专题6.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2） （5大知识点+10大题型+强化训练） 寒假班预修提升讲义-2025-2026学年高一数学沪教版

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2） 知识点一、核心公式（必须熟记） 1. 两角和与差的余弦公式 2. 两角和与差的正弦公式 3. 两角和与差的正切公式 推导逻辑：以两角差的余弦公式为基础（可通过单位圆或向量推导），利用诱导公式（如）推导出正弦公式，再由推导出正切公式。 知识点二、公式的变形与逆用 1. 余弦公式的逆用与变形 （积化和差，不要求记忆，但需会推导） （积化和差） 用途：化简含三角函数乘积的式子，如可通过积化和差逐步化简。* 2. 正弦公式的逆用 （积化和差） （积化和差） 用途：与正弦相关的乘积式化简，如可转化为和角形式。* 3. 正切公式的变形 用途：已知和时，求，或化简含与的表达式。 知识点三、辅助角公式（正弦型合一） ，其中（的象限由符号确定）。 推导：利用，对比系数得，。* 用途：将形如的式子化为单一正弦函数，便于求最值、周期等。* 知识点四、角的拆分技巧（“凑角”法） ， 用途：已知的三角函数值，求或的三角函数值（如）。 题型01：公式的基本应用 【例1】1.计算：_______ 2．________ 3．_______ 【例2】已知，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 【例3】求的值 【跟踪训练】 1．利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 2.求值：（1） 题型02：应用公式化简与求值 【例4】（1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 【跟踪训练】 1.已知，，，．求和的值，并判断是第几象限的角． 2.已知，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型03：应用公式证明三角恒等式 【例5】证明：. 【跟踪训练】 1.已知 求证tan=3tan(+) 2.求证：。 题型04：正切三角恒等式 【方法点拨】三角正切恒等式体现一三角形中角之间的等量关系，结论非常具有特色“三数和”等于“三数积”。 【例5】若△不是直角三角形，求证：. 【例6】为△的内角，△不为直角三角形.若，求角的大小． 【跟踪训练】 1.在锐角△中，求证：。 2.在△中，若，试判断△的形状； 3.在锐角三角形中，若，则的最小值是 4.在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　) A. B. C. D. 题型05：角或图形旋转求点的坐标 【例7】已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.求点的坐标. 【跟踪训练】 1.已知角､角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点， 以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点， x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是； （1）求cos(α－β)的值； （2）求2α－β的值； 题型06：辅助角公式 【例8】把下列各式化为的形式： （1）；（2）；（3）. 【例9】计算求值： 【跟踪训练】 1.把下列各式化成的形式： （1）；（2）． 2.把下列各式化为的形式： （1）；（2）；（3）。 3若存在角，使，求实数的取值范围． 题型07：角的简单变换问题 【说明】三角变换的方法： （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； 【例10】已知，则＝（ ） A． B． C． D． 【例11】已知，都是锐角，，，求的值. 【跟踪训练】 1.若，，则______. 2.已知，求。 3.已知，求的值. 题型08：两角和与差的正弦、余弦、正切公式与命题知识的交汇 【例12】已知，关于等式，以下两个命题： ①对任意的，总存在，使得等式成立； ②对任意的，总存在，使得等式成立. 则下列判断正确的是（   ） A．①与②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确 【跟踪训练】 1.已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，是方程（）的两根，有以下四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：； 如果只有一个假命题，则该命题是______ 一、选择题 1．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，则（    ） A．9 B． C．8 D． 3.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，下列判断中错误的是（ ） A. 当，时，满足，且为第一象限角； B. 当，时，满足，且为第四象限角； C. 当，时，满足，且为第二象限角； D. 当，时，满足，且为第三象限角. 4．已知角的终边均不在坐标轴上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．计算（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，是第三象限角，则 ． 7．已知 ． 8． ． 9.若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 10.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 11．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，则的取值范围是 ． 12．求的值. 3、 解答题 13．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 14.利用辅助角公式讲下列式子化成的形式 （1） （2） （3） （4） （5） 15.已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值． 16.已知非零常数a、b满足=tan，求． 17.已知，sin（－α）=，求的值． 18．已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 19．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题6.2.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2） 知识点一、核心公式（必须熟记） 1. 两角和与差的余弦公式 2. 两角和与差的正弦公式 3. 两角和与差的正切公式 推导逻辑：以两角差的余弦公式为基础（可通过单位圆或向量推导），利用诱导公式（如）推导出正弦公式，再由推导出正切公式。 知识点二、公式的变形与逆用 1. 余弦公式的逆用与变形 （积化和差，不要求记忆，但需会推导） （积化和差） 用途：化简含三角函数乘积的式子，如可通过积化和差逐步化简。* 2. 正弦公式的逆用 （积化和差） （积化和差） 用途：与正弦相关的乘积式化简，如可转化为和角形式。* 3. 正切公式的变形 用途：已知和时，求，或化简含与的表达式。 知识点三、辅助角公式（正弦型合一） ，其中（的象限由符号确定）。 推导：利用，对比系数得，。* 用途：将形如的式子化为单一正弦函数，便于求最值、周期等。* 知识点四、角的拆分技巧（“凑角”法） ， 用途：已知的三角函数值，求或的三角函数值（如）。 题型01：公式的基本应用 【例1】1.计算：_________ 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式五、六、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由和诱导公式结合两角差的正弦公式即可计算求解. 【详解】 . 2．________ 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角的正弦求解. 【详解】. 3．_______ 【分析】根据两角和的正切公式化简即可． 【详解】因为， 所以， 所以 ， 【例2】已知，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】由两角差的正切公式求解即可. 【详解】已知，解得. 故选：B. 【例3】求的值 解：原式= = 【跟踪训练】 1．利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式求解即可. （2）利用两角和的余弦公式求解即可. （3）利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1）由题意可得. （2）由题意可得. （3）由题意可得. 2.求值：（1） 答案：（1）（2） 题型02：应用公式化简与求值 【例4】（1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据同角关系以及余弦的和差角公式求解， （2）根据同角关系以及正弦的和角公式即可求解. 【详解】（1）由，可得， 由，可得，则， ， （2）由，可得， 由，则， ， 由于，故 【跟踪训练】 1.已知，，，．求和的值，并判断是第几象限的角． 【答案】，，是第二象限角. 2.已知，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】利用同角三角函数的平方关系结合求解． 【详解】因为，，所以， 又，则，， 又，所以， 所以， ， 故选：D. 3．已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 题型03：应用公式证明三角恒等式 【例5】证明：. 【证明】左边 =右边 【跟踪训练】 1.已知 求证tan=3tan(+) 【证明】由题设： 即 ∴ 2.求证：。 【提示】注意：角之间的联系；如等 【证明】因为，由 ； 所以，等式成立； 题型04：正切三角恒等式 【方法点拨】三角正切恒等式体现一三角形中角之间的等量关系，结论非常具有特色“三数和”等于“三数积”。 【例5】若△不是直角三角形，求证：. 解： 【例6】为△的内角，△不为直角三角形.若，求角的大小． 解： ，所有. 【跟踪训练】 1.在锐角△中，求证：。 解析：在△中，内角和，则有， 左边 右边，所以原式成立； 2.在△中，若，试判断△的形状； 解析：由已知、、都不等于，且可以推得：， 再由已知，经转化，得， 若三角形有一个为钝角，必有一个值为负值，， 若三角形有一个为直角，则无意义， 所以，由推得三个角都为锐角，则△为锐角三角形； 3.在锐角三角形中，若，则的最小值是 【答案】8； 解析：由， 又利用； 两者结合，得 即，其中，等号当且仅当时， 即，且时成立； 4.在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B； 【解析】因为，∠C＝120°，所以，∠A＋∠B＝60°，所以，tan(A＋B)＝＝， 则，tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝，解得tan A·tan B＝；故选B； 题型05：角或图形旋转求点的坐标 【例7】已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.求点的坐标. 解：设以轴正半轴为始边、为终边的角为. 由点，可得，，. 设点的坐标为，由，得 =，. 于是，点的坐标为. 【跟踪训练】 1.已知角､角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则 【答案】 【解析】因为绕原点顺时针旋转后与重合，所以可令， 因为且的终边在第四象限，所以为第一象限角，所以，所以. 【说明】解决本题的关键是能够根据及的终边在第四象限判断出为第一象限角. 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点， 以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点， x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是； （1）求cos(α－β)的值； （2）求2α－β的值； 【解析】（1）由题意知，OA＝OM＝1，因为S△OAM＝OA·OMsin α＝，所以sin α＝， 又α为锐角，所以cos α＝； 因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－. （2）因为sin α＝，cos α＝，cos(α－β)＝－， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－， 所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－， 因为α为锐角，sin α＝>， 所以α∈，所以2α∈， 又β∈，所以2α－β∈，所以2α－β＝－； 题型06：辅助角公式 【例8】把下列各式化为的形式： （1）；（2）；（3）. 解：（1） （2） ； （3）. 【例9】计算求值： 【详解】解：（1）； 【跟踪训练】 1.把下列各式化成的形式： （1）；（2）． 解：（1）；（2） 2.把下列各式化为的形式： （1）；（2）；（3）。 【解析】（1） （2） 。 （3）。 3若存在角，使，求实数的取值范围． 【答案】 题型07：角的简单变换问题 【说明】三角变换的方法： （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； 【例10】已知，则＝（ ） A． B． C． D． 【提示】注意：的分角特点； 【答案】D 【解析】方法1、由； 方法2、； 故选D； 【例11】已知，都是锐角，，，求的值. 【答案】， 【跟踪训练】 1.若，，则______. 【提示】先由和可得到， 根据计算即可 【答案】 【解析】因为，，所以，； 因为， ,，所以， 故答案为； 2.已知，求。 解：提示：，则 答案： 3.已知，求的值. 答案：， 题型08：两角和与差的正弦、余弦、正切公式与命题知识的交汇 【例12】已知，关于等式，以下两个命题： ①对任意的，总存在，使得等式成立； ②对任意的，总存在，使得等式成立. 则下列判断正确的是（   ） A．①与②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确 【答案】B 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值，举例判断即可. 【解析】①任意的，当时，， ，满足，故①正确； ②当时，，， 则不存在，使得等式成立，故②不正确. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意得到与的范围，再利用正余弦函数的和差公式，对选项逐一进行化简，从而利用正余弦函数的性质即可判断. 【解析】因为、是不同的两个锐角，即， 所以，， 对于A，因为， 所以一定成立，故A错误； 对于D，可能成立，故D错误； 对于B，因为， 所以恒成立， 即一定不成立，故B正确； 对于C，可能成立，故C错误. 故选：B. 2.已知，是方程（）的两根，有以下四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：； 如果只有一个假命题，则该命题是______ 【答案】乙； 【解析】因为，是方程（）的两根，所以， 则丙：；是：真命题； 丁：；是：真命题； 若甲乙都是真命题，则， 所以， ，不符合“只有一个假命题”； 两个假命题，与题意不符； 所以甲，乙一真一假； 假设甲是假命题，由丙和丁得， 所以，即，所以，与乙不符，假设不成立； 假设乙是假命题，由丙和丁得，又，所以，即与甲相符，假设成立； 故假命题是乙，故答案为：乙； 一、选择题 1．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 2．在中，，，则（    ） A．9 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】由，， 得， 又，代入可得， 所以，即得. 故选：A. 3.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，下列判断中错误的是（ ） A. 当，时，满足，且为第一象限角； B. 当，时，满足，且为第四象限角； C. 当，时，满足，且为第二象限角； D. 当，时，满足，且为第三象限角. 【答案】B 4．已知角的终边均不在坐标轴上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴， 即， ∵角的终边均不在坐标轴上，∴， 则，∴， ∴，∴，A选项错误； ，不为定值，B选项错误； 不为定值，C选项错误； ，D选项正确. 故选：D. 二、填空题 5．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得： . 故选：A. 6．已知，，，是第三象限角，则 ． 【答案】 【详解】由，，则， 由，是第三象限角，则， 所以. 故答案为；. 7．已知 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 8． ． 【答案】/ 【详解】. 故答案为：. 9.若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式求出点的坐标是. 【解析】设点所在角的终边为，所以点所在角的终边为， 易知， 可得， 所以点的坐标为，即. 故答案为： 10.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【解析】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 11．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合辅助角公式，化简得到，利用正弦函数的性质，即可求解. 【解析】由，可得， 因为，可得， 所以. 故答案为：. 12．求的值. 【答案】. 【分析】先通过切化弦公式将三角函数名化为正弦余弦，再通过辅助角公式及诱导公式得到. 【详解】 故的值为. 3、 解答题 13．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义的，再利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【解析】（1）解：因为点的横坐标分别为， 由三角函数的定义，可得， 因为角为锐角，可得， 则. （2）解：由（1）知，且， 可得，所以. 14.利用辅助角公式讲下列式子化成的形式 （1） （2） （3） （4） （5） 解析：答案略 主要目的是让学生理解辅助角公式的应用，为以后的学习做好铺垫。老师注意指导关于角的值的由来。 还可以把上述各式转换成的形式。 15.已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值． 解：∵＜＜，∴＜+＜． 又（+）=－，∴（+）=． ∵0＜＜，∴＜+＜． 又（+）=，∴（+）=－， ∴==［（+）+（+）］ =－［（+）（+）+（+）（+）］ =－［×（－）－×］=． 16.已知非零常数a、b满足=tan，求． 解：由于，则． 整理，有==． 17.已知，sin（－α）=，求的值． 解：（+）=［－（－）］=（－）=， 又由于0＜＜，则0＜－＜，＜+＜． 所以（－）=，． 因此==． 18．已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）由，，得. （2）由，得. （3）由，，得，由（1）知， 则，，， 所以. 19．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以 ． （2）方法一：因为，且， 可知，则， 可得， ． 因为，则， ， 因为，所以解得，， 所以， 由，可得， 所以． 方法二：，且， 可得，， 则． 又因为，解得， 可得． 由，可得， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $