精品解析：宁夏回族自治区固原市五原中学　2025-2026学年上学期九年级期中检测数学试卷

五原中学2025—2026学年初三年级第一学期 期中考试数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列新能源汽车标识属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ） A. 以点为圆心 B. 以长为半径 C. 以点为圆心，长为半径 D. 以上都不对 3. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 4. 如图，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 7. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，点E在边上，，，连接，点P在线段上，过点P作交于点Q，连接．设，的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（　　）． A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 10. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 11. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围为______． 12. 如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____． 13. 如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水位下降1米时，水面宽度为______米（结果保留根号） 14. 如图，AB是的直径，弦，点在圆上且，则直径______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，作轴于点B，将绕点B顺时针旋转得到，若点B的坐标为，则点C的坐标是_________． 16. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有______． 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为 ，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 （1）嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______． （2）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴 19. 如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形），和关于点成中心对称． （1）画出对称中心，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母； （3）画出与关于点成中心对称的并标明对应字母． 20. 已知：如图，、、、是上的点，． 求证：． 21. 某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． （1）求这两天收到捐款的平均增长率． （2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 22. 如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为， （1）求证：线段为的直径； （2）求圆心的坐标． 四、解答题（本题共4题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求的长度． （2）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五原中学2025—2026学年初三年级第一学期 期中考试数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列新能源汽车标识属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 2. 下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ） A. 以点为圆心 B. 以长为半径 C. 以点为圆心，长为半径 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 3. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴． 4. 如图，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 根据因式分解法解一元二次方程，然后利用面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴两根分别为和， 即两直角边长为2和3， ∴面积， 故选：D 6. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：A． 7. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆周角定理得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点所对应的读数为， ， 为直径，， 点在上， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系． 8. 如图，在矩形中，，点E在边上，，，连接，点P在线段上，过点P作交于点Q，连接．设，的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质结合等腰直角三角形的判定和性质可得出，再根据平行线的性质结合等腰三角形的判定和性质即得出．求出底边上的高，即求点Q到的距离，结合三角形面积公式即得出y与x函数关系，最后由二次函数的图象和性质即得出答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵是等腰直角三角形， ∴点Q到的距离，即为底边上的高， ∴， 即y与x函数关系为二次函数，且顶点为． 故选C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，二次函数的图象和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数． 10. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根, ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的概念，理解概念正确代入计算是解题关键． 11. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．将问题转化为关于的方程有实数根，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，即二次方程 有实数根． 其中 , , ． ∴． 解得 ． 故答案为 ． 12. 如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____． 【答案】##144度 【解析】 【分析】先求解 再利用圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理可得的大小. 【详解】解：∠DCE＝72°， 四边形ABCD是⊙O内接四边形， 故答案为： 【点睛】本题考查的是邻补角的含义，圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，熟练掌握圆中的圆周角定理与圆的内接四边形的性质是解本题的关键. 13. 如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水位下降1米时，水面宽度为______米（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意当水位下降1米时，求解时对应的x的值，然后即可得到的长，即水面宽度． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为， 设抛物线解析式， 将A点坐标代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴， 即水面宽度为米． 故答案为：． 14. 如图，AB是的直径，弦，点在圆上且，则直径______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明是等边三角形．连接，证明是等边三角形，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的直径． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，作轴于点B，将绕点B顺时针旋转得到，若点B的坐标为，则点C的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，一次函数与几何的综合应用，设交于点，先求出点坐标，进而求出的长，推出轴，得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而求出点坐标即可． 【详解】解：设交于点 ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵轴，， ∴点的横坐标为4， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 16. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握． 由，和坐标都满足函数，①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③是错误的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的；逐个判断之后，可得出答案． 【详解】解：①∵，和坐标都满足函数， ∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的； ③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③是错误的； ④函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的； ⑤从图象上看，当或，函数值要大于当时的， 因此⑤是不正确的； 故答案为：①②④ 三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． （1）根据提取公因式法解一元二次方程，进行求解即可； （2）根据十字相乘法解一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， 即或， 解得：，． 【小问2详解】 解： ， 即或， 解得：，． 18. 嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为 ，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 （1）嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______． （2）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴 【答案】（1）四， （2）顶点坐标为，对称轴为直线x＝1 【解析】 【分析】（1）根据计算可得出第四步中括号外符号错误，改正后即可直接得出顶点坐标； （2）用配方法求解即可． 【小问1详解】 嘉嘉的解法从第四步开始出现错误，应为， 故顶点坐标为． 故答案为：四，； 【小问2详解】 ∴顶点坐标为，对称轴为直线x＝1． 【点睛】本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质．熟练掌握配方法是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形），和关于点成中心对称． （1）画出对称中心，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母； （3）画出与关于点成中心对称的并标明对应字母． 【答案】（1） 点 （2）如图，画出； （3）如图，画出． 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称、旋转作图，解题的关键是熟练掌握中心对称和旋转的性质． （1）连接、，交点即为点； （2）分别作出点、、绕点逆时针旋转后的对应点，然后把对应点顺次连接即可得到； （3）分别作出点、、关于点成中心对称的对应点，然后把对应点顺次连接即可得到． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 20. 已知：如图，、、、是上的点，． 求证：． 【答案】 证明：， ， 即． ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理，证明即可得到结论，熟练掌握弧，弦，圆心角之间的关系是解题关键． 【详解】略 21. 某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． （1）求这两天收到捐款的平均增长率． （2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 【答案】（1） （2）1728元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去． （1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出其解即可． （2）根据（1）求出的增长率列式计算即可． 【小问1详解】 解：设捐款增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）． 答：捐款的平均增长率为． 【小问2详解】 根据题意得：（元）． 答：第四天初三年级能收到的捐款是元． 22. 如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为， （1）求证：线段为的直径； （2）求圆心的坐标． 【答案】（1） 证明：∵， ∴是的直径； （2） 【解析】 【分析】题目主要考查圆周角定理，垂径定理的性质，熟练掌握是解题关键． （1）由圆周角定理可直接证明； （2）根据题意得出，，过点作于点，过点作于点，再由垂径定理得出，，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴圆心的坐标为． 四、解答题（本题共4题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）求的长度． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，于是可证得是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）可知是等腰直角三角形，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解∵是旋转得到的，，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 由（1）可知，，，，是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识点，由旋转的性质得出是等腰直角三角形并证明是直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $