课时测评13 向量数量积的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评13　向量数量积的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．在等边三角形ABC中，向量，的夹角为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：根据两向量的夹角的定义，作＝，如图所示，则∠BAD为，的夹角．因为△ABC为等边三角形，所以∠BAD＝.故选D． 2．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于 (　　) A．－2 B．2 C．－2 D．2 答案：B 解析：由等腰直角三角形知|BC|＝|AC|＝，|AB|＝2，∠ABC＝45°，·＝||·||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.故选B． 3．在△ABC中，＝a，＝b，当a·b＜0时，△ABC为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案：C 解析：因为a·b＝||||cos〈，〉＜0，所以cos〈，〉＜0，所以〈，〉＞90°.故△ABC为钝角三角形．故选C． 4．已知|a|＝1，a与b的夹角为，则a在b上的投影的数量为(　　) A．1 B． C． D．－ 答案：B 解析：a在b上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝cos ＝.故选B． 5．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2.若点M，N分别是CD，BC的中点，则·＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 解析：由题意作出图形，如图所示： 由图及题意，可得，＝＋＝＋，＝－＝－＝－＋＝－＋．所以·＝·＝－·||2＋·||2＝－·4＋·16＝2.故选C． 6．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影的数量是________． 答案：1 解析：根据向量的投影数量的公式，可得b在a上的投影的数量等于|b|cos〈a，b〉＝2×＝1. 7．已知△ABC是边长为6的正三角形，求·＝________． 答案：－18 解析：由题意可得与的夹角为120°，且||＝||＝6，由数量积的定义可得·＝||×||×cos 120°＝6×6×＝－18. 8．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________________． 答案：等边三角形 解析：·＝||||cos ∠BAC， 即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝， 所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 9．(10分)根据以下条件，分别求a·b： (1)|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝60°；(2分) (2)|a|＝7，|b|＝12，〈a，b〉＝120°；(2分) (3)|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝；(3分) (4)|a|＝4，|b|＝1，〈a，b〉＝0.(3分) 解：(1)|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝60°， 所以a·b＝8×4×cos 60°＝16； (2)|a|＝7，|b|＝12，〈a，b〉＝120°， 所以a·b＝7×12×cos 120°＝－42； (3)|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝， 所以a·b＝4×2×cos ＝0； (4)|a|＝4，|b|＝1，〈a，b〉＝0， 所以a·b＝4×1×cos 0＝4. 10．(13分)已知a·b＝－9，a在b方向上的投影的数量为－3，b在a方向上的投影的数量为－，求〈a，b〉． 解：因为 所以 即所以 所以cos〈a，b〉＝＝＝－. 又因为0°≤〈a，b〉≤180°， 所以〈a，b〉＝120°. (11－13每小题5分，共15分) 11．若△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝0，则·＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 解析：由△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，则||＝||＝||＝1，因为3＋4＋5＝0，所以3＋5＝－4，所以(3＋5)2＝(－4)2，即9＋30·＋25＝16，所以·＝－，而＝＋，所以·(＋)＝－，即·＝－－||2＝－.故选A． 12．(多选)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a－b)·(2b－c)的值可能为(　　) A．－2 B．3－ C．0 D．－ 答案：ACD 解析：|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝，所以|b－a|＝＝1，则(a－b)·(2b－c)＝2a·b－a·c－2b2＋b·c＝1－2＋c·(b－a)＝－1＋cos α，其中α为c与b－a的夹角，且α∈[0，π]，因为cos α∈[－1，1]，所以cos α－1∈[－2，0]．故选ACD． 13．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________． 答案：－25 解析：因为||2＝||2＋||2，所以B＝90°，所以·＝0.因为cos C＝，cos A＝，所以·＝||·||cos(180°－C)＝4×5×＝－16.·＝||·||cos(180°－A)＝5× 3×＝－9.所以·＋·＋·＝－25. 14.(5分)如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则 ·的值为(　　) A．r B．2r C．1 D．2 答案：D 解析：作AB的中点H，连接CH(图略)，则向量在方向上的投影的数量为||＝||cos∠CAB，所以·＝||||cos∠CAB＝||·||＝2.故选D． 15．(17分)已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ.求θ的取值范围． 解：因为·＝||||cos θ＝6>0， 所以cos θ>0，所以θ为锐角，如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|＝|BC|sin θ. 由题意知，·＝||||cos θ＝6，① S＝|AB||CD|＝||||sin θ.② 由②÷①得＝tan θ， 即3tan θ＝S. 因为≤S≤3， 所以≤3tan θ≤3， 即≤tan θ≤1. 又因为θ为与的夹角，θ∈[0，π]， 所以θ∈. 学科网（北京）股份有限公司 $