7.3.5 已知三角函数值求角-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版）

7．3.5　已知三角函数值求角 知识目标 1.掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角．　2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角． 素养目标 通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养. 大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识． 问题．已知sin x＝，你能求出满足条件的角x吗？ 提示：x＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z. 知识点一　反三角函数的定义 在数学中，任意给定一个y∈[－1，1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作x＝arcsin__y． 因此，不难知道arcsin ＝，arcsin＝－，arcsin 1＝. 类似地，我们有： 在区间[0，π]内，满足cos x＝y(y∈[－1，1])的x只有一个，这个x记作arccos y，即x＝arccos__y； 在区间内，满足tan x＝y(y∈R)的x只有一个，这个x记作arctan y，即x＝arctan__y． 知识点二　反三角函数的图象和性质 y＝arcsin x y＝arccos x y＝arctan x 定义域 [－1，1] [－1，1] R 值域 [0，π] 单调性 在[－1，1]上单调递增，无减区间 在[－1，1]上单调递减，无增区间 在R上单调递增，无减区间 奇偶性 奇函数 既不是奇函数，也不是偶函数 奇函数 函数 运算 公式1 arcsin(－x)＝－arcsin x， x∈[－1，1] arccos(－x)＝π－arccos x， x∈[－1，1] arctan(－x)＝ －arctan x，x∈R 运算 公式2 arcsin(sin x)＝x， x∈ arccos(cos x)＝x， x∈[0，π] arctan(tan x)＝x， x∈ 运算 公式3 sin(arcsin x)＝x， x∈[－1，1] cos(arccos x)＝x，x∈[－1，1] tan(arctan x)＝x，x∈R 运算 公式4 arcsin x＋arccos x＝，x∈[－1，1] arctan x＋arctan ＝，x≠0 学生用书↓第45页 1．已知cos x＝－，π<x<2π，则x＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为x∈(π，2π)且cos x＝－，所以x＝ .故选B． 2．方程sin x＝－的解为(　　) A．x＝kπ＋(－1)k·，k∈Z B．x＝2kπ＋(－1)k·，k∈Z C．x＝kπ＋(－1)k＋1·，k∈Z D．x＝2kπ＋(－1)k＋1·，k∈Z 答案：C 解析：由sin x＝－，可得x＝2kπ－(k∈Z)，或x＝2kπ－＝(2k－1)π＋，k∈Z，即x＝kπ＋(－1)k＋1·，k∈Z.故选C． 3．不等式cos x<0(x∈[0，2π))的解集为 (　　) A．(0，π) B． C． D．(π，2π) 答案：C 解析：不等式cos x<0的解集是；又x∈[0，2π)，所以不等式cos x<0(x∈[0，2π))的解集为 .故选C． 4．(多选)以下各式中正确的是(　　) A．arcsin 1＝ B．arccos(－1)＝π C．arctan 0＝0 D．arccos 1＝2π 答案：ABC 解析：arcsin x∈，arccos x∈[0，π]，arctan x∈，故arccos 1＝0.故选ABC． 5．在[0，2π]上，使cos x≤－成立的x的取值集合为________． 答案： 解析：因为cos x≤－，所以x∈，k∈Z，又因为x∈[0，2π]，所以x的取值集合为. 题型一　已知特殊角的三角函数值求角 例1　 已知sin＝，x∈R，求角x的取值集合． 点拨：已知ωx＋φ的一个三角函数值及x的范围求角x的取值集合，可以先由x的范围确定ωx＋φ的范围，然后求出满足题意的角的集合；也可以把ωx＋φ看成任意角，先求出所有角，再根据x的范围确定所求角的取值集合． 解：方法一　由sin＝＞0可知，角x＋对应的正弦线方向朝上，且长度为. 作出示意图如图①所示． 由图可知角x＋的终边可能是OP，也可能是OP′. 又sin ＝sin ＝， 所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z， 即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 所以角x的取值集合为 . 方法二　作出y＝sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝，如图②所示，由图可知sin ＝sin ＝， 所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 所以角x的取值集合为 . 已知角x的一个三角函数值为a，求角 x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围通常会在题目中给定．如果在这个范围内符合要求的角不止一个，且当角的终边不在坐标轴上时，可以按照以下两种方法来解决(以sin x＝a或cos x＝a为例)． 方法一　三角函数线法 (1)画出以坐标原点为圆心的单位圆，如下图①，下图②所示． (2)①如图①，对于sin x＝a，在y轴上取点M(0，a)，过点M作y轴的垂线分别交单位圆于点P，P′，作射线OP，OP′； ②如图②，对于cos x＝a，在x轴上取点M(a，0)，过点M作x轴的垂线分别交单位圆于点P，P′，作射线OP，OP′. (3)分别写出射线OP与OP′对应的角． 方法二　三角函数图象法 (1)作图象：作基本函数y＝sin x(或y＝cos x)在一个周期上的图象． 学生用书↓第46页 (2)作直线：作直线y＝a. (3)取值：在一个周期上求满足sin x＝a(或cos x＝a)的角x的值． [注意]　此时求出的角是在一个周期上的角，还需根据已知条件中角的取值范围来最终确定角的值． 对点练1.求满足条件sin x＝－的x的值． 解：因为sin x＝－， 所以在[0，2π]上有sin ＝sin ＝－， 因为正弦函数的最小正周期为 2π， 所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 题型二　已知一般角的三角函数值求角 例2　 求满足下列条件的角，其中x∈[0，2π]． (1)sin x＝0.579 1； (2)cos x＝－； (3)tan x＝－. 点拨：对于给值求角问题，因为所给角的范围不同，所得的角可能不同，所以一定要注意已知条件中角的范围的约束作用． 解：(1)因为sin x＝0.579 1＞0，x∈[0，2π]，所以角x的终边在第一象限或第二象限，所以x＝arcsin 0.579 1或x＝π－arcsin 0.579 1. (2)因为cos x＝－＜0，x∈[0，2π]， 所以角x的终边在第二象限或第三象限， 所以x＝π－arccos 或x＝π＋arccos . (3)因为tan x＝－＜0，所以角x的终边在第二象限或第四象限，所以x＝π－arctan 或x＝2π－arctan . 已知一般角的三角函数值求角的步骤 第一步，找角：找出角所在的象限； 第二步，表示角：用反三角函数表示角； 第三步，确定角：根据角的范围用反三角函数确定角． [注意]　在表示角时，已知正(余)弦值求角在R上的取值集合时注意加上2kπ，并注明k∈Z，而已知正切值求角在R上的取值集合时注意加上kπ，并注明k∈Z.　　 对点练2.(1)若sin x＝，x∈，则x＝(　　) A．arcsin B．π－arcsin C．＋arcsin D．－arcsin (2)若π＜x＜，cos x＝－，则x等于(　　) A．arccos B．－arccos C．π－arccos D．π＋arccos 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)因为π－arcsin ∈且sin＝，所以x＝π－arcsin .故选B． (2)因为cos x＝－cos(x－π)＝－，即cos(x－π)＝，又π＜x＜，即0＜x－π＜，所以x－π＝arccos，x＝π＋arccos.故选D． 题型三　利用三角函数曲线解不等式 例3　 不等式sin(2x＋)≥的解集为____________． 点拨：画出x∈[0，2π]时y＝sin x的图象，令α＝2x＋，由图象推出sin α≥的解集，再用2x＋代替α解出x即可． 答案： 解析：画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象如图所示．由图象知sin ＝sin ＝，令α＝2x＋，因为y＝sin x的周期为2π，所以sin α≥的解集为，所以原不等式的解集为. 用正弦曲线(或余弦曲线)解三角不等式sin x≥a(或cos x≥a)的步骤 第一步，作图象：作出函数y＝sin x(或y＝cos x)在一个周期上的图象；　　 第二步，作直线：作直线y＝a； 第三步，求值：在一个周期上求满足sin x＝a(或cos x＝a)的角x的值； 第四步，利用图象确定不等式sin x≥a(或cos x≥a)在一个周期上的解集； 第五步，把此解集扩展到整个定义域内． [注意]　解sin(ωx＋φ)≥a(ω＞0)时，只需先求出不等式sin α≥a的解集，然后用ωx＋φ代替解集中的“α”，再解关于x的不等式即可． 对点练3.不等式sin x＜，x∈[0，2π]的解集为______________． 答案：∪ 解析：方法一　在同一坐标系作出y＝sin x，y＝的图象． 由图可知，不等式的解集为∪. 方法二　作单位圆， 由图可知不等式的解集为∪. 学生用书↓第47页 1．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝(　　) A． B． C．或 D．或 答案：D 解析：因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝时，α＝或.故选D． 2．方程tan＝在区间[0，2π)上的解的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：方法一　令t＝2x＋，作出函数y＝tan t的图象如图所示：令2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z.又由0≤<2π，所以k＝0，1，2，3.故在区间[0，2π)上有4个解．故选C． 方法二　由tan＝>0，设t＝2x＋， 所以角2x＋对应的正切线方向朝上，而且长度为，如图所示：可知2x＋的终边可能是OT，也可能是OT′，因为tan＝tan＝，所以2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z.又由0≤<2π，所以k＝0，1，2，3.故在区间[0，2π)上有4个解．故选C． 3．集合A＝，B＝，则A∩B＝__________________． 答案： 解析：因为sin x＝，所以x＝2kπ＋或2kπ＋π，k∈Z.又因为tan x＝－，所以x＝kπ－，k∈Z.所以A∩B＝. 学科网（北京）股份有限公司 $