9.1复数及其四则运算（第1课时）（教学课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 9 章 复数 9.1复数及其四则运算（第1课时） 1 　 实系数一元二次方程并不是总有实数解的，这是因为在实数范围内负数不能进行开平方运算．在数学的发展史上有一件有意思的事：数学家在研究三次方程求解的过程中，即使最终得到实根，过程中却常常要对一些负数开平方，遇到了难以自圆其说的尴尬．于是，一种被称作为“虚数”的新数于１６世纪开始被引入了数学．实数与虚数合称为复数． 复数是人类理性思维的演绎成果，它的产生首先是因为数学家解决数学自身问题的需要，在很长的一段时间内，人们并不清楚它与 现实世界到底有怎样的联系．后来，数学家建立了复数与向量，即复数与几何的关联，在大学学习力学和电磁学时，会看到复数在其中的重要作用，复数在数学及其他科学领域中也越来越体现出它的重要性．现在，复数已经成为数学工作者与许多领域的科技人员熟练掌握并广泛应用的基本数学工具． １ 复数的引入与复数的四则运算 为了解决负数的开平方问题，数学家引入了一个不同于实数 的新数ｉ，称为虚数单位（imaginaryunit），并规定 即规定ｉ是－１的一个平方根．更一般地，把任意b∈R与虚数单 位ｉ的乘积记为bi，并规定虚数单位与实数间的乘法满足交换律 与结合律．对于bi，我们有， 即bi是－b2的一个平方根．只要b≠０，－b２ 就是一个负数，而 且任何负数都具有这个形式．因此，引进虚数单位后，我们得到 了所有负数的平方根 一个实数a可以与形如bｉ（b∈R ）的数相加，规定把它们的 和用实系数二项式的形式表示成a＋bi． 定义 形如a＋bi（a、b∈R）的数称为一个复数（complex number）， 全体复数构成的集合用字母C表示． 我们约定： （１）复数 且b＝０； （２）复数 且b＝d． 在前面规定的实数与虚数单位之间的乘法以及实数与bi形 式的复数的加法基础上，可以定义两个复数之间的加法、减法和 乘法 两个复数的相加或相减，按多项式相加或相减，再进行去括 号与合并同类项．因此，我们有如下的公式： 这样，我们得到了如下复数乘法的公式： 复数加法与乘法满足交换律、结合律与乘法对加法的分 配律． 虽然这里列出了复数加法、减法和乘法的公式，但在实际计 算中，其实不必硬记并套用公式，用多项式运算的方式直接解题 也是非常简洁的． 例１ 计算： 下面讨论复数系中的除法运算． 就像在实数系中一样，复数系中的除法也是作为乘法的逆运 算定义的．复数 除以非零复数 R），就是求一个复数 使得 为了找出 x＋yi，我们把上式两边同乘c－di，得到 即 由于c＋di是一个非零复数，实数 从而可以在等式 两边同乘 得到 下一步，我们用复数乘法公式不难验证求出的 x＋yi确实满 足（c＋di）（x＋yi）＝a＋bi（留作习题）．这就证明了x＋yi的存 在性及唯一性．因此，在复数系中可以做除法，且如果把 a＋ bi 除以c＋di的商以分式形式记为 就有如下复数除法公式： 与做复数的加减法及乘法类似，同学们并不需要死记这个除 法公式，实际要做的只是化简分式 ．我们可以把分子与分 母同乘c－di后再化简整理，即得 例２ 计算： 我们还约定若干个相同复数相乘可以写成幂的形式：对任意复 数 与任何正整数n，（a＋bi）n 表示a个＋bi相乘．