第七章 三角函数知识归纳与题型突破（单元复习 重点20类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第三册）

第七章 三角函数知识归纳与题型突破（题型清单） 知识1．任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 知识2．弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：． 知识3．三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即；（2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 知识4．三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： ，其中 注意： 利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）范围内角的三角函数值． 知识5．特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 知识6．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：（2）商数关系： 知识7．同角三角函数基本关系式的变形 1、平方关系式的变形：，， 2、商数关系式的变形，． 知识8．诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 知识9．正弦函数图象的画法 1、描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法． 2、几何法：利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象． 3、五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象． 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 知识10．正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 用三角函数图象解三角不等式的方法 1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象； 2、写出适合不等式在区间上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集． 周期函数 函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期． 知识11．正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 知识12．正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 知识13．余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 知识14．正切函数的图象 1、正切函数，且，图象： 知识15．正切函数的性质 1、定义域：2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 知识16．正切函数型的性质 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．2、值域： 3、单调区间： （1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）； （3）解不等式，得出范围．4、周期： 题型一：终边相同的角的表示 1．下面与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 2．在的范围内，与终边相同的角是 ． 巩固训练 3．下列与角终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 4．是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型二：角所在象限的研究 5．已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 6．已知角的终边在第四象限，则角的终边所在 象限. 巩固训练 7．若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 8．如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三：区域角的表示 9．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 11．如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    12．写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 题型四：扇形的弧长及面积公式的应用 13．若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 14．已知扇形的弧长为，圆心角为3弧度，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 15．若扇形面积为，圆心角为，那么该扇形的弧长为 . 16．在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 题型五：判断三角函数值的符号 17．已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 18．已知，则函数的值可能为（    ） （    ） A． B． C．1 D．3 巩固训练 19．下列命题正确的是(    ) A．若，且，则 B．若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C． D．若是第四象限角，则点在第四象限 20．下列结论正确的是（    ） A．是第三象限角 B． C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D．若角为锐角，则角为钝角 题型六：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 21．（1）已知 α为第二象限角，求cosα， tanα的值. （2）已知，若 求 的值. 22．（1）已知是第二象限角，且，求，的值； （2）已知是第三象限角，且，求，的值． 巩固训练 23．已知，且，则 ． 24．已知，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 题型七：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 25．已知，则 ． 26．（1）已知角终边上一点的坐标为，其中．求的值； （2）已知，求①； ②求. 巩固训练 27．已知，则 . 28．若角的终边经过点，则的值为 ． 题型八：与关系的应用 29．已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 30．已知，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 31．已知，则（    ） A．为第二象限角 B． C． D． 32．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九：利用诱导公式求解给值求值问题 33．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 34．下列说法正确的有（    ） A．为第三象限角的充要条件为 B．若为第二象限角，则为第一或第三象限角 C． D． 巩固训练 35．已知，，则 ． 36．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 题型十：诱导公式在三角函数式化简中的应用 37．已知． (1)化简函数； (2)若，求． 38．已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且， (1)求及的值； (2)求的值． 巩固训练 39．化简： ． 40．已知为第三象限角，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 题型十一：利用互余互补关系求值 41．已知，则（   ） A． B． C． D． 42．已知，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 43．已知，则 44．已知，则（   ） A． B． C． D． 题型十二：解三角不等式问题 45．在内，下列区间中使得成立的是（    ） A． B． C． D． 46．在内，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 47．满足不等式的的集合为 ； 48．已知函数，若的图象过点，则 ；若，则x的取值集合为 ． 题型十三：正余弦函数的周期问题 49．若直线，是函数图象的两条相邻的对称轴，则（   ） A．2 B． C．1 D． 50．函数的周期为π.( ) 巩固训练 51．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点中心对称 C．是一个周期函数 D．在区间内有且只有一个零点 52．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．关于点中心对称 D．的最小值为 题型十四：正余弦函数的奇偶问题 53．已知函数，则 ． 54．已知函数，则 . 巩固训练 55．已知函数是奇函数，则时， ． 56．若函数为偶函数，则．( ) 题型十五：正余弦函数的对称问题 57．对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与一定不存在相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．存在区间与均单调递增 58．已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的最大值为 C．在上单调递增 D．方程在上最多有4个解 巩固训练 59．已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图像关于点对称 D．函数的图像关于对称 60．已知函数，则对称轴方程为 ． 题型十六：正余弦函数的单调问题 61．若函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 62．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 ，若为正整数，当时，曲线与交点的个数为 . 巩固训练 63．已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 64．若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则 . 题型十七：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 65．若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 66．已知函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．函数的一条对称轴为 C．若函数在区间上单调递增，则可取的一个值为 D．函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于原点对称 巩固训练 67．函数在区间上严格减，实数的取值范围是 . 68．已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 题型十八：正切函数的定义域问题 69．函数在整个定义域上是增函数．( ) 70．函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 巩固训练 71．已知函数，则（    ） A．的定义域和值域均为 B．的最小正周期为2 C．在区间内单调递增 D．的图象关于点对称 72．求函数的定义域和单调区间． 题型十九：正切函数的单调性问题 73．（1）已知，求的值； （2）求函数的单调递增区间. 74．已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C． D．函数在上单调递增 巩固训练 75．已知函数，则下列命题中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．图象的对称中心为 D．的单调递增区间为 76．下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 题型二十：解不等式问题 77．利用图象，求不等式的解集． 78．观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围. (1)； (2). 巩固训练 79．（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 80．已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，若，则的取值范围是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 三角函数知识归纳与题型突破（题型清单） 知识1．任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 知识2．弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：． 知识3．三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即；（2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 知识4．三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： ，其中 注意： 利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）范围内角的三角函数值． 知识5．特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 知识6．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：（2）商数关系： 知识7．同角三角函数基本关系式的变形 1、平方关系式的变形：，， 2、商数关系式的变形，． 知识8．诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 知识9．正弦函数图象的画法 1、描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法． 2、几何法：利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象． 3、五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象． 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 知识10．正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 用三角函数图象解三角不等式的方法 1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象； 2、写出适合不等式在区间上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集． 周期函数 函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期． 知识11．正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 知识12．正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 知识13．余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 知识14．正切函数的图象 1、正切函数，且，图象： 知识15．正切函数的性质 1、定义域：2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 知识16．正切函数型的性质 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．2、值域： 3、单调区间： （1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）； （3）解不等式，得出范围．4、周期： 题型一：终边相同的角的表示 1．下面与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与终边相同的角可表示为， 当时，. 故选：B. 2．在的范围内，与终边相同的角是 ． 【答案】 【详解】由， 可得在的范围内，与终边相同的角是. 故答案为：. 巩固训练 3．下列与角终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与角终边相同的角为， 当时，可得. 故选：D. 4．是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】依题意，是第三象限角，所以是第三象限角． 故选:C． 题型二：角所在象限的研究 5．已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【详解】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角. 故选：B． 6．已知角的终边在第四象限，则角的终边所在 象限. 【答案】第二､第三或第四 【详解】因为为第四象限角，所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限. 故答案为：第二、第三或第四 巩固训练 7．若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【详解】因为是第一象限角， 所以， 所以， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 所以是第一象限或第三象限的角． 因为， 所以是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 8．如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【详解】依题意，得， 所以， 当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限． 故选：AC. 题型三：区域角的表示 9．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阴影部分表示的集合是. 故选：C 10．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为和， 所以阴影部分的区域在间的范围是， 所以终边在阴影部分区域的角的集合为. 故选：C. 巩固训练 11．如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    【答案】 【详解】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为， 故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是. 故答案为：. 12．写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 【答案】（1）； （2）. 【详解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角， 则得（1）； （2）. 题型四：扇形的弧长及面积公式的应用 13．若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇形圆心角为，则，又，解得. 故选：B. 14．已知扇形的弧长为，圆心角为3弧度，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设半径为，则，则， 所以，所以该扇形的面积为. 故选：B. 巩固训练 15．若扇形面积为，圆心角为，那么该扇形的弧长为 . 【答案】 【详解】设该扇形的半径为，则，则，故弧长为. 故答案为： 16．在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为， 故扇形面积为， 故当时，扇形面积取得最大值. 故选：C 题型五：判断三角函数值的符号 17．已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为，所以， 因为，所以， ， 所以. 故选：A 18．已知，则函数的值可能为（    ） （    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AC 【详解】是第一象限角时，， 是第二象限角时，， 是第三象限角时，， 是第四象限角时，， 故选：AC． 巩固训练 19．下列命题正确的是(    ) A．若，且，则 B．若是第二象限角，则是第一或第三象限角 C． D．若是第四象限角，则点在第四象限 【答案】BC 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：若是第二象限角，则，，所以， ，即是第一或第三象限角，故B正确； 对于C：因为，所以，，即，故C正确； 对于D：若是第四象限角，则，，所以点在第三象限，故D错误. 故选：BC 20．下列结论正确的是（    ） A．是第三象限角 B． C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D．若角为锐角，则角为钝角 【答案】BC 【详解】对于A，因为，所以与终边相同，是第二象限角，故A错误； 对于B，因为，所以是第二象限角，所以，故B正确； 对于C，因为圆心角为的扇形的弧长为，所以该扇形的半径为， 所以该扇形面积为，故C正确； 对于D，因为角为锐角，即，所以， 所以角是锐角或直角或钝角，故D错误. 故选：BC. 题型六：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 21．（1）已知 α为第二象限角，求cosα， tanα的值. （2）已知，若 求 的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，且， 所以， 又为第二象限角， 则，； （2）由两边平方，得， 即， ∴， ∵，∴，即， ∴， ∴. 22．（1）已知是第二象限角，且，求，的值； （2）已知是第三象限角，且，求，的值． 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）因为是第二象限角， 所以；． （2）或 因为是第三象限角，所以 巩固训练 23．已知，且，则 ． 【答案】 【详解】， 则，又，则， 则或（舍去）. 故答案为：. 24．已知，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，且为第四象限角， ∴，则． 故选：A． 题型七：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 25．已知，则 ． 【答案】/0.2 【详解】由，则. 故答案为： 26．（1）已知角终边上一点的坐标为，其中．求的值； （2）已知，求①； ②求. 【答案】（1），；（2）①； ② 【详解】（1）角终边上一点的坐标为，其中， 则， 所以，. （2）因为，所以 ①； ② . 巩固训练 27．已知，则 . 【答案】3 【详解】将原式分子分母同时除以， 可得. 故答案为：3 28．若角的终边经过点，则的值为 ． 【答案】/0.25 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以， 故答案为：. 题型八：与关系的应用 29．已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由得， ，又，，所以，所以，A正确； ，D正确； 结合可得，，B正确； ，C不正确． 故选：ABD． 30．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为， 平方得：，所以，所以， 所以，所以，又因为，所以. 故选：A. 巩固训练 31．已知，则（    ） A．为第二象限角 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于B，因为①， 所以， 则，故B正确； 对于A，又，所以，则，故为第一象限角，故A错误； 对于C，所以， 则②， 由①②可得，，则，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：BCD. 32．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A，因为，平方可得， 解得， 因为，所以，所以，所以A正确； D，又由， 所以，所以D正确； B，联立方程组，解得，所以B正确； C，由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误. 故选：ABD 题型九：利用诱导公式求解给值求值问题 33．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D． 34．下列说法正确的有（    ） A．为第三象限角的充要条件为 B．若为第二象限角，则为第一或第三象限角 C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，当为第三象限角时，，所以， 反之，当时，则有 ①当，为第三象限角， ②当时，为第二象限角，故A错误； 对于B，若为第二象限角，即，， 则，，则为第一或第三象限角，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确； 故选：BD. 巩固训练 35．已知，，则 ． 【答案】 【详解】，所以， 故， 所以， 故答案为：. 36．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由三角函数定义知，， . 故选：C 题型十：诱导公式在三角函数式化简中的应用 37．已知． (1)化简函数； (2)若，求． 【答案】(1)(2)1 【详解】（1）； （2）因为，所以， 所以. 38．已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且， (1)求及的值； (2)求的值． 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）因为点角的终边上，且， 根据三角函数定义，则， 解得或（舍）， 所以． （2）则 ， 巩固训练 39．化简： ． 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 40．已知为第三象限角，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为为第三象限角，， 所以， 又， 所以. 故选：C. 题型十一：利用互余互补关系求值 41．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 故选：A. 42．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得. 故选：D 巩固训练 43．已知，则 【答案】/0.6 【详解】由，得. 故答案为： 44．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B 题型十二：解三角不等式问题 45．在内，下列区间中使得成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图画出函数在内的图象， 因为， 结合图象可知，在内，不等式的解集为. 故选：B． 46．在内，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出的图象如图： 因为，所以， 即在内，方程的解为或． 结合图象可知在内，不等式的解集是． 故选：C． 巩固训练 47．满足不等式的的集合为 ； 【答案】 【详解】，得，即， 故答案为：. 48．已知函数，若的图象过点，则 ；若，则x的取值集合为 ． 【答案】 1 【详解】函数，，∴． ，即， 作出在上的图象，如图所示． 由图知x的取值集合为． 故答案为：1； 题型十三：正余弦函数的周期问题 49．若直线，是函数图象的两条相邻的对称轴，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由于直线，是函数相邻的两条对称轴，故周期为,故， 故选：A 50．函数的周期为π.( ) 【答案】错误 【详解】令，因为，， 所以，函数的周期不是π. 故答案为：错误 巩固训练 51．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点中心对称 C．是一个周期函数 D．在区间内有且只有一个零点 【答案】BCD 【详解】AB选项，的定义域为，， 所以关于点中心对称，A选项错误，B选项正确. C选项，， 所以是周期函数，C选项正确. D选项，令得， 所以，在区间上，解得， 所以在区间内有且只有一个零点，所以D选项正确. 故选：BCD 52．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．关于点中心对称 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】， 由的最小正周期为，故的最小正周期为，故A正确； ， 且， 故关于直线，不关于点对称，故B正确，C错误； 由，且， 故，故D正确. 故选：ABD. 题型十四：正余弦函数的奇偶问题 53．已知函数，则 ． 【答案】 【详解】令，则， 因为， 所以函数为奇函数，可得， 则 故答案为：. 54．已知函数，则 . 【答案】8082 【详解】令，则， 由于为奇函数， 故， 其中，， ∴ 故答案为：8082 巩固训练 55．已知函数是奇函数，则时， ． 【答案】 【详解】因为函数是奇函数， 所以,即, 又因为，所以令，， 故答案为：. 56．若函数为偶函数，则．( ) 【答案】错误 【详解】因为是偶函数，所以. 故答案为：错误. 题型十五：正余弦函数的对称问题 57．对于函数和，下列说法正确的是（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与一定不存在相同的零点 C．与的图象有相同的对称轴 D．存在区间与均单调递增 【答案】ABD 【详解】对于A，函数，又函数， 所以函数与有相同的最小正周期，故A正确； 对于B，对于函数的零点，可令，解得； 对于函数的零点，可令，解得， 由于，所以函数与一定不存在相同的零点，故B正确； 对于C，对于函数的对称轴，可令，解得； 对于函数的对称轴，可令，解得， 由于，所以函数与一定不存在相同的对称轴，故C错误； 对于D，对于函数的单调递增区间，可令，解得； 对于函数的单调递增区间，可令，解得， 由于，可令，则区间为函数与的一个共同单调递增区间，故D正确. 故选：ABD. 58．已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的最大值为 C．在上单调递增 D．方程在上最多有4个解 【答案】BD 【详解】当时，； 当时，，画出函数的大致图象，如图．      由图象可知，函数的图象不关于直线对称，故A错误； 的最大值为，故B正确； 在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 当时，方程在上有4个解，故D正确． 故选：BD． 巩固训练 59．已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图像关于点对称 D．函数的图像关于对称 【答案】BC 【详解】由， 对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为函数在上是减函数， 所以函数在上是增函数，故B错误； 对于C，因为， 所以函数的图像不关于点对称，故C错误； 对于D，设， 则， 所以函数的图像关于对称，故D正确. 故选：BC. 60．已知函数，则对称轴方程为 ． 【答案】， 【详解】令，，得，． 故答案为：，. 题型十六：正余弦函数的单调问题 61．若函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】当时，， 在上单调递减，，又，， 即的值可能为和. 故选：AB. 62．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 ，若为正整数，当时，曲线与交点的个数为 . 【答案】 6 【详解】由得. ∵函数在上单调递减， ∴，解得. ∵，∴，∴当时，. 若为正整数，则，，， 作出与在时的函数图象， 由图象可知，曲线与交点的个数为6. 故答案为：；6. 巩固训练 63．已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，极小值点为. ，令，. 因为有且仅有个极小值点. 当时，；当时，；当时，. 所以，解不等式得.   因为的单调递增区间为. 对于，令，则. 因为在上单调递增，所以. 当时，，则且. 解不等式得.   综合以上两个条件，的取值范围是. 故选：D. 64．若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则 . 【答案】 【详解】函数 的图象向右平移 个单位后， 得到， 当时，， 在上单调递减， ， ， 又， 故答案为： 题型十七：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 65．若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】，则， 函数在上单调， 所以，解得：， 所以的最大值为. 故选：D 66．已知函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．函数的一条对称轴为 C．若函数在区间上单调递增，则可取的一个值为 D．函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，所得图象关于原点对称 【答案】ACD 【详解】函数（）的最小正周期为， 所以，解得：，故A正确； 所以 由对称中轴方程：，可得， 令，解得：，不满足题意，故不是函数的一条对称轴，故B错误； 令，解得：，所以的单调增区间为， 若函数在区间上单调递增，则 解得：，因为，所以，则，因为，所以时可取的一个值，故C正确； 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度后，可得：，所得图象关于原点对称，故D正确； 故选：ACD 巩固训练 67．函数在区间上严格减，实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，因为，所以. 因为函数在区间上严格减， 所以，解得； 当时，因为，所以， 故不可能满足函数在区间上严格减. 综上所述，，即实数的取值范围是. 故答案为:. 68．已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 【答案】3 【详解】解：当函数严格增时，， 整理得（）． 若函数在上严格增， 则（）， 即，整理得． 当时，；① 当函数严格减时，（）， 整理得（）， 若函数在上严格减， 则（）， 即，整理得， 当时，．② 由于函数在上不单调，且为正整数， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 所以的最小值为3． 题型十八：正切函数的定义域问题 69．函数在整个定义域上是增函数．( ) 【答案】错误 【详解】当时，则，但. 故答案为：错误 70．函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 巩固训练 71．已知函数，则（    ） A．的定义域和值域均为 B．的最小正周期为2 C．在区间内单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】BD 【详解】由题意得即， 所以函数的定义域为，正切函数的值域为，故A错误； 函数的最小正周期，故B正确； 由A得，当时，，即在处无定义，故C错误； 由于的图象关于点对称，则令，则， 令，则，故的图象关于点对称，故D正确． 故选：BD 72．求函数的定义域和单调区间． 【答案】定义域为，增区间为，没有减区间 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 题型十九：正切函数的单调性问题 73．（1）已知，求的值； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1） . （2）对于函数， 由，可得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 74．已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C． D．函数在上单调递增 【答案】BC 【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，由，所以， 因为，则，则， 因为，则，故B正确； 对于C，，又，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，由，得， 而，即时，没有意义，故D错误； 故选：BC. 巩固训练 75．已知函数，则下列命题中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．图象的对称中心为 D．的单调递增区间为 【答案】ACD 【详解】由题知，函数， 对于A，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，的定义域满足，即 所以的定义域为，故B错误； 对于C，图象的对称中心应满足，即 所以图象的对称中心为，故C正确； 对于D，的单调递增区间应满足，即， 所以的单调递增区间为，故D正确； 故选：ACD 76．下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A:在上单调递减，A选项错误； 对于B:在上单调递增，且为其对称中心，B选项正确； 对于C:不是0，所以不是的对称中心，C选项错误； 对于D:在上单调递减，D选项错误； 故选：B. 题型二十：解不等式问题 77．利用图象，求不等式的解集． 【答案】 【详解】的图象如图所示： 令，则，解得， 令，则，解得， 又因为，结合图象可得， 即原不等式的解集为. 78．观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围. (1)； (2). 【答案】(1)（）(2)（） 【详解】（1）观察正切曲线， 在区间内，可知，此时满足的x的取值范围是， 又正切函数的最小正周期为，所以满足的x的取值范围是（）. （2）观察正切曲线， 在区间内，可知，. 此时满足的x的取值范围是， 又正切函数的最小正周期为，所以满足的x的取值范围是（）. 巩固训练 79．（1）函数的定义域是 ． （2）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】（1）要使有意义， 则，解得， 解得. 故函数的定义域是； （2）设，则， 当时，. 所以的值域是． 故答案为：；. 80．已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，若，则的取值范围是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且单调递增， 则，即，即， 则，解得（）. 故选：D. 2 / 42 2 / 42 1 学科网（北京）股份有限公司 $$