7.3.5 已知三角函数值求角（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 随堂。步步夯实 1.下列说法正确的是 A.y=tanx是增函数 C.(0)为图像的一个对称中心 B.y=tanx在第一象限是增函数 D.最小正周期为元 C.y=tanx在某一区间上是减函数 4函数y=2an(3x十 一5的单调递增区间是 D.y=anx在区间(x一受，kx十受)质∈Z)上是 5.求函数y=tam（行x+)的定义域，周期、单调区 增函数 间和对称中心. 2.函数)y=tan(x十号)的定义域是 A.{x∈R且x≠x+若k∈Z☑ R∈R且x≠ka-吾A∈Z C.{xx∈R且x≠2kx+否，k∈Z D.xlx∈R且x≠2m-否，k∈Z 3.关于函数y=tan(2x- )，下列说法正确的是 ( A.是奇函数 e温馨提西 B.在区间(0， )上单调递减 学习至此，请完成配套训练 7.3.5已知三角画数值求角 课程标准 素养解读 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法 2.了解符号arcsin z,arccos x,arctan x的含义，并能用这 通过知值求角提升数学运算及数学抽象素养 些符号表示非特殊角 课前。预习学案 [情境引入] 终边在图中阴影部分（不含边界） 大海中航行需要正确地 的角构成sinx<a的解集，终边 计算航行的方向，需要掌握包 在空白部分（不含边界）的角构成 括三角函数在内的广泛的数 sinx>a的解集， 学知识 (2)方法2——利用三角函数图像 ①交点P与P'的横坐标为[0,2π]内使sinx=a [问题] 已知sinx= 你能求珀满足条件的角 成立的x的值，即为sinx=a在[0,2x]上的解. x吗？ ②曲线上加粗部分（不含边 y 界)对应的x值构成sinx< a在[0,2π]上的解集；其余 [知识梳理] 部分（不含边界）对应的x值 [知识点一]已知正弦值求角 构成sinx>a在[0,2π]上 y=sinx (1)方法1一利用三角函数线 的解集. 以射线OP与OP'为终边的角构成sinx=a的 ③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩展到 解集. 整个定义域内 ·46· 第七章三角函数 [知识点二]已知余弦值求角 ②曲线上加粗部分（不含边界）对应的x值构成 (1)方法1一利用三角函数线 以射线OP与OP'为终边的角构 anx<a在(-受，受)上的解集：其余部分（不含 成cosx=a的解集 边界)对应的x值构成tanx>a在(-受，受)上 终边在阴影部分（不包含边界）的 的解集。 角构成cosx<a的解集，终边在 ③结合正切函数的周期性把①②中的解集扩展到 空白部分的角构成cosx>a的解集， 整个定义域内 (2)方法2—一利用三角函数图像 [知识点四]arcsin x,arccos z,arctan x的含义 ①交点P与P'的横坐标为[0,2π]内使cosx=a (1)任意给定一个y∈[-1,1]，当sinx=y且x∈ 成立的x的值，即为cosx=a在[0,2x]上的解. ②曲线上加粗部分（不含边 y （一受，受)时，通常记作x 界)对应的x值构成cosx (2)在区间 内，满足cosx=y,y∈[-1,1] Y=COS x <a在[0,2π]上的解集；其 的x只有一个，记作x= 余部分（不含边界）对应的 (3)在区间 内，满足tanx=y,y∈R x值构成cosx>a在[0,2r]上的解集. 的x只有一个，记作x= ③结合余弦函数的周期性把①②中的解集扩展到 ?思考已知角x的一个三角函数值，所求得的角 整个定义域内 定只有一个吗？为什么？ [知识点三]已知正切值求角 (1)方法1一利用三角函数线 以射线OP与OP'为终边的角构成 tan.x=a的解集.终边在图中阴影 [预习自测] 部分（不含边界）的角构成tanx<a 1.下列等式不成立的是 的解集，终边在空白部分（不含边 A.2sin x+1=0 B.tanx+2020=0 界)的角构成tanx>a的解集， C.cosx=√5 D.tan =0 (2)方法2—利用三角函数图像 1 2.若a是三角形内角，且sina=2,则a等于（ ①交点P的横坐标为 22内使 A.30 B.30°或150° tanx=a成立的x的值，即为tanx=a C.60 D.120°或60 在（受）上的解。 3.已知sinx= 号[，]则x= 课堂。互动学案 题型一 已知正弦值求角或角的范围 规律方法 [例1] 已知fx)=2sin(2x-号) 己知正弦、余弦三角函数值求特殊角的方法 (1)利用单位圆中的三角函数线，先求一个周期内 1)z∈[-，]且f)=-,求x的值： 的角，再加上周期的整数倍，即得到所有的角 (2)解不等式f(x)<一√5 (2)利用三角函数的图像，作出一个周期内的三角 [思路点拨]根据角的范围确定角的值 函数图像，找出一个周期内的角，再加上周期 的整数倍即可 ◇[变式训练] 1.已知sinx= 3 )当x[一，]时，求x的取值集合： ·47· 必修第三册 数学B (2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合； 题型 己知正切值求角或角的范围 (3)当x∈R时，求x的取值集合， [例3] 已知f(x)=tan (1)已知f(x)=5,求x: (2)解不等式f(x)≥ 汇思路点拨]利用正切线直接求解. 题型二 已知余弦值求角或角的范围 [例2] 1尼知3x+)则x (2)不等式co3x+)的解集为 汇思路点拨了“利用三角函数线求解。注意整体代 换思想的应用. 规律方法 规律方法 1.利用单位圆中正切线，先求出一个周期内的角， 利用余弦曲线求解cosx≥a或cosx≤a(a<1 再加上kπ即可由正切函数值求角，也可以利用 正切函数的图像求解 的步骤 (1)作出余弦函数在一个周期内的图像（选取的一 2.求解与正切函数有关的函数的定义域时，除了 个周期不一定是[0,2π]，应根据不等式来确定)； 考虑函数解析式的限制外，同时要注意正切函 (2)作直线y=a与函数图像相交； 数的自身限制条件 (3)在一个周期内确定x的取值范围； ◇[变式训练] (4)根据余弦函数周期性确定最终的范围. 3.函数y=√anx十I+lg(1一tanx)的定义域为 ◇[变式训练] 2.已知c0sx=一 之，求满足下列条件的角x的取值 1 B[2kx-，2x-]∈7 集合：(1)x∈[0,2π]；(2)x∈R. C[2x+晋2x+]k∈Z D[2k-无，2x+)∈7 题型四用arcsin y,arccos y或arctan y表示角 [例4]已知cosa= 号∈(x,受)，用合适的符 1 号表示满足条件的角a的值 [思路点拨]利用定义直接求解，要注意角的范围. ·48· 第七章三角函数 规律方法 ◇[变式训练] (1)方程y=sinx=a,a≤1的解集可写为{xx 4.(1)已知sinx= ，求x的值 =2kπ十arcsin a,或(2k+1)x-arcsin a,k∈ (2)已知tana=-2,a∈(0,2π)，求a的值. Z},也可化简为{xx=bπ十（-1)arcsin a,k ∈Z. (2)方程cosx=a,a≤1的解集可写成{xx 2kr±arccos a,k∈Z}. (3)方程tanx=a,a∈R的解集为{xx=kr十 arctan a,k∈Z}. ● 随堂。步步夯实 1.下列叙述错误的是 ( 5.已知血号=且公是第二象限的角求角e A.arctan y表示一 个（受，）内的角 B.若x=arcsin y,y≤1，则sinx=y C.若tan 登=y,则x=2 aretany D.arcsin y,arccos y中的y∈[-l,l] 2已知血ex+)-号x∈（受）则x的 值为 A至 B.- C一或 D.-或 C温馨提污 4.已知tanx= ,且x∈(0,2)，则x 1 学习至此，请完成配套训练 7.4 数学建摸活动：周期现象的描述 课程标准 素养解读 1.会用三角函数解决简单的实际问题 通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提 2.体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养 课前。预习学案 [情境引入] 时间 0 136 8912151821 24 温州市区著名景点—江心 水深 66.257.552.842.557.552.55 屿，江心屿上面有座寺庙一一江心 寺，在江心寺中题了一副非常知名 [问题]仔细观察表中的数据，你能从中得到一些什 的对联.上联是：云朝朝朝朝朝朝 么信息？ 朝朝散；下联是：潮长长长长长 江心屿 长长长消，该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江 潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年 某个季节每天的时间与水深的关系表： ·49·必修第三册 [例2】[解](1y=1an(一+） = tam(合-子）： 得2x-受<<2x+受，k∈Z, 所以函数y=m(一子+)的单调造减区同是 1 (2)tan2=tan(2-π)，tan3=tan(3-π). 因为受<2<，所以-受<2-<0. 因为受<3<，所以-音<3-<0， 里然一受<2-<3-<1K受 又y=amx在（受，受）内是增函数， 所以tan(2-π)<tan(3-π)<tanl. 即tan2<tan3<tanl. 变式训练 2.解：y=3an(-子)=-3uan(告-吾）： 得一<<x+受∈乙 ·)-3an(合一学)的单调造减区间为 (x誓4x十)∈Z [例3][解](1)方法一： :tam(2z+等+x)=an(2x+音)： 即a[(+受)+]-an(2x+骨) ∴fx)=tan(2x+号)的周期是牙 方法二：，y=tanx的周期是元， ∴fx)=tam(x+晋)的网期是受 ②数的定义城是{≠受+，∈Z 又：sin(-x)+tan(-x)=-(sinx十tanx), ∴.函数y=sinx十tanx是奇函数. 变式训练 3.解：y=amur+子)a<0)的周期为后-受，解得w=2 或w=-2. 因为w<0,所以w=一2， 故y=tan-2x+子)=-an(2x-子. 由2x-晋≠x+晋（∈Z, 解得4≠经+受（∈Z, 所以该画数的定义战为女u≠经+行，k∈Z,值战为R 由于该函数的定义域不关于原，点对称，所以该函数既不 是奇函数也不是偶函数. ·10 数学B 随堂步步夯实 1.D[y=anx有无数个递增区间(kx-空，km十受)k∈ Z),无递减区间，且在定义域上不是增函数.] 2.Au+号≠受+x,∈Z. x≠答+x,∈Z] 3.C[令f八)=tan(2r-答).由2x-音≠kx+受（∈ 刀，解得≠经+登∈，即定又越为≠钙+登 k∈Z},由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函 数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误：由正切函数的 图像知y=tan(2x- )没有单调递减区间，故B错误；C 3 中，“f(晋)=an0=0,故（否，0）为图像的一个对称中心， C正确：D中y=1an(2x-受)的最小正周期T=受，D 错误.] 4.解析：-受+kx<3十至<音+x,∈Z 答案（音+停音+经）水∈z 5.解：由行+晋≠x+受，k∈Z,得x≠3+子k∈乙。 故定义线为{≠3+子，∈Z。 T=元-=3. 由一+kx<<受+x,k∈Z, 4 得一 +3<r<+3k,k∈z。 4 故增区为（+3，是+）∈. 42 所以对称中心为（侵-是，0小（∈ZD. 7.3.5已知三角函数值求角 课前预习学案 情境引入 提示 =晋+2kx或x-经+2x,k∈Z 3 知识梳理 知识点四、(1)arcsin y(2)[0,2x]arccos y arctan y [思考] 提示：不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来 确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止 一个，则所求的角也就不止一个， 预习自测 1.C 2.B[sin30=7in180°-30)=sin30=7, .a=30°或150°.] 八 3.一3 课堂互动学案 [例[解])：2sim(2x-吾）-E. 角2x-哥的正弦线向下，且长 度为9如阳 N OM .角2x- 的终边为OP 3 或OP', 又n()-m(晋)） 2-=+2x2-=+2kxk∈。 3 即x=x或一否十kx,k∈乙， 又x[登受]r=-晋成x=0. (2原不等式可化为如(2：-吾）K- 由1及因可知-管+2<2一 <-+2kx,k∈Z 解得-音+m<<k,k∈Z, 原不等式的解集为 {-晋+<<，∈Z, 变式训练 1.解：：y=smx在[-受，登]上是增函教，且知sin苓 ·满足条件的角只有x=牙 x的取值案合为{倍} (2)'.'sin.= 为第一或第二章限角且血亭-加红一子)= 在[0,2x]上符合条件的角为=晋或= 3 的取位集合为{行} (3)当x∈R时，x的取值集合为 {=2x+吾或=2kx+k∈Z [例2][解析](1)利用三角函数线可知，x∈[0,2π]时， 5π1 令3x+至-号+2x或3x+子-要+2 kz.kCZ.. (2》1》及三角函就线知，号十2<十晋<管+2张x, k∈Z, 潮裕需+2学<<+z ·1 参考答案 [答案】0荒+2或紧+，61 变式训练 2.解析：(1)法一由cosx=- F7<0可知，角x对应的余 孩战方向朝左，且长度为分，作出示意因如图①所示， 2π4π Y=COsx 033 12m 2 ⑦ ② 由图可知角x的终边可能是OP,也可能是OP' 又cos3 3 所以当x[0,2]时的取值集合为{得} 法二作出y=c0sx在[0,2π]上的图像及直线y=一 日如国@所示，由国可知 所以当x[0,2x]时x的取值奏合为{答，} (2)当x∈R时，由()知，符合条件的角是所有与经终边 相同的角及所有与好终边相同的角，即x的取值集合为 {=2x+管或=2x+5:长z [例3][解] a(合+) >0, 角宁十吾对应的正初气向下，且长度 为5， 如图角2x+的终边为0T或OT. am音=an(合+若）=5， 即x=答+2kx,k∈Z （2)由)及三角高数线知受十m≤分x十吾<受+kx,k 62 ∈Z, 部得音十2<<受+2五， ∴原不等式的解集为 {女登+2k<行+2张x,ez 07 必修第三册 变式训练 3.A[由题唐得am+1之0即-1≤am<1,在 1-tan x>0, （受，受)内，满足上述不等式的x的取值范国是 [一牙，）又y=m上的网期为元，所以所求画数的定 义城为[kx-至x+)k∈Z] [例4][解]由余弦函数在[0，π]上是减函数和cosa= -可知，在[0，x]内符合条件的角有且只有一个 5 arccos( ）e0.. cos a= ..arccos 号)[] arecos(吉）警 即x<2π-arccos )警 由于cos(2π一 a)=cos a=- 1 .a=2r 变式训练 4解：：x[受，]时smx= arcsin3. 当xR时=arcsin子+2x或=-acsn号+2kx, k∈Z. (2设c(受受）且1amA=-2, .'.B=arctan(-2), ∴a=B+kx=arctan(-2)+kx,k∈Z, 又a∈(0,2x), ∴a=arctan(-2)+x或arctant(-2)+2x 随堂步步夯实 1.c 2B[由题意得，2x+至-要+2x或2r十票-还+2， 44 k∈Z, 解得=受十标或1=要+x,kE乙。 又：（登）=年] 解折：在02x)内，-m9 一吾-要+2x或音-要+266ez x=g+2x或x=号+2k,∈乙， 又k(一=-要 答案：一行或君 ·10 数学B 4.解析：anx=子r∈(0，x)时，z=-aretan-子 1 所以x∈(r,2x)时，x=π十arctan 答案：aretan-2或x十arctan-方 1 5.解：，a是第二象限的角， “受是第一或第三象限的角。 “n号号<0号是第三象限的角， 在[0,2x]内找到满足条件的受， “在[0,2]内满足条件的角号=x+音= 所以满足条件的受=2x+号(k∈ZD, 即a=4x+(∈z. 7.4数学建模活动：周期现象的描述 课前预习学案 情境引入 提示水深随时间的变化呈周期性变化. 知识梳理 知识点二、A 2πw w 2元 wx十pg [思考] 提示：利用散，点图可以较为直观地分析两个变量之间的 某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟 合这些散，点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不 必要的失误。 预习自测 1.B[振幅为2cm,振子在一个周期内通过的路程为8cm,易 知在6s内振动了4个周期，所以T=1.5s.] 2.C[相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移 至最高点.] 3.-晋 课堂互动学案 [例1][解](1)由题图可知A=300, 设t1= 900t红=180 则月期T=21:-1)=2(0+0)元 w等=160 又当1=0时，1=0， 即sin(150元·180+9）=0， 故所求的解折式为1=30sin1501+吾). (8依短含知，周有T≤高即经≤高。>0， ∴.w≥300π>942，又w∈N+, 故所求最小正整数w=943. 8