课时测评16 两角和与差的余弦-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评16　两角和与差的余弦 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝cos(20°＋10°)＝cos 30°＝.故选A． 2．计算cos cos ＋cos sin ＝(　　) A．0 B． C． D． 答案：C 解析：cos cos ＋cos sin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos＝cos ＝.故选C． 3．已知sin θ＝，θ是第二象限角，则cos的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为sin θ＝，θ是第二象限角，所以cos θ＝－＝－，cos＝cos θcos ＋sin θsin ＝－×＋×＝.故选B． 4．α，β都是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，所以sin(α＋β)＝＝；又sin α＝，所以cos α＝＝，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.故选B． 5．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝＝，因为0<β<α<，所以0<α－β<，又因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝＝，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，因为0<β<，所以β＝.故选C． 6．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°＝__________． 答案： 解析：原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°·cos(180°－33°)＝cos 27°cos 57°＋sin 27°·cos 33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°＝cos(57°－27°)＝cos 30°＝. 7．若cos θ＝－，θ是第三象限的角，则cos＝________． 答案： 解析：因为cos θ＝－，且θ是第三象限的角，所以sin θ＝－＝－，所以cos＝cos θcos －sin θsin ＝－×－×＝. 8．已知sin＝，<α<，则cos α＝__________． 答案： 解析：因为<α<，所以<＋α<，因为sin＝，所以cos＝－，所以cos α＝cos＝coscos ＋sinsin＝. 9．(17分)已知sin α＝－，α∈. (1)求cos的值；(7分) (2)若sin(α＋β)＝－，β∈，求cos β的值．(10分) 解：(1)因为sin α＝－，α∈， 所以cos α＝＝， 所以cos＝cos α－sin α＝(cos α－sin α)＝×＝. (2)因为sin(α＋β)＝－，β∈， 所以α＋β∈， 所以cos(α＋β)＝＝＝， 所以cos β＝cos(α＋β－α) ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝×＋×＝＝. 10．(17分)已知sin ＋cos ＝. (1)求sin α的值；(7分) (2)若sin(α－β)＝－，α，β∈，求cos β的值．(10分) 解：(1)因为sin ＋cos ＝， 两边同时平方得1＋2sin cos ＝， 则sin α＝. (2)因为<α<π，sin α＝，所以cos α＝－， 又<β<π， 所以－π<－β<－，故－<α－β<， 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝， cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－×＋×＝－. (11－13每小题5分，共15分) 11．在△ABC中，cos A＝且cos B＝，则cos C等于(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 解析：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C＝π－(A＋B)，又cos A＝，cos B＝，所以sin A＝，sin B＝，所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝·＋·＝.故选B． 12．(多选)下列满足sin αsin β＝－cos αcos β的有(　　) A．α＝β＝90° B．α＝－18°，β＝72° C．α＝130°，β＝40° D．α＝140°，β＝40° 答案：BC 解析：由sin αsin β＝－cos αcos β可得cos (α－β)＝0，因此α－β＝k·180°＋90°，k∈Z，B、C项符合． 13．(开放题)满足cos αcos β＝＋sin αsin β的一组α，β的值是________________． 答案：α＝0，β＝(答案不唯一) 解析：由cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝，所以α＋β＝2kπ＋或α＋β＝2kπ－，k∈Z，当α＝0，β＝时，α＋β＝，满足要求． 14.(5分)(新情境)古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus，公元前417－公元前369年)详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，…，如图所示，则cos ∠BAD＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：记∠BAC＝α，∠CAD＝β，由图知：sin α＝cos α＝，sin β＝，cos β＝，所以cos ∠BAD＝cos＝cos＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.故选B． 15．(6分)(新定义)人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作cos(A，B)，余弦距离为1－cos(A，B)．已知P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，R(cos α，－sin α)，若P，Q的余弦距离为，tan α·tan β＝，则Q，R的余弦距离为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由＝，＝，＝，得cos＝＝sin αsin β＋cos αcos β＝cos(α－β)，cos＝＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，由已知1－cos＝，可得cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝①，又因为tan αtan β＝＝②，联立①②可得sin αsin β＝，cos αcos β＝，因此Q，R的余弦距离为1－cos(α＋β)＝1－cos αcos β＋sin αsin β＝1－＋＝.故选A． 学科网（北京）股份有限公司 $