专题9.1.1 复数的引入与复数的四则运算（4大知识点+7大题型+强化训练）提升讲义-2025-2026学年高一数学寒假班预修（沪教版必修第二册)

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题9.1.1 复数的引入与复数的四则运算 知识点一、虚数单位及其规定 （1）虚数单位：它的平方等于，即. （2）虚数单位可以与实数进行加、乘运算：当时， 比如：，，并规定虚数单位与实数间的乘法满足交换律； 化简归纳得到，形如：的数； 【注意】引进虚数单位后，我们得到了所有负数的平方根； 知识点二、复数的概念与复数相等 1、复数的概念：形如的数叫复数， 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示， 即：； 2、复数相等 （1）复数且； （2）复数且； 【注意】1、如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说 这两个复数相等；2、一般地，两个复数只能说相等或不相等， 而不能比较大小，只有当两个复数全是实数时才能比较大小； 知识点三、复数的四则运算与运算律 1、设，则 ①加减：； ②乘法：； ③除法：； 【注意】1、复数加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)‘’ 2、复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 ①交换律：z1·z2＝z2·z1；②结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； ③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3； 3、若复数； 1、； 2、； 3、；； 知识点四、复数运算的常用技巧 1、复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. 2、常用公式 ； ； . 题型一、虚数单位i及其性质 【例1】若i为虚数单位，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 【跟踪训练】 1.计算 ．（为虚数单位) 2.设是虚数单位，则的值为______ 3.若是虚数单位，当时，的所有可能的取值组成的集合为 . 4.若且，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型二、复数相等的充要条件 【例2】实数x，y满足，且，则的值是 . 【例3】若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于 【跟踪训练】 1.若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为 2.已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________． 3.复数，且，则（　　　） A． B． C． D．2 题型三、复数的加、减运算 【例4】计算： (1)； (2)； (3). 【跟踪训练】 1.计算： ． 2.若复数满足，则 . 3.若，则等于（    ） A． B． C． D． 4.计算： (1) (2) (3) 题型四、复数的乘法运算 【例5】已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【例6】复数， 则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若，则（    ） A． B． C． D． 2.复数， 则（    ） A． B． C． D． 3.计算： (1)；(2). （3）． 题型五、复数的除法运算 【例7】计算：（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知（），则复数________ 2.已知，若，其中为虚数单位，则 . 3.计算： (1)；(2)；(3)； 题型六、复数的乘方 【例8】已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 【例9】已知a，，i是虚数单位.若，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.计算： A．0 B．4 C．-4i D．4i 2.若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 3．已知复数，则 ． 4.已知，（i为虚数单位），则 ． 5.计算：. 题型七、综合提升 【例10】已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1） 若z1=0，求实数m的值； （2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围； 一、选择题 1.计算：（   ） A． B．0 C．2i D． 2.计算：（    ） A． B． C． D． 3.复数z满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 4.若则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5.已知是虚数单位，则 ． 6．若，，且，则 . 7． . 8．计算 （其中为虚数单位）． 9．已知复数满足，则 ． 10．计算： ． 11．计算： ． 12．已知i是虚数单位，则 ． 13．= . 14. a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为_______ 15.计算的值为_______ 16.已知复数，则________ 17.已知a，b均为实数，，则 . 3、 解答题 18.计算下列各题． (1)； (2)． 19.计算： (1)； (2)； (3)． 20．（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 21.已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题9.1.1 复数的引入与复数的四则运算 知识点一、虚数单位及其规定 （1）虚数单位：它的平方等于，即. （2）虚数单位可以与实数进行加、乘运算：当时， 比如：，，并规定虚数单位与实数间的乘法满足交换律； 化简归纳得到，形如：的数； 【注意】引进虚数单位后，我们得到了所有负数的平方根； 知识点二、复数的概念与复数相等 1、复数的概念：形如的数叫复数， 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示， 即：； 2、复数相等 （1）复数且； （2）复数且； 【注意】1、如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说 这两个复数相等；2、一般地，两个复数只能说相等或不相等， 而不能比较大小，只有当两个复数全是实数时才能比较大小； 知识点三、复数的四则运算与运算律 1、设，则 ①加减：； ②乘法：； ③除法：； 【注意】1、复数加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 ①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)‘’ 2、复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 ①交换律：z1·z2＝z2·z1；②结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； ③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3； 3、若复数； 1、； 2、； 3、；； 知识点四、复数运算的常用技巧 1、复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. 2、常用公式 ； ； . 题型一、虚数单位i及其性质 【例1】若i为虚数单位，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【解题思路】应用复数的乘方运算化简，即可得. 【解答过程】由 ，虚部为. 故选：A. 【跟踪训练】 1.计算 ．（为虚数单位) 【答案】 【分析】根据虚数单位的幂运算的周期性进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 2.设是虚数单位，则的值为______ 【分析】利用的周期性求解，连续4项的和为0. 【详解】，的取值周期为4，连续4项的和为0，所以， 3.若是虚数单位，当时，的所有可能的取值组成的集合为 . 【答案】 【分析】因为对不同的自然数有四种不同的答案,对的取值进行讨论即可求解 【详解】当 时, ; 当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 所以, 当 时, 所有可能的取值为， ， 故答案为： 4.若且，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先化简，结合可得选项. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以； 故选：B. 题型二、复数相等的充要条件 【例2】实数x，y满足，且，则的值是 . 【答案】1 【解析】. 因为， 所以，解得 所以. 故答案为：. 【例3】若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于 【提示】注意：复数一般不能比较大小； 【答案】－3； 【解析】因为，z<0，所以，所以，m＝－3； 【说明】本题考查了复数相等的充要条件的拓展； 【跟踪训练】 1.若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为 【答案】－4； 【解析】由复数相等的条件得∴a＝－4； 【说明】利用复数数相等的充要条件；基本要求是：等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式； 2.已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________． 【答案】－1 ； 【解析】由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而解得m＝－1． 3.复数，且，则（　　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【详解】化简，因为，所以  ，故选C. 【 思路点晴】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误， 本题根据复数的乘法、除法的运算法则和的性质化简，最后再根据求出的值. 题型三、复数的加、减运算 【例4】计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的四则运算法则求解即可. （2）利用复数的四则运算法则求解即可. （3）利用复数的四则运算法则求解即可. 【详解】（1） . （2） . （3） . 【跟踪训练】 1.计算： ． 【答案】 【解析】, 故答案为：. 2.若复数满足，则 . 【答案】 【解析】. 故答案为：. 3.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】设复数，利用复数的加减运算法则，解出a，b，即可得z. 【详解】设， 则，所以，得， 所以. 故选：B. 4.计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由复数的加减运算，可得答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. 题型四、复数的乘法运算 【例5】已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的四则运算求解即可. 【详解】已知为虚数单位，则, 故选：D 【例6】复数， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简复数，即可得出结论. 【详解】由题意， ， 故选：D. 【跟踪训练】 1.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数乘法运算求解判断. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2.复数， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简复数，即可得出结论. 【解答过程】由题意， ， 故选：D. 3.计算： (1)； (2). （3）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的加减法运算律计算求解； （2）根据复数的乘法运算律计算求解； 【详解】（1） （2） （3）原式. 题型五、复数的除法运算 【例7】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出结果. 【详解】. 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知（），则复数________ 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解. 【详解】∵且，则，， ∴. 2.已知，若，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 3.计算： (1)；(2)；(3)； 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】(1)原式. （2）； （3） ； 题型六、复数的乘方 【例8】已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数乘法规则依次计算即可得解. 【详解】由题可得， 所以. 故选：A 【例9】已知a，，i是虚数单位.若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的乘方、复数的相等 【分析】利用复数相等求出a，b，再借助复数平方运算计算作答. 【详解】因，a，，则有， 所以. 故选：B 【跟踪训练】 1.计算： A．0 B．4 C．-4i D．4i 【答案】D 【分析】根据复数的运算即可. 【详解】. 故选：D. 2.若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由立方差公式得到，从而得到. 【详解】因为，所以， 故， 因为，所以， 故选：B 3．已知复数，则 ． 【答案】 【分析】首先根据和的计算，发现的计算周期，即可求解. 【详解】复数 所以 ，所以， 所以的周期为3， 由，所以， 故答案为： 4.已知，（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】利用复数的运算法则，化简得到，根据复数相等的充要条件，求得的值，即可求解. 【详解】由，可得，所以. 故答案为：. 5.计算：. 【答案】1 【分析】利用复数的除法运算、乘方运算可得答案；. 【详解】. 题型七、综合提升 【例10】已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1）若z1=0，求实数m的值； （2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围； 【提示】注意：用好复数相等的充要条件求解； 【解析】（1）由z1＝0，则，解得m＝－2. （2）由z1＝z2，得，所以，λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3. 又因为－1≤sin θ≤1，所以，当sin θ＝1时，λmin＝2，当sin θ＝－1时，λmax＝6， 则，实数λ的取值范围是[2，6]； 【说明】本题考查了复数相等的充要条件与三角变换、三角函数有界性的交汇； 一、选择题 1.计算：（   ） A． B．0 C．2i D． 【答案】D 【解题思路】由复数乘方运算即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 2.计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复数的除法与复数的乘方化简可得结果. 【解答过程】因为，故. 故选：D. 3.复数z满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则计算. 【详解】由得， 故选：A. 4.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法及除法计算求解. 【详解】因为 所以，即得， 所以. 故选：C. 二、填空题 5.已知是虚数单位，则 ． 【答案】0 【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 故答案为：. 6．若，，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用复数代数形式的加法运算可得答案. 【解析】若，，且， 则，可得. 故答案为：. 7． . 【答案】 【解析】原式. 故答案为： 8．计算 （其中为虚数单位）． 【答案】/ 【分析】把复数应用乘法化简即可. 【解析】. 故答案为： 9．已知复数满足，则 ． 【答案】 【分析】利用复数的乘法运算法则即可求解． 【解析】， ， ， 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【解析】. 故答案为：. 11．计算： ． 【答案】 【分析】利用复数的乘除法运算法则计算即可. 【解析】． 故答案为：. 12．已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】由复数的运算代入计算，即可得到结果. 【解析】由的周期性可得， ， 故答案为： 13．= . 【答案】 【分析】根据的周期性进行求值计算. 【解析】观察原式 ． 故答案为： 14. a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为_______ 【解析】因为z1＝2＋bi，z2＝a＋i ，所以，z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i； 15.计算的值为_______ 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得. 【详解】 16.已知复数，则________ 【分析】根据复数的除法与加法运算计算即可. 【详解】因为 所以. 17.已知a，b均为实数，，则 . 【答案】21 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 3、 解答题 18.计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的加减法运算可得答案； （2）利用复数的加减法运算可得答案． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 19.计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【详解】（1）原式． （2） =. （3） ． 20．（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 【答案】（1）；（2）；（3）或1，或2. 【分析】（1）利用复数加减运算法则计算出答案； （2）利用复数相等的条件得到方程组，求出答案； （3）利用复数相等的条件得到方程组，求出答案. 【详解】（1）； （2），故，解得， （3），故， 解得或1，或2. 21.已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的乘方法则和除法法则求解即可. （2）根据复数相等列方程求解即可. 【详解】（1）. （2），则， 解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $