- sw-ain C-2x1×25×5-2 (2)同上 3 13.解若选① 训练三解三角形在实际测量中的应用（一） 由4S=√3(b十c2-a)可得2 besin A=2√3cosA, 基础练学考测评 所以anA=瓦.又0<A<,所以A=5 L,B设航速为vn mile/h 由余弦定理可得a2=6+2一b加. 在△ABS中，AB=2,BS=8/n mile,.∠BSA=45 又sinA,sinB,sinC成等差数列， 1 所以2sinB=sinA+sinC, 20 即2b=a十c,即(2b-c)=6+c2-b, 由区孩定理，得易一石=nm 可得b=,所以△ABC为等边三角形 2.C由题意可知，AB=203,BC=40×0.5=20, 若选② ∠ABC=45°-15°=30°，则在△ABC中，由余孩定理可 同上 得，AC=AB十BC-2AB·BCcos∠ABC=1200十 由余弦定理可得a=b+2一b加. 400-2×203×20×c0s30=400,所以AC=20. 又sinB,sinA,sinC成等比数列， 所以sinA=sin Bsin C, 3.D由已知得AB=40海里.AC1=20海里，∠CAB 即a=c,所以(h-c)2=0,所以b=c, =120°，在△ABC中，由余弦定理，得1BC|= 所以△ABC为等边三角形. AC+AB-2ACIABIcos 120= 若选③ √/40+20-2×40×20c05120°=20√7（海里）. 同上 4,A知图所示，∠ABD= 又2 beos C=2a-√3c. 90°，∠ACB=45,∠ADB= 所以2 sin Bcos C=2sinA-3sinC, 30,∠BCE=70°，∠DCE ·东 2sin Bcos C=2sin(B+C)-3 sin C. =50°. 可得c@sB=号所以B-吾，所以C-受， 设塔高AB=xm,则BC= xm,BD=√3xm,在 所以△ABC为直角三角形， 创新练素能培优 △BCD中，由余弦定理，得(3x)=x十280-2.x ·280cos120°，整理得x-140.x-140×280=0,由 14.解若选① 求根公式可得x=280或x=一140（舍去），所以“大 (1)'.'asin C=3ccos A. 玉米”的高约为280m. 由正孩定理，得sin Asin C=3 sin Ceos A, 5.B在△CDA中，AD=CDtan∠DCA=256Ian45°= sinC≠0，∴.sinA=/3cosA, 256,在△ABD中，DB=ADtan.∠BAD=256tan60°= 即anA=5.A∈(0，x),.A=可 3 2563,所以BC=BD-CD=256(√3-1). 31