专题9.2 复数的几何意义（5大知识点+11大题型+强化训练）- 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义（沪教版)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题9.2 复数的几何意义 知识点一、复平面与复数的坐标表示 1、复平面的有关概念：在平面上建立直角坐标系，以坐标为的点表示复数，就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应，这样用来表示复数的平面叫做复平面；在复平面上，轴上的点具有形式的坐标，从而对应的都是实数，所以把轴叫做实轴；同理，轴上的点（除坐标原点外）都对应纯虚数， 所以把轴叫做虚轴，坐标原点表示实数； （1）虚轴上的原点对应的有序实数对为， 它所确定的复数是表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数； 2、复数的坐标表示：每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. 3、共轭复数的“数、形”特征 共轭复数和在复平面上所对应的点和关于轴对称；反之，如果复平面上的两个点关于轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭； 特别地，如果，即是实数，则，此时、在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点； 知识点二、复数的向量表示 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 因此，复数、复平面内的点和平面向量之间的关系可用下图表示. 为方便起见，常把复数说成点或向量； 知识点三、复数加减法的几何意义 1、以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 根据复数加减法的几何意义有以下性质： (1) (2)若,即平行四边形对角线相等，则此平行四边形为矩形。 (3)若 ,则此平行四边形为菱形 (4)若且，则此平行四边形为正方形 知识点四、复数的模 1、复数模的概念：复数，对应的向量为，则向量的模叫作复数的模(或绝对值)，记作：； ； 2、复数模的几何意义是：复数对应复平面上的点到原点的距离； 3、复数模的性质 ①； ②； ③； ④；⑤； ⑥； 4、重要结论 （1）一个重要的复数等式：;（想一想：如何推导） （2）一个重要的复数不等式：（想一想：等号成立条件） 知识点五、复平面上两点间距离公式 设、是复平面上的两个点，其对应的复数、，则由平面上两点间距离公式可知： 题型一 复平面与复数的坐标表示 【例1】已知复数，则z在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求出对应的点即可. 【详解】复数对应的点为， 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示 【分析】由复数的几何意义易得． 【详解】因复数的实部为，虚部为， 故该复数在复平面内对应的点为. 故选：A. 2.已知，，由原点和、所对应的点围成的三角形面积是多少？ 【答案】 【分析】利用已知复数写出对应点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】在复平面内，复数、所对应的点的坐标分别为、， 所以. 3.已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】利用复数的除法将整理为，则在复平面内对应的点为，故有，解出的值即可. 【详解】， ， 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点的横坐标为3， ，. 故选：A. 题型二 根据复数的坐标写出对应的复数 【例2】已知复数的共轭复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】 先得到，求出虚部. 【详解】由题意得，故，故虚部为2. 故选：C 【跟踪训练】 1.复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义和代数运算求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 计算， 故选：A. 2.若复数在复平面内对应的点的坐标为，则 . 【答案】 【分析】先得到，利用复数乘法法则计算即可. 【详解】由题意得，故. 故答案为：. 3.如图，设每个小方格的边长是1，指出点A，B，C，D，E所表示的复数．    【答案】 【分析】根据复数的几何意义分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以点A，B，C，D，E所表示的复数分别为. 题型三 判断复数对应的点所在的象限 【例3】已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于第 象限 【答案】二； 【解析】由 即复数，所以复数对应的点为位于第二象限. 【例4】设，则下列结论正确的是（   ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 【答案】C 【分析】利用二次函数的知识分析实部和虚部，则答案可求. 【详解】对于C，，， 则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，故C正确； 对于A，取，，则z在复平面内的点在第二象限，故A错误； 对于B，令，解得，此时，则z为纯虚数，故B错误； 对于D，因为，所以z的虚部不可能为0， 则z一定不是实数，故D错误； 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】利用共轭复数的概念和复数的几何意义易得. 【详解】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：B. 3.设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算法则求出，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，则， 则，解得：或， 所以或，其在复平面内对应的点位于第一、三象限． 故选：C 题型四 根据复数对应坐标或所在象限求参数 【例5】已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【解答过程】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 【例6】在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【解题思路】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【解答过程】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 【例7】设，复数. (1)若复数是纯虚数，求实数m的值； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据纯虚数的概念列出方程求解即可； （2）根据复数对应的点在第二象限，列出不等式组求解. 【解答过程】（1）因为， 又复数是纯虚数，所以， 解得. （2）复数z在复平面内对应的点为， 又复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以 解得，即实数m的取值范围是. 【跟踪训练】 1.已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将复数化简，令其对应的实部大于，虚部小于，即可求出对应的实数的取值范围. 【详解】 ， 令则，得. 故答案为：. 2.设，， 若复数(其中为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】化简复数，再根据复数在复平面上对应的点位于第四象限，即可得出结论. 【详解】由题意， ∵， ∵复数在复平面上对应的点位于第四象限， ∴，解得， 故选：A. 3.已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【答案】或 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由题意可知，复数表示的点的坐标为， 由题意可得，解得或. 故答案为：或. 4.在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【解题思路】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，解得或； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 5.已知复数，其中． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是纯虚数，求实数m的值； (3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或． (2) (3) 【分析】（1）根据复数的虚部为零可求答案； （2）根据纯虚数的特征可求答案； （3）根据第四象限内点的特征可求答案. 【详解】（1）由z是实数，得，解得，或． （2）由z是纯虚数，得解得． （3）由z在复平面内对应的点在第四象限，得 由解得或；由解得， 所以m的取值范围为． 题型五 共轭复数的几何意义 【例8】已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据共轭复数的概念及复数对应的点求解. 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第四象限， 故选：D 【跟踪训练】 1.已知复数，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根复数的定义求出其共轭复数，再计算确定其复平面内对应的点的坐标. 【详解】已知，，，对应复平面内坐标点. 故选：D 2、复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应点的坐标（       ） A．(3，－1) B．(－1，－3) C．(3，1) D．(2，－4) 【答案】A； 【解析】由题意得：因为， 所以，的共轭复数为，在复平面内对应的点的坐标是；故选：A； 3.在复平面内，复数z对应的向量，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的几何意义与共轭复数的概念即可求解. 【详解】由题意，则. 故选：B. 4.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数虚部是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的坐标表示、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的几何意义，结合共轭复数的定义求解 【详解】已知复数对应的点的坐标是， 所以. 所以. 所以的虚部为1. 故选：A. 题型六 复数的向量表示 【例9】设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 【答案】/ 【分析】根据复数与向量的对应关系以及向量的运算法则来求解向量对应的复数. 【详解】已知向量，对应的复数分别为，. 根据向量运算法则，那么向量对应的复数为向量对应的复数减去向量对应的复数.即，化简得：. 故答案为：. 【例10】四边形是复平面内的平行四边形，已知三点对应的复数分别是，则向量所对应的复数是 【答案】 【解析】依题意，所以中点为，所以，所以，对应复数为. 【跟踪训练】 1.设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由复数的几何意义及平面向量的坐标运算求解． 【详解】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 2.已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示 【分析】利用复数在复平面内的几何意义，通过数形结合，即可得到判断. 【详解】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转， 得到对应的复数是, 故选：A. 3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，若zz2＝z1， 则z的共轭复数＝(　　) A．＋I B．－i C．－＋I D．－－i 【答案】A； 【解析】由题意知z1＝1＋2i，z2＝－1＋i，故z(－1＋i)＝1＋2i， 即z＝＝＝＝－i，＝＋i，故选A； 题型七 复数加、减法的几何意义 【例11】向量1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是 【答案】0； 【解析】由复数的几何意义，可得1＝(5，－4)，2＝(－5，4)， 所以1＋2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以1＋2对应的复数为0.； 【例12】复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是____________ 【答案】－6－8i； 【解析】因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)， 又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i. 【跟踪训练】 1.复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为对应的复数是，对应的复数为，又， 所以对应的复数为，又， 所以点对应的复数为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 2.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为(　　) A．2＋8i B．－6－6i C．4－4i D．－4＋2 i 【答案】C 【解析】因为，＝－＝－(＋)，所以，表示的复数为3＋2i－(1＋5i－2＋i)＝4－4i. 3.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是(　　) A．1－3i B．－3－I C．3＋5i D．5＋3i 【答案】C； 【解析】因为，点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i， 所以，对应的复数为2＋2i；不妨设D(x，y)， 又因为，＝，所以(x－1，y－3)＝(2,2)，所以，　解得 所以，点D表示的复数为3＋5i； 4.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为 【答案】－2＋i； 【解析】因为，A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)， 所以，向量对应的复数为－2＋i.； 5.在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数的几何意义得出向量的坐标，由此可得出向量的坐标，进而可得对应的复数. 【解答过程】正方形，且对应的复数为， 则对应的复数为， 故选：C. 题型八 复数的模 【例13】若复数满足（为虚数单位），则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】方法1：设，则由，得， 所以，由复数相等的条件得解得，所以， 故. 方法2：由，得，所以； 方法3：由，则 【例14】已知复数z所对应的点在第四象限，且，的虚部为，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由复数模求参数、在各象限内点对应复数的特征、求复数的实部与虚部 【分析】设，根据条件列出、的相关等式，求解即可. 【详解】设，则，所以， ，， 复数z所对应的点在第四象限，所以，，， ，， 所以，解得，则. 故选：A. 【例15】在复平面内，已知复数满足，且，求. 【答案】 【分析】设对应的复数为，对应的复数为，利用向量运算和复数的向量表示可解. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且， 所以为等腰直角三角形，且.    作正方形AOBC，如图所示， 则对应的复数为，故. 【例16】对任意，，，下列结论不成立的是（       ） A．当m，时，有 B．当，时，若，则且 C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且 D．的必要不充分条件是 【答案】B； 【解析】由复数乘法的运算律知，A正确； 取，；，满足，但且不成立，B错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确； 由能推出，但推不出， 因此的必要不充分条件是，D正确. 故选：B 【跟踪训练】 1.已知复数，则复数的模 . 【答案】 【解析】， 故答案为：. 2.设复数，则复数的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 【答案】C 【解题思路】共轭复数的定义求出，再由复数的模长公式求解即可. 【解答过程】复数，则， 所以. 故选：C. 3.复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（    ） A．17 B． C．13 D． 【答案】D 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数的向量表示 【分析】根据复数的几何意义求出坐标即可得出复数，进而求出模. 【详解】由题意可得，，则， 所以，得． 故选：D 4.已知复数 满足 ， 则 . 【答案】 【解析】原题等价于，，求. ，， ， . 故答案为：. 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 6.已知复数，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD. 【详解】对于A，设，显然， 但，故A错； 对于B，设， 则， ， ， 所以，故B对； 对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量， 复数对应向量，复数加减法对应向量加减法， 故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度， 所以，，故C对，D对. 故选：C. 题型九 由复数模求参数 【例17】若复数的模为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】由复数模求参数 【分析】根据复数模长的定义，列出方程，求出参数值. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复数的模计算公式解得答案. 【解答过程】因为，所以，化简得， 解得. 故选：B. 2.已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】先根据求出或，再结合z在复平面内对应的点位于第二象限排除即可. 【解答过程】由题意，得，得或， 因z在复平面内对应的点位于第二象限，所以，故，故， 故选：A. 3.已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可． 【解答过程】因为，且， 整理得，解得或， 即等价于或， 且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 题型十 复数模的几何意义 【例18】设，满足条件的点的集合表示的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】设，根据向量模的计算公式得到，即可求出点的集合表示的图形的面积. 【详解】设，因为，所以， 则，所以点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上， 所以点的集合表示的图形的面积. 故答案为： 【例19】设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定图形，进而求出面积. 【详解】由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心， 分别以1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以所求面积为. 故答案为： 【例20】已知复数满足，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据模长关系求出复数在复平面内对应点的轨迹，根据轨迹判断复数模长的最大值，求出结果. 【详解】设，则， 可得，即，复数在复平面内对应点在以为圆心，以1为半径的圆上， 由可知圆上的点到原点最长距离，是当时的距离，此时. 故选：D. 【跟踪训练】 1.如果复数z满足|z＋1－i|＝2，那么|z－2＋i|的最大值是 【答案】 ＋2 【解析】复数z满足|z＋1－i|＝2，表示以C(－1，1)为圆心，2为半径的圆． |z－2＋i|表示圆上的点与点M(2，－1)的距离； 因为|CM|＝＝，所以|z－2＋i|的最大值是＋2； 2.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的几何意义可知在复平面表示的是以为圆心，半径为3的圆，由圆的周长公式即可得出答案. 【详解】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3， 也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为. 故选：C. 3.已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的定义以及三角不等式求解即可. 【详解】， 所以的最大值为. 故选：A. 4.若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值. 【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 故选：B. 5.已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，复数对应的点，表示点与点的距离为1， 因此点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，又表示点与点的距离， ，所以的最小值. 故答案为：2 6.设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可. 【详解】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    故选：C. 题型十一 综合提升 【例21】已知i是虚数单位，复数． (1)当时，求z的共轭复数； (2)若z是纯虚数，求m的值： (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）代入，根据共轭复数的概念求解即可； （2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可； （3）根据复数对应的点第四象限实部为正，虚部为负可得的不等式，求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以共轭复数 （2）， 因为复数z是纯虚数，所以， 解得， 所以； （3）因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限 所以，即 即，所以 所以，实数m的取值范围是. 【例22】已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【答案】(1)， (2) (3)，此时 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）设，即可得到，从而确定集合在复平面上对应的区域，即可求出相应的面积； （3）设，即可得到，确定在复平面的轨迹，即可求出的最大值以及此时的. 【详解】（1）因为，， 所以，； （2）设，则， 所以，， 由且，即，即， 所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分）， 所以集合在复平面上对应的区域的面积. （3）设，则， 又，即， 所以当时，当时，当时， 当时， 所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示： 其中，，，， 所以当时取得最大值，且，此时 【例23】已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位.复数对应的点为， (1)求； (2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z与之间距离的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，化简计算，可得m，根据复数的除法运算，可得，代入求模公式，即可得答案. （2）由（1）可得，代入可得曲线可得，根据其几何意义，可得曲线是复平面内以圆心，半径为的圆，根据点与圆的位置关系，即可得答案. 【详解】（1） 所以． 所以． 所以 （2）由（1）可得，， 曲线，即， 因此曲线是复平面内以圆心，半径为的圆， 故与之间的距离为 所以与之间的最小距离为，最大距离为，故Z与之间距离的取值范围 【例24】利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，求复向量，的模； （2）设、是两个复向量，证明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立，即：； （3）当时，称复向量与平行.设、，若复向量与平行，求复数的值． 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）． 【解析】（1），所以， ，所以； （2），，所以， 根据复数的三角不等式 ， 由，得， 所以， 综上所述，； （3）考虑（2）中的等号成立条件：对于复数的三角不等式而言，复向量各分量均不为零时， 其等号成立条件是存在在非负实数使得，即， 另一方面，根据的等号成立条件， 应有，即，结合，知， 即，也即． 一、选择题 1.在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为(　　) A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i 【答案】D； 【解析】因为z2＝－2i，而＝－，故向量对应的复数为－2i－(1－i)＝－1－i，故选D； 2.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出点的坐标，由对称求出点的坐标，进而求出对应的复数. 【解答过程】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D. 3.已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】由共轭复数的定义及复数的坐标表示判断即可. 【解答过程】由题设，对应点为，该点位于第四象限. 故选：D. 4.已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求出最大值. 【详解】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 5.若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 二、填空题 6.当时，复数在复平面上对应的点位于第 象限 【答案】四； 【解析】因为，，所以，，， 所以，复数在复平面上对应的点位于第四象限； 7.已知i是虚数单位，则复数对应的点位于第 象限 【答案】四； 【解析】由，则， 所以，对应的点所在的象限是第四象限； 8.已知z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，若z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________. 【答案】－1； 【解析】z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝5＋(a＋1)i，由z1＋z2所对应的点在实轴上可知a＋1＝0，即a＝－1； 9.如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为 【答案】； 【解析】z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i对应的点在第一象限，所以 解得m＜或m＞，即实数m的取值范围是m＜或m＞. 10.已知点，，，复数，在复平面内对应的向量分别是，， 则复数 【答案】 【解析】依题意知，，于是， 11.在复平面内，O是原点．向量对应的复数为，其中为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数的共轭复数为 【答案】 【解析】由题意，得，，所以向量对应的复数为 所以，向量对应的复数的共轭复数为； 12.在平行四边形中，对角线与相交于点，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是 【答案】4－2i； 【解析】依题意有，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i， 故选D； 13.若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 【答案】 【解题思路】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果. 【解答过程】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 所以，解得或. 故答案为：. 14.若在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则复数的模为 ． 【答案】 【解题思路】设复数，由复平面内对应点的坐标求出复数，再计算模长可得. 【解答过程】设复数，则， 因为复数所对应的点的坐标为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 15.设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则 ． 【答案】 【解题思路】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【解答过程】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 16.若，且，则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【解答过程】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图：    可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为：. 17.若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【解析】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 3、 解答题 18.已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据纯虚数定义求参数，进而求复数的模长； （2）由第一象限得，即可求范围. 【解答过程】（1）复数是纯虚数， ，解得，则，故. （2）若在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得，则的取值范围为. 19.已知是虚数单位，复数 (1)当时，求； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据条件，利用模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义，得到，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，则. （2）因为是纯虚数，则，解得. （3）因为对应点为， 由题知，解得， 所以实数的取值范围为. 20.已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位.复数对应的点为， (1)求； (2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z与之间距离的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，化简计算，可得m，根据复数的除法运算，可得，代入求模公式，即可得答案. （2）由（1）可得，代入可得曲线可得，根据其几何意义，可得曲线是复平面内以圆心，半径为的圆，根据点与圆的位置关系，即可得答案. 【详解】（1） 所以． 所以． 所以 （2）由（1）可得，， 曲线，即， 因此曲线是复平面内以圆心，半径为的圆， 故与之间的距离为 所以与之间的最小距离为，最大距离为，故Z与之间距离的取值范围 21.已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3)或. 【解题思路】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解； （2）由虚轴上的点对应的实部为0求解； （3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解. 【解答过程】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部， 解得或. （2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0， 所以，解得或. （3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0， 即，解得或. 22.设复数，当取何实数时： （1）复数z为纯虚数； （2）在复平面上表示z的点位于第三象限； （3）表示z的点在直线上． 【解析】（1）由为纯虚数，则该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数； （2）由表示的点位于第三象限，则解得； （3）由表示的点在直线上，则，解得． 23.已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列不等式求解即可； （2）利用实系数方程的根性质可得也是关于的实系数方程的一个复数根，结合韦达定理即可求得的值，从而得所求； （3）设复数，结合复数模长公式可得的值，由二次函数的性质从而求得的最小值. 【详解】（1）若是纯虚数，则，解得； （2）是关于的实系数方程的一个复数根， 则也是关于的实系数方程的一个复数根， 所以，即， 故； （3）若，则， 设复数，则 因为，所以，则，解得， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题9.2 复数的几何意义 知识点一、复平面与复数的坐标表示 1、复平面的有关概念：在平面上建立直角坐标系，以坐标为的点表示复数，就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应，这样用来表示复数的平面叫做复平面；在复平面上，轴上的点具有形式的坐标，从而对应的都是实数，所以把轴叫做实轴；同理，轴上的点（除坐标原点外）都对应纯虚数， 所以把轴叫做虚轴，坐标原点表示实数； （1）虚轴上的原点对应的有序实数对为， 它所确定的复数是表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数； 2、复数的坐标表示：每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. 3、共轭复数的“数、形”特征 共轭复数和在复平面上所对应的点和关于轴对称；反之，如果复平面上的两个点关于轴对称，那么这两个点所对应的复数互为共轭； 特别地，如果，即是实数，则，此时、在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点； 知识点二、复数的向量表示 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 因此，复数、复平面内的点和平面向量之间的关系可用下图表示. 为方便起见，常把复数说成点或向量； 知识点三、复数加减法的几何意义 1、以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 根据复数加减法的几何意义有以下性质： (1) (2)若,即平行四边形对角线相等，则此平行四边形为矩形。 (3)若 ,则此平行四边形为菱形 (4)若且，则此平行四边形为正方形 知识点四、复数的模 1、复数模的概念：复数，对应的向量为，则向量的模叫作复数的模(或绝对值)，记作：； ； 2、复数模的几何意义是：复数对应复平面上的点到原点的距离； 3、复数模的性质 ①； ②； ③； ④；⑤； ⑥； 4、重要结论 （1）一个重要的复数等式：;（想一想：如何推导） （2）一个重要的复数不等式：（想一想：等号成立条件） 知识点五、复平面上两点间距离公式 设、是复平面上的两个点，其对应的复数、，则由平面上两点间距离公式可知： 题型一 复平面与复数的坐标表示 【例1】已知复数，则z在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知复数，则在复平面上所对应的点为（    ） A． B． C． D． 2.已知，，由原点和、所对应的点围成的三角形面积是多少？ 3.已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．4 B． C．3 D． 题型二 根据复数的坐标写出对应的复数 【例2】已知复数的共轭复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．2 D． 【跟踪训练】 1.复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．4 D． 2.若复数在复平面内对应的点的坐标为，则 . 3.如图，设每个小方格的边长是1，指出点A，B，C，D，E所表示的复数．    题型三 判断复数对应的点所在的象限 【例3】已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于第 象限 【例4】设，则下列结论正确的是（   ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 【跟踪训练】 1.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 3.设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 题型四 根据复数对应坐标或所在象限求参数 【例5】已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例6】在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【例7】设，复数. (1)若复数是纯虚数，求实数m的值； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是 ． 2.设，， 若复数(其中为虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3.已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 4.在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 5.已知复数，其中． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是纯虚数，求实数m的值； (3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 题型五 共轭复数的几何意义 【例8】已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪训练】 1.已知复数，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应点的坐标（       ） A．(3，－1) B．(－1，－3) C．(3，1) D．(2，－4) 3.在复平面内，复数z对应的向量，则（    ）． A． B． C． D． 4.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数虚部是（    ） A．1 B． C．2 D． 题型六 复数的向量表示 【例9】设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 【例10】四边形是复平面内的平行四边形，已知三点对应的复数分别是，则向量所对应的复数是 【跟踪训练】 1.设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2.已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，若zz2＝z1， 则z的共轭复数＝(　　) A．＋I B．－i C．－＋I D．－－i 题型七 复数加、减法的几何意义 【例11】向量1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则1＋2对应的复数是 【例12】复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是____________ 【跟踪训练】 1.复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 2.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为(　　) A．2＋8i B．－6－6i C．4－4i D．－4＋2 i 3.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是(　　) A．1－3i B．－3－I C．3＋5i D．5＋3i 4.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为 5.在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 题型八 复数的模 【例13】若复数满足（为虚数单位），则（ ） A．1 B．2 C． D． 【例14】已知复数z所对应的点在第四象限，且，的虚部为，则复数（    ） A． B． C． D． 【例15】在复平面内，已知复数满足，且，求. 【例16】对任意，，，下列结论不成立的是（       ） A．当m，时，有 B．当，时，若，则且 C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且 D．的必要不充分条件是 【跟踪训练】 1.已知复数，则复数的模 . 2.设复数，则复数的共轭复数的模为（    ） A．7 B．1 C．5 D．25 3.复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（    ） A．17 B． C．13 D． 4.已知复数 满足 ， 则 . 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知复数，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 题型九 由复数模求参数 【例17】若复数的模为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 2.已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C．2 D． 3.已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型十 复数模的几何意义 【例18】设，满足条件的点的集合表示的图形的面积为 ． 【例19】设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为 . 【例20】已知复数满足，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练】 1.如果复数z满足|z＋1－i|＝2，那么|z－2＋i|的最大值是 2.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 3.已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 4.若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 5.已知复数满足，则的最小值为 . 6.设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型十一 综合提升 【例21】已知i是虚数单位，复数． (1)当时，求z的共轭复数； (2)若z是纯虚数，求m的值： (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 【例22】已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【例23】已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位.复数对应的点为， (1)求； (2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z与之间距离的取值范围. 【例24】利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，求复向量，的模； （2）设、是两个复向量，证明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立，即：； （3）当时，称复向量与平行.设、，若复向量与平行，求复数的值． 一、选择题 1.在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为(　　) A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i 2.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 3.已知（i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 5.若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 二、填空题 6.当时，复数在复平面上对应的点位于第 象限 7.已知i是虚数单位，则复数对应的点位于第 象限 8.已知z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，若z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________. 9.如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为 10.已知点，，，复数，在复平面内对应的向量分别是，， 则复数 11.在复平面内，O是原点．向量对应的复数为，其中为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数的共轭复数为 12.在平行四边形中，对角线与相交于点，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是 13.若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 14.若在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则复数的模为 ． 15.设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则 ． 16.若，且，则的最小值是 . 17.若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 3、 解答题 18.已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 19.已知是虚数单位，复数 (1)当时，求； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 20.已知向量，在复平面坐标系中，i为虚数单位.复数对应的点为， (1)求； (2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z与之间距离的取值范围. 21.已知复数在复平面上对应的点为Z， (1)求点Z在实轴上时，实数m的取值； (2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值； (3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围. 22.设复数，当取何实数时： （1）复数z为纯虚数； （2）在复平面上表示z的点位于第三象限； （3）表示z的点在直线上． 23.已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $