专题6.3.1 正弦定理（5大知识点+8大题型+强化训练）寒假班预修提升讲义-2025-2026学年高一数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.3.1 正弦定理 知识点1： 正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2.变式公式（边化角+角化边）： 边化角：，， 角化边：，， 3.比例拓展公式： ， 4.外接圆半径公式： 5.辅助公式： ， 知识点2 ： 解三角形 1.已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 2.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3.在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 4.三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 知识点3 ：三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 知识点4 ：三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 题型01：正弦定理解三角形 【例1】1.已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 2.在中，若，，，则C的值为 . 【例2】1.在中，已知，，．求BC． 2．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2.在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 4.在中，已知，，．求B、C及c． 5.在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解这个三角形。 6.在中，已知，，，解这个三角形. 题型02：正弦定理判断三角形解的个数（已知三角形两边及一边的对角解三角形） 【例3】根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数. (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，； (5)，，. 【跟踪训练】 1．在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 2. 在中，已知，，，解这个三角形．（提示，） 3. 下列三角形是否有解？有解的作出解答. （1）； （2）； （3）. 题型03：正弦定理边角互化应用 【例4】设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则 ． 【跟踪训练】 1．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 3.在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则 A． B． C． D． 4.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 题型04：正弦定理判断三角形形状 【例5】的内角，，的对边分别为，，，若，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【跟踪训练】 1.（1）若，则是 三角形； （2）若，则是 三角形． 2.在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3.在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型05：三角形面积公式的应用 【例6】在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【例7】在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【跟踪训练】 1.在三角形ABC中，已知，则三角形面积 ． 2.在中，已知，，，则 . 3.在中，已知，，．求b、c和面积S．（结果精确到0.01） 题型06：求三角形的外接圆半径 【例8】（1）已知，，，求的外接圆半径； （2）已知，的外接圆半径R＝1，求b． 【跟踪训练】 1.在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 3.已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 4.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 5.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型07：正弦定理解三角综合 【例9】在中，，，其面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，. (1)求角C； (2)若的周长为，求的值. 2.已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. (1)求的外接圆半径； (2)若，，且为锐角，求边上的高. 1、 选择题 1.在中，已知，则（    ）． A． B． C． D． 2.在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 3.在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 4.的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（    ） A． B． C． D． 5.在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 6.在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 8.在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是 9.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝ 10.在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于 11.在中，，，，则——— 12.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 . 13.在中，角、、的对边分别为、、.已知，则_________ 14.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则_______ 15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 3、 解答题 17.已知b＝10，c＝5，C＝60°，解三角形． 18.中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求边、的长度； (2)求的面积及其外接圆半径. 19.设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.3.1 正弦定理 知识点1： 正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2.变式公式（边化角+角化边）： 边化角：，， 角化边：，， 3.比例拓展公式： ， 4.外接圆半径公式： 5.辅助公式： ， 知识点2 ： 解三角形 1、 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 2、 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3、 在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 4、 三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 知识点3 ：三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 知识点4 ：三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 题型01：正弦定理解三角形 【例1】1.已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理解三角形，求出角的正弦值，判断角的大小即可. 【详解】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 故选：A． 2.在中，若，，，则C的值为 . 【答案】或 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理可求得或，再由三角形面内角和可得C的值. 【详解】利用正弦定理可求得， 又，可得或； 因为，可得或. 故答案为：或 【例2】1.在中，已知，，．求BC． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得， 因此. 2．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 【跟踪训练】 1.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 2.在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解即可． 【详解】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 3.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【解答过程】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 4.在中，已知，，．求B、C及c． 【答案】，， 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由已知利用正弦定理求出的值，进而可以求出的值，再利用正弦定理求出的值即可． 【详解】因为，，， 则由正弦定理可得：， 所以， 又，所以为锐角，则，则， 由正弦定理可得． 5.在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解这个三角形。 【解析】在△ABC中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°. sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝； 根据正弦定理，得a＝＝＝＝(－1)＝3－， 所以b＝＝＝＝2(－1)； 6.在中，已知，，，解这个三角形. 【解析】在中， 由正弦定理，得 解得， 题型02：正弦定理判断三角形解的个数（已知三角形两边及一边的对角解三角形） 【例3】根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数. (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，； (5)，，. 【答案】(1)一解 (2)一解 (3)一解 (4)两解 (5)无解 【分析】根据三角形中的边和角，结合三角形中大边对大角的关系以及利用正弦定理求出角的正弦值，即可判断三角形解的情况. 【详解】（1）因为，，， 则由正弦定理可得， 又，则，即B只能是锐角， 则只有一解，故有一解； （2）因为，，， 则由正弦定理可得， 又，则，即B只能是锐角， 则只有一解，故有一解； （3）因为，，， 则由正弦定理可得， 由于，故，故有一解； （4）因为，，， 则由正弦定理可得， 因为，故，而，则或， 故有两解； （5），，， 则由正弦定理可得， 故无解. 【跟踪训练】 1．在中，，，，则三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不确定 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】由正弦定理得：， 又，有，满足条件的有两个. 故选：B 2. 在中，已知，，，解这个三角形．（提示，） 【答案】答案见解析 【分析】由正弦定理可得，可求，进而分类讨论可求，. 【详解】在中，由正弦定理可得，， ，或． 当时，，由正弦定理得； 当时，，由正弦定理得． ，，或，，． 3. 下列三角形是否有解？有解的作出解答. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）无解；（2）一解，； （3）两解，或. 【分析】（1）由，得到，结合，可判定无解； （2）由，结合，可判定只有一解，结合正弦定理，即可求解； （3）由，结合且，可判定两解，利用正弦定理，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由，可得，所以， 又由，所以这样的三角形无解. （2）由，可得，所以， 又由，所以这样的三角形只有一解. 由正弦定理，可得，所以， 所以， 所以. （3）由，可得， 又由，且，所以， 所以这样的三角形有两解； 由正弦定理可得，所以或， 当时，，； 当时，，， 所以或. 题型03：正弦定理边角互化应用 【例4】设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则 ． 【答案】 【分析】先利用正弦定理将已知等式进行边化角，再利用两角和差公式和诱导公式即可得解. 【详解】因为，所以由正弦定理可得：，即，因为，所以，所以． 故答案为：. 【跟踪训练】 1．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到答案. 【详解】根据正弦定理，得. 故选：A 2．在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到，即可求解. 【详解】由，得到，又是锐角三角形， 所以，则，得到， 故选：A. 3.在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果. 【详解】，由正弦定理得， ， ，即， ，，， ，，. 故选：A. 4.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式得，又即可求，进而得. 【详解】由有，由正弦定理有， 又， 所以，又为的内角，所以，即， 又由，所以， 又，所以，所以. 故选：C. 题型04：正弦定理判断三角形形状 【例5】的内角，，的对边分别为，，，若，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为，所以． 在中，， 故， 因为，所以． 因为，所以，故为直角三角形． 故选：C. 【跟踪训练】 1.（1）若，则是 三角形； （2）若，则是 三角形． 【答案】 等腰 等腰或直角 【分析】先应用正弦定理边角互换，再结合两角差正弦公式及二倍角公式计算求解即可. 【详解】由正弦定理，得． 又，所以，所以， 所以， 即，故． 因为A，B是三角形内角，所以，则，故是等腰三角形． 由正弦定理，得． 又，所以，所以， 所以， 所以，即． 因为A，B为三角形内角，所以或， 得或，故是等腰三角形或直角三角形． 2.在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 3.在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由求出，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得. 因为，所以，所以，又， 所以或， 又因为，所以，故为等边三角形. 故选：C 题型05：三角形面积公式的应用 【例6】在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接根据三角形的面积公式计算即可. 【解答过程】依题意，在中，，，， 则的面积为. 故选：C. 【例7】在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【解答过程】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 【跟踪训练】 1.在三角形ABC中，已知，则三角形面积 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、求15°等特殊角的正弦 【分析】先利用正弦定理求出，在利用求出，最后通过三角形的面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得， ， ， . 故答案为：. 2.在中，已知，，，则 . 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】由已知，利用三角形的面积公式，即可求得. 【详解】因为在中，已知，，， 所以， 解得. 故答案为: . 3.在中，已知，，．求b、c和面积S．（结果精确到0.01） 【答案】答案见解析 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据正弦定理求出边长，再应用面积公式求出面积即可. 【详解】在中，,所以; ,所以; 题型06：求三角形的外接圆半径 【例8】（1）已知，，，求的外接圆半径； （2）已知，的外接圆半径R＝1，求b． 【答案】（1）1；（2）1 【分析】（1）先求出角C，利用正弦定理求出外接圆半径；（2）利用正弦定理求解. 【详解】（1），由正弦定理得：，所以的外接圆半径； （2）由正弦定理得：，即. 【跟踪训练】 1.在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先由题设求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为. 故选：D 2．已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由正弦定理即可得解. 【详解】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 3.已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】由正弦定理即可得解. 【解答过程】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 4.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求出外接圆直径. 【解答过程】设外接圆的半径为，则， 即外接圆的直径为． 故选：B． 5.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 题型07：正弦定理解三角综合 【例9】在中，，，其面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理得，结合正弦定理即可求解. 【详解】由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得： ， 故选：C. 【跟踪训练】 1.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，. (1)求角C； (2)若的周长为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得出，进而求出角，得出角； （2）由正弦定理求出，再结合周长即可求出. 【详解】（1）由以及正弦定理可得，， 又， 所以， 即， 又，所以，则， 因为，所以， 因为，所以， 又，则，则； （2）， 由（1）以及由正弦定理可得，，即， 则， 则的周长为，得. 2.已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. (1)求的外接圆半径； (2)若，，且为锐角，求边上的高. 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理可得答案； （2）先求，再利用等面积法得出高与的关系可求答案. 【详解】（1）设的外接圆半径为.由三角形面积公式有， 故， 则. 又， 故，即.故的外接圆半径为7. （2）设在边上的高为，由（1）可得，， 因为，所以.因为为锐角，所以必为锐角. 从而， 且， 由面积公式， 得， ， 所以边上高的长. 1、 选择题 1.在中，已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理边化角求解即得. 【解答过程】在中，由，得， 由正弦定理得. 故选：D. 2.在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用正弦定理直接求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 3.在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【解答过程】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C. 4.的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理可求出的值. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，可得. 故选：B. 5.在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误. 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 6.在中，内角所对的边分别为，若，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】将切化弦，再结合正弦定理得到，进而有，即可判断. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得 ∴， ∵，∴， 所以是等腰三角形 故选：A. 7．在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据面积可求，再根据余弦定理可求，最后根据正弦定理求出外接圆半径. 【详解】由题设有，故，故， 由余弦定理可得， 故，故三角形外接圆的半径为， 故选：B. 二、填空题 8.在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是 【答案】； 【解析】由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5； 9.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝ 【答案】； 【解析】在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝； 10.在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于 【答案】； 【解析】 由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝； 11.在中，，，，则________ 【解答过程】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 12.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 . 【答案】2； 【解析】在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝， 解得sin B＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°， 所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2； 13.在中，角、、的对边分别为、、.已知，则________ 【解题思路】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【解答过程】因为，由正弦定理可得， 因为、，故，所以， 可得，故. 14.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则_______ 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题设，由正弦定理及两角和的正弦公式化简可求得，进而求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理，得， 则， 则， 在中，，则，即， 又，所以，则. 故答案为：. 16.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题设，由正弦定理及两角和的正弦公式化简可求得，进而求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理，得， 则， 则， 在中，，则，即， 又，所以，则. 故答案为：. 3、 解答题 17.已知b＝10，c＝5，C＝60°，解三角形． 【解析】∵sin B＝＝＝，且b<c，C＝60°. ∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°. ∴a＝＝＝＝5(＋1). 18.中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求边、的长度； (2)求的面积及其外接圆半径. 【答案】(1) (2)；4 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)根据三角形内角和定理得出，然后利用正弦定理即可求解； (2)利用三角形面积公式和正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，， 由正弦定理得：，也即， 所以； （2）由三角形的面积公式可得：的面积， 由正弦定理可得：外接圆半径. 19.设分别是的三个内角所对的边，且， (1)求； (2)时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解； （2）由正弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】（1）在中，，故， 因为，所以由正弦定理可知， 由大边对大角可得，故， 所以. （2）时，由正弦定理可得，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $