第七章 重点题型强化（一）三角函数中的参数问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

[学习目标]　含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合． 题型一　由三角函数的最值求参数 例1　若函数y＝a－bcos x(b<0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4acos bx的最值和最小正周期． 解：因为y＝a－bcos x(b<0)， 所以ymax＝a－b＝，ymin＝a＋b＝－. 由解得 所以y＝－4acos bx＝－2cos x， 所以函数y＝－4acos bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π. 求形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)型三角函数中的参数a，b的值时，一般利用正弦(余弦)函数的有界性列方程组求解，注意参数a的正负．　　 对点练1.若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________． 答案：±2 解析：由题意知解得|a|＝1，b＝2，则a＝±1，b＝2.所以ab＝±2. 题型二　由三角函数的奇偶性求参数 例2　(1)如果函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，那么|φ|取最小值时，φ的值为(　　) A．± B． C．－ D．± (2)如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为(　　) A．3 B．6 C．12 D．24 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，得2π＋φ＝＋kπ，则φ＝－＋kπ，k∈Z，当|φ|取最小值时，k＝1，即φ＝－或k＝2，即φ＝.故|φ|取最小值时，φ的值为±.故选D． (2)因为函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，由＝，解得ω＝6.故选B． 学生用书↓第48页 由三角函数的奇偶性求参数φ的思路 1．要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，需φ＝kπ(k∈Z)． 2．要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，需φ＝kπ＋(k∈Z)． 3．要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，需φ＝kπ＋(k∈Z)． 4．要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，需φ＝kπ(k∈Z)．　　 对点练2.(1)已知函数y＝sin是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0 B．－ C． D．π (2)已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为且|φ|<，则φ＝________． 答案：(1)B　(2)－或 解析：(1)y＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，从而φ＝kπ－，k∈Z.显然当k＝0时，φ＝－满足题意． (2)由题意得＋φ＝(k∈Z)，则φ＝－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－或φ＝. 题型三　由三角函数的单调性求参数 例3　已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是_______________________________． 答案： 解析：当－<x<时，－＋<ωx＋<＋，因为当x＝0时，ωx＋＝，且函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，所以解得ω≤，因为ω>0，所以0<ω≤，因此，ω的取值范围是. 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程(不等式组)求解．　　 对点练3.已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则(　　) A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 D．ω≤－1 答案：B 解析：因为y＝tan ωx在内单调递减，所以ω<0且T＝≥π，所以－1≤ω<0.故选B． 题型四　由三角函数的图象求参数 例4　已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)． (1)求f(x)的解析式； (2)求满足f(x)≥的x的取值范围． 解：(1)由题意可得f(x)的周期为 T＝－＝＝，所以ω＝， 得f(x)＝Atan，它的图象过点， 所以tan＝0，即tan＝0， 所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝－， 于是f(x)＝Atan， 它的图象过点(0，－3)， 所以Atan＝－3，得A＝3. 所以f(x)＝3tan. (2)因为3tan≥， 所以tan≥， 则kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z， 解得＋≤x<＋，k∈Z. 所以满足f(x)≥ 的x的取值范围是 (k∈Z)． 由三角函数的图象求参数一般涉及A，ω，φ 1．A可由图象中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定． 2．ω可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定． 3．φ可由某关键点、线确定．　　 对点练4.若函数f(x)＝2cos－1在[0，m]上的最小值小于零，则m的取值范围为________． 答案： 解析：因为x∈[0，m]，所以2x－∈，设t＝2x－，则t∈，作出函数y＝2cos t－1的图象如图所示，由y＝2cos t－1＝0，得cos t＝，则t＝＋2kπ或t＝－＋2kπ，k∈Z，则当t>0时，第一个零点为t＝，当－≤t≤时，y＝2cos t－1≥0，要使y＝2cos t－1在t∈上的最小值小于0，则只需要2m－>，解得m>. 学生用书↓第49页 1．使cos x＝1－m有意义的m的取值范围为(　　) A．m≥0 B．0≤m≤2 C．－1<m<1 D．m<－1或m>1 答案：B 解析：因为－1≤cos x≤1，所以－1≤1－m≤1，所以0≤m≤2.故选B． 2．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能是(　　) A． B．－ C． D． 答案：D 解析：由题意，当x＝时，f(x)＝sin＝±1，故＋φ＝kπ＋，则φ＝kπ＋(k∈Z)．取k＝0时，得φ＝.故选D． 3．y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为________． 答案： 解析：y＝tan 3x的周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为. 4．f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在上单调递减，则ω的值为________． 答案： 解析：由y＝sin ωx(ω>0)的图象(图略) 知＝，则T＝， 因为＝，且ω>0，所以ω＝ 学科网（北京）股份有限公司 $