单元检测卷(一) 三角函数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

单元检测卷(一)　三角函数 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．5弧度的角的终边所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：因为π<5<2π，因此5弧度的角的终边在第四象限．故选D． 2．若sin α<0且tan α>0，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C 解析：因为sin α<0，所以角α的终边在第三、第四象限或y轴负半轴上，又因为tan α>0，所以角α的终边在第一或第三象限，综上可知，角α是第三象限角． 3．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：由正弦函数的定义，知sin α＝y＝－. 4．已知sin ＝，则cos ＝(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：A 解析：cos＝cos＝－sin＝－.故选A． 5．已知A＝＋(k∈Z)，则A构成的集合是(　　) A．{－1，1，－2，2} B．{1，－1} C．{2，－2} D．{－2，－1，0，1，2} 答案：C 解析：当k为偶数时，A＝2；当k为奇数时，A＝－2.故构成的集合为.故选C． 6．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝(　　) A． B． C．0 D．－ 答案：A 解析：f＝f＋sinπ＝f＋sinπ＋sinπ＝f＋sinπ＋sinπ＋sinπ＝0＋－＋＝.故选A． 7．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下列结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 答案：D 解析：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos 2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos 2＝cos＝sin的图象，即曲线C2.故选D． 8．已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可能为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：函数f(x)＝sin 2x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin，将函数y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得y＝2sin的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y＝g(x)＝2sin＋1的图象，所以函数y＝g(x)的值域为[－1，3]．若g(x1)·g(x2)＝9，则g(x1)＝3且g(x2)＝3，均为函数y＝g(x)的最大值，由4x－＝＋2kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；其中x1，x2是三角函数y＝g(x)最高点的横坐标，所以|x1－x2|的值为函数y＝g(x)的最小正周期T的整数倍，且T＝＝.故选C． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值可能为(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 答案：ACD 解析：因为将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，所得图象与原图象重合，所以是已知函数的周期的整数倍，即k·＝ (k∈N*)，解得ω＝4k(k∈N*)．故选ACD． 10．已知函数f(x)＝sin－在[0，π]上有两个零点，则实数m的可能取值范围是(　　) A．[－，2] B．[，2) C．[，2] D．(－2，－] 答案：BD 解析：由f(x)＝0得sin＝，作出函数g(x)＝sin在[0，π]上的图象，如图所示.由图象可知当x＝0时，g(0)＝sin ＝，函数g(x)的最大值为1，所以要使f(x)在[0，π]上有两个零点，则≤＜1，即≤m＜2或－2<m≤－.故选BD． 11．关于函数f(x)＝2sin＋1，下列说法正确的是(　　) A．若x1，x2是函数f(x)的零点，则x1－x2是的整数倍 B．函数f(x)的图象关于点对称 C．函数f(x)的图象与函数y＝2cos＋1的图象相同 D．函数f(x)的图象可由y＝2sin 2x的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到 答案：BC 解析：画出函数f(x)的图象，如图所示． 可以得到函数f(x)的图象与x轴的交点中，相邻的交点相距不等，且不为，故A错误．函数f(x)的图象关于点对称，故B正确．函数f(x)＝2sin＋1＝2cos＋1，故C正确；函数f(x)的图象可由y＝2sin 2x的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到，故D错误．故选BC． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．(2024·山东青岛高一检测)2024年2月4日，“龙行中华－－甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉璜”(图①)就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图②)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm，若sin 37°≈，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为________．(结果保留整数) 答案：15 cm2 解析：显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB＝5，AB＝8，则cos∠OAB＝＝，sin ∠OAB＝，即∠OAB≈37°，于是∠AOB＝106°＝，所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2－OD2)＝××(52－32)≈15(cm2)． 13.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____________，单调递增区间是____________. 答案：　f(x)＝2sin 　(k∈Z) 解析：由图象可得T＝π－π，所以T＝π，则ω＝2.又图象过点，所以2sin＝2，又因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin，其单调递增区间为(k∈Z)． 14．给出下列四个命题：①若f(x)＝a tan x＋b cos x是偶函数，则a＝0；②当x＝2kπ＋ ，k∈Z时，y＝cos取得最大值；③函数y＝4cos的图象关于直线x＝－对称；④函数y＝2tan ＋1的图象的对称中心为，k∈Z.其中正确的命题是________．(填序号) 答案：①③ 解析：f(x)＝a tan x＋b cos x为偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即a tan (－x)＋b cos (－x)＝a tan x＋b cos x，即2a tan x＝0，故a＝0，①正确；当x＝2kπ＋ ，k∈Z时，y＝cos ＝cos ＝ ，显然不是最大值，②不正确；当x＝－时，y＝4cos ＝4cos (－π)＝－4，显然取得最小值，故x＝－是该函数的图象的一条对称轴，③正确；令－2x＋ ＝ ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z，故对称中心为 ，k∈Z，④不正确． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知0<α< ，sin α＝. (1)求tan α的值；(5分) (2)求的值．(8分) 解：(1)因为0<α<，sin α＝， 所以cos α＝ ，故tan α＝. (2) ＝ ＝＝＝4. 16．(15分)已知函数f(x)＝1＋sin. (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(6分) (2)画出函数y＝f(x)在区间上的图象．(9分) 解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π， 当sin＝1时，f(x)取得最大值1＋. (2)由(1)知： x － － － y 2 1 1－ 1 1＋ 2 故函数y＝f(x)在区间上的图象如图所示． 17．(15分)已知函数f(x)＝3tan. (1)求f(x)的定义域、值域；(5分) (2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．(10分) 解：(1)由x－≠＋kπ，k∈Z， 得x≠2kπ＋π，k∈Z， 所以f(x)的定义域为，值域为R. (2)f(x)为周期函数，由于f(x) ＝3tan＝3tan ＝3tan＝f(x＋2π)， 所以最小正周期T＝2π， 由f(－x)＝3tan， 而－f(x)＝－3tan易知f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)； 所以f(x)为非奇非偶函数． 由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z. 所以函数的单调递增区间为，k∈Z. 18．(17分)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ≤0)． (1)若函数f(x)的周期T＝π，且满足f＝f，求φ及f(x)的递增区间；(7分) (2)若φ＝0，f(x)在上的最小值为－3，求ω的最小值．(10分) 解：(1)因为T＝π， 所以T＝＝π，所以ω＝2， 由f＝f知x＝为该函数的一个对称轴． 所以2·＋φ＝＋kπ，又－π＜φ≤0， 所以φ＝－， 所以f(x)＝3sin， 由2kπ－≤2x－π≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋π(k∈Z)， 函数f(x)递增区间为(k∈Z)； (2)由于φ＝0，f(x)＝3sin ωx，f(x)在上的最小值为－3， 即3sin ωx＝－3，sin ωx＝－1，x∈， 所以ωx＝－＋2kπ，k∈Z， 即x＝，－≤≤， 所以由k∈Z且ω>0可得ω≥2， 则ωmin＝2. 19．(17分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的周期为π，且图象上一个最低点为M. (1)求f(x)的解析式；(7分) (2)若函数g(x)＝f(x)＋1在上至少含20个零点时，求b的最小值．(10分) 解：(1)由题意可知，T＝＝π，ω＝2， 即f(x)＝Asin(2x＋φ)， 因为图象过点M， 所以sin＝－1， 即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z. 又因为|φ|<，所以φ＝. 所以函数f(x)＝2sin. (2)由(1)知f(x)＝2sin.用五点法取点，列表并作图如下： x － 2x＋ 0 π 2π f(x) 0 2 0 －2 0 函数g(x)＝f(x)＋1在上至少含20个零点时，等价于f(x)与y＝－1在上至少含20个交点， 结合函数与图象可知在一个函数周期内含两个交点，且第二个交点表达式为2sin＝－1，即sin＝－，2x＋＝π，x＝π，所以b的最小值为＋9×π＝. 学科网（北京）股份有限公司 $