课时测评1 正弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评1　正弦定理 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于直角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值； ④在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则A∶B∶C＝a∶b∶c. 其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：因正弦定理适用于任意三角形，故①②不正确；在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝2R，因为三角形确定，所以其外接圆半径R为定值，故③正确；④显然不正确． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝3，则B的大小为(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 答案：A 解析：在△ABC中，A＝45°，a＝6，b＝3，由正弦定理可得＝，即＝，解得sin B＝，因为b<a，所以B<A＝45°，故B＝30°.故选A． 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝8，b＝7，A＝，则△ABC的形状可能是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．钝角或锐角三角形 D．锐角、钝角或直角 答案：B 解析：因为在△ABC中，a＝8，b＝7，A＝，所以a>b，角B可取比小的一个唯一锐角，所以C＝π－A－B>，故△ABC的形状为钝角三角形．故选B． 4．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝2，则边c＝(　　) A．2 B． C． D．1 答案：A 解析：因为A＝105°，C＝30°，所以B＝45°，则＝，即＝，解得c＝2，故选A． 5．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案：B 解析：由正弦定理知＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°<B<180°，所以B＝45°.故选B． 6．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________． 答案：2 解析：△ABC中，B＝2A，a＝1，b＝，故由正弦定理可得＝，即＝＝⇒cos A＝，又因为0<A<π，所以A＝，所以B＝，C＝π－A－B＝.再利用勾股定理可得c2＝a2＋b2＝1＋3＝4，则c＝2． 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，A＋C＝3B，则角A的大小为________． 答案：30° 解析：因为A＋C＝3B且A＋C＋B＝180°，所以B＝45°，由正弦定理可知＝，即sin A＝＝.因为0°<A<180°，所以A＝30°或150°.当A＝150°时，A＋B＝195°>180°，与三角形内角和为180°矛盾，舍去，所以A＝30°. 8．在△ABC中，A＝60°，a＝3，则＝____________． 答案：2 解析：利用正弦定理的变形公式得， ＝＝＝＝2 . 9．(10分)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝. (1)求AB的长；(4分) (2)求cos 的值．(6分) 解：(1)因为在△ABC中，cos B＝，B∈， 所以sin B＝， 由正弦定理可得＝， 所以AB＝＝5. (2)cos A＝－cos (π－A) ＝－cos(C＋B)＝sin Bsin C－cos B cos C＝－. 因为A为三角形的内角， 所以sin A＝， 所以cos ＝cos A＋sin A＝. 10．(10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.且b＝2，a＝2，A＝. (1)求B的值；(4分) (2)求△ABC的面积．(6分) 解：(1)由正弦定理＝，得＝， 所以sin B＝. 因为a>b，且B为三角形的内角， 所以B＝45°. (2)由(1)知，C＝180°－60°－45°＝75°， sin 75°＝sin (45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝， 所以S△ABC＝absin C＝×2×2×＝3＋. 11．(5分)在△ABC中，角A，B，C对应的边是a，b，c且满足b(1＋cos C)＝2a cos C＋c cos A，则该三角形为(　　) A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 答案：B 解析：因为b(1＋cos C)＝2a cos C＋c cos A，所以根据正弦定理得sin B(1＋cos C)＝2sin A cos C＋sin Ccos A，sin B＋sin B cos C＝sin A cos C＋sin Acos C＋sin C cos A，sin B＋sin B cos C＝sin A cos C＋sin (A＋C)，又A＋C＝π－B，所以sin B cos C＝sin A cos C，所以sin B＝sin A或cos C＝0，所以A＝B或C＝，所以三角形为等腰三角形或直角三角形．故选B． 12．(5分)(开放题)有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件看不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝，2cos2＝(－1)cos B，c＝________，求角A．若该题的答案是A＝60°，请将条件补充完整． 答案： 解析：由题知1＋cos (A＋C)＝(－1)cos B，所以1－cos B＝(－1)cos B，解得cos B＝.因为0°<B<180°，所以B＝45°.又A＝60°，所以C＝75°.根据正弦定理，得＝，解得c＝. 13．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，b sin 2A＝a sin B． (1)求角A的大小；(5分) (2)若sin B＝，求c.(8分) 解：(1)由b sin 2A＝a sin B及正弦定理可知 2sin B sin A cos A＝sin A sin B． 因为sin A sin B≠0，所以cos A＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为sin A＝sin ＝，所以sin B<sin A，所以B<A， 所以cos B＝＝. 因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝. 由正弦定理得c＝＝3××＝. 14．(17分)已知△ABC内接于单位圆，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos A＝c cos B＋b cos C． (1)求cos A的值；(7分) (2)求△ABC面积的最大值．(10分) 解：(1)因为2a cos A＝c cos B＋b cos C， 所以2sin A cos A＝sin C cos B＋sin B cos C， 所以2sin A cos A＝sin (B＋C)＝sin A． 又0<A<π，所以sin A≠0， 所以2cos A＝1，即cos A＝. (2)由(1)，知A＝，所以B＋C＝π，即B＝π－C．因为△ABC内接于单位圆，所以＝＝2， 所以S△ABC＝bc sin A ＝2sin B sin C sin ＝sin B sin C ＝sin (π－C)sin C ＝sin C(cos C＋sin C) ＝sin C cos C＋sin2C ＝sin2C－cos 2C＋ ＝sin (2C－)＋， 又C∈(0，π)， 所以2C－∈， 所以当2C－＝，即C＝时，△ABC的面积取得最大值，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $