模块综合检测卷(一)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

模块综合检测卷(一) (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．弧长为π的扇形的面积为3π，则这个扇形的圆心角为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设扇形的圆心角为α，半径为R，则扇形的弧长为αR＝π①，扇形的面积为αR2＝3π②，由①②解得R＝6，α＝.所以这个扇形的圆心角为.故选A． 2．sin 750°的值为(　　 ) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.故选D． 3．已知角α的终边经过点P(3，－1)，则2sin α＋cos α＝(　　 ) A． B．－ C． D． 答案：C 解析：因为角α的终边经过点P(3，－1)，所以2sin α＋cos α＝＋＝.故选C． 4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设c＝(x，y)，所以c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)，由(c＋a)∥b得－3(x＋1)－2(y＋2)＝0①，由c⊥(a＋b)得3x－y＝0②.联立①②得x＝－，y＝－，则c＝.故选D． 5．已知sin α＝2sin，则cos 2α＝(　　 ) A． B．－7 C．－ D．－3 答案：C 解析：由题设可得sin α＝2sin＝2cos α，而cos α≠0，所以tan α＝2，所以cos 2α＝＝＝－.故选C． 6．若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　 ) A．1 B． C． D．0 答案：C 解析：因为cos α＝，cos(α＋β)＝，α，β∈，所以0<α＋β<，所以sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝，sin β＝sin＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.故选C． 7．已知a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1，2sin α－1)，α∈，若a·b＝，则tan＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为a·b＝，所以cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝，即1－2sin2 α＋2sin2 α－sin α＝，所以sin α＝.因为α∈，所以cos α＝－，tan α＝－.所以tan＝＝.故选C． 8．已知向量|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥a，则〈a，b〉等于(　　 ) A．150° B．120° C．60° D．30° 答案：B 解析：因为|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝1＋a·b＝0，解得a·b＝－1，所以cos〈a，b〉＝＝－，且〈a，b〉∈[0°，180°]，所以〈a，b〉＝120°.故选B． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知sin x＋cos x＝，则cos＝(　　) A． B．－ C． D． 答案：AB 解析：由题意知sin x＋cos x＝2sin＝，则sin＝.所以cos＝cos＝sin＝.所以cos＝± ＝±.故选AB． 10．若函数f(x)＝cos ωx (ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值1，也没有最小值－1，则下列ω的取值中，可能的有(　　 ) A． B． C．　　 D．1 答案：ABD 解析：因为函数f(x)＝cos ωx (ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值，也没有最小值，所以f(x)＝cos ωx (ω>0)的周期大于等于2π，即≥2π，所以0<ω≤1.当ω＝时，f(x)＝cosx ，x∈(2π，3π)时，∈，无最大值1和最小值－1，ω＝成立，故A正确；当ω＝时，f(x)＝cosx ，x∈(2π，3π)时，∈，无最大值1和最小值－1，ω＝成立，故B正确；当ω＝时，f(x)＝cosx ，x∈(2π，3π)时，∈，有最大值1，不成立，故C不正确；当ω＝1时，f(x)＝cos x ，x∈(2π，3π)，无最大值1和最小值－1，ω＝1成立，故D正确．故选ABD． 11．已知函数f(x)＝＋，则下列四个结论中正确的是(　　 ) A．函数f(x)的图象关于原点对称 B．函数f(x)的最小正周期为π C．f(x)的值域为 D．设函数g(x)＝sin(ω>0，0≤φ≤π)的奇偶性与函数f(x)相同，且函数g(x)在(0，3)上单调递减，则ω的最小值为2 答案：BC 解析：对于A，由于函数f(x)＝＋，则根据函数的性质，所以f(－x)＝＋＝f(x)，所以函数为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故A错误；对于B，由于f(x＋π)＝＋＝＋＝f(x)，则函数的最小正周期为π，故B正确；对于C，当x∈时，函数f(x)＝sin＋cos＝sin，由于＋∈，故sin∈，故C正确；对于D，函数f(x)为偶函数，所以g(x)＝sin(x＋φ)为偶函数，所以sin φ＝±1，故φ＝kπ＋(k∈Z)，由于0≤φ≤π，所以φ＝，所以g(x)＝sin(x＋)，即g(x)＝cos(x)，由于ω>0，0<x<3，所以0<x<，函数在(0，3)上单调递减，故≤π，解得ω≥3，故D错误．故选BC． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC边的中点，F为CD边上的动点(可以与端点重合)，则·＝________，·的最大值为________． 答案：0　12 解析：如下图，建立直角坐标系，则E(2，2)，D(0，4)，F(x，4)，x∈[0，2]， 所以·＝(2，2)·(－2，2)＝0，当F在C处时，·的最大值为(2，4)·(2，2)＝12. 13．已知某种简谐振动的方程依次是f＝3sin和g＝5sin ，则对应的复合运动的方程y＝f＋g的振幅为 ________． 答案：7 解析：y＝f(x)＋g＝3sin＋5sin＝3sin＋5＝3sin ＋sin ＋cos＝sin＋cos＝7sin，其中tan θ＝，θ∈，所以复合运动的方程y＝f＋g的振幅为7. 14．(2024·山东烟台高一检测)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为____________． 答案： 解析：依题意，函数f(x)＝2sin－1，由f(x)＝0，得sin＝，则ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z，由x∈[0，2π]，得ωx＋∈，由f(x)在[0，2π]上恰有5个零点，得≤2πω＋<，解得≤ω<，由－≤ωx＋≤，得－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增，因此⊆，即－≤－，且≥，解得0<ω≤，综上，≤ω≤，所以正实数ω的取值范围为. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)当x∈，求f(x)的值域．(8分) 解：(1)由最低点为M得A＝2. 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得＝， 即T＝π，ω＝＝2，由点M在图象上， 2sin＝－2，即sin＝－1， 故＋φ＝2kπ－，k∈Z， 所以φ＝2kπ－，k∈Z， 又φ∈，所以φ＝， 故f(x)＝2sin(2x＋)； (2)因为x∈，所以2x＋∈， 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2； 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1， 故f(x)的值域为[－1，2]． 16．(15分)已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b. (1)当b⊥c时，求实数x的值；(6分) (2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．(9分) 解：(1)因为b⊥c，所以b·c＝b·[x a＋(1－x)b]＝x b·a＋(1－x)b2＝－5x＋5(1－x)＝0，解得x＝. (2)|c|2＝[x a＋(1－x)b]2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝10x2－10x(1－x)＋5(x－1)2＝25x2－20x＋5＝25＋1. 当x＝时，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1. 此时，c＝a＋b. a·c＝a·＝a2＋a·b＝×10＋×(－5)＝1，设向量a，c的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. 17.(15分)如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P的坐标为. (1)求的值；(6分) (2)若·＝0，求sin(α＋β)的值．(9分) 解：(1)由三角函数定义得cos α＝－， sin α＝， 所以原式＝ ＝ ＝2cos2α＝2×＝. (2)因为·＝0，所以α－β＝， 所以β＝α－， 所以sin β＝sin＝－cos α＝， cos β＝cos＝sin α＝. 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. 18．(17分)a＝(sin ωx，sin ωx＋cos ωx)，b＝(2cos ωx，sin ωx－cos ωx)，(ω>0)，f(x)＝a·b. (1)若函数f(x)的最小正周期为π， ①求ω的值； ②当x∈时，对任意t∈R，不等式mt2＋mt＋3≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．(7分) (2)若函数g(x)＝f(x)＋1在区间[0，3π]上恰有5个零点，求ω的取值范围．(10分) 解：(1)根据题意，f(x)＝a·b＝2sin ωxcos ωx＋sin2 ωx－cos2ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin， ①若函数f(x)的最小正周期为π，则＝π，解得ω＝1； ②若x∈即π≤x≤，则有π≤2x≤π，变形可得≤2x－≤π， 则有f(x)max＝2， 对任意t∈R，不等式mt2＋mt＋3≥f(x)恒成立，即mt2＋mt＋3≥f(x)max， 而mt2＋mt＋3≥2即mt2＋mt＋1≥0恒成立， 当m＝0时，1≥0成立， 当m≠0时，有解得0＜m≤4； 所以0≤m≤4，所以实数m的取值范围为[0，4]． (2)根据题意，令g(x)＝f(x)＋1＝0，即g(x)＝2sin＋1＝0，变形可得sin＝－， 又由0≤x≤3π，则有－≤2ωx－≤6ωπ－， 若函数g(x)＝f(x)＋1在区间[0，3π]上恰有5个零点，令t＝－＋2ωx 当t＝－，，π，π，π，时， sin＝－， 所以－＋6ωπ≥，且－＋6ωπ<π， 解可得≤ω<，即ω的取值范围为. 19．(17分)(新情境)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a的最小值为－3. (1)求函数f(x)的单调递减区间；(7分) (2)英国数学家泰勒(B．Taylor，1685－1731)发现了如下公式： cos x＝1－＋－＋…，其中n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算f的值．(结果精确到小数点后4位，参考数据：≈2.5×10－5，≈2.8×10－7)(10分) 解：(1)由题意知， f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a＝sin xcos－cos xsin＋sin xcos＋cos xsin＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin＋a， 所以f(x)min＝－2＋a＝－3，即a＝－1， 所以f(x)＝2sin－1， 令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (2)由(1)知f(x)＝2sin－1， 所以f＝2sin－1＝2sin－1＝2cos 1－1， 由泰勒公式得： cos 1＝1－＋－＋－＋… ≈1－0.5＋0.041 67－0.001 39＋0.000 025－0.000 000 28＋…≈0.540 304 72， 所以f＝2cos 1－1≈2×0.540 304 72－1≈0.080 6. 学科网（北京）股份有限公司 $