精品解析：山东德州市临邑县2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试题

2025～2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 3. 下列属于随机事件的是（ ）． A. 一元二次方程有两个解 B. 对于，当时，函数图象开口向上 C. 的整数解有无数个 D. 两个有理数的和等于一个无理数 4. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随着的增大而增大，则m的值可以是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为正五边形外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线 的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若和是抛物线上两点，则当时，其中正确的个数有（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，在菱形中，连接，点E在上，连接交于点F，作于点G，，，若，则的长为（ ）． A B. C. D. 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是_________． 12. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 13. 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦上，，，，则这个花坛的半径为 ___________． 14. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、，则面积的最小值是_____． 15. 如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则m＝_____． 三、解答题（本题共计9小题，共计90分） 16. 解决下列问题: （1）解方程：； （2）计算：． 17. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 18. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 19. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 20. 如图，是的外接圆，是直径，点是上的一个点，且，是延长线上的一点，连接，若恰好平分． （1）求证：为的切线． （2）已知，，求的长． 21. 神韵随州，一见钟情．为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系． （1）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ （2）“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值． 22. 已知抛物线（b为常数）经过点． （1）求b的值． （2）若点、都在该抛物线上，求的最小值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的值． 23. 如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若． ①求证：． ②若的半径为5，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 3. 下列属于随机事件的是（ ）． A. 一元二次方程有两个解 B. 对于，当时，函数图象开口向上 C. 的整数解有无数个 D. 两个有理数的和等于一个无理数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，一元二次方程的解的情况，二次函数的性质，不等式的整数解，实数的相关知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．逐一分析各选项事件的类型，即可确定符合要求的随机事件． 【详解】解：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， 对各选项分析如下： 选项A：一元二次方程的解的情况由判别式决定，当时，方程有两个不相等的实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，方程无实数解，此事件可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项B：根据二次函数的性质，当时，的函数图象开口向上，此事件一定发生，是必然事件； 选项C：的整数解有3、4、5……无数个，此事件一定发生，是必然事件； 选项D：有理数与有理数的和仍为有理数，两个有理数的和不可能是无理数，此事件一定不发生，是不可能事件， 综上，属于随机事件的是选项A． 故选：A． 4. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随着的增大而增大，则m的值可以是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：对于反比例函数：当时，图象在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小；当时，图象在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大. 由题意得，解得， 故选D. 考点：本题考查的是反比例函数的性质 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成． 5. 如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ， ， 由， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况． 6. 某中学有一块长30m，宽20m矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得． 【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 7. 如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． 8. 二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解． 根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意， 当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限， 当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意； 故选：B． 9. 抛物线 的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若和是抛物线上两点，则当时，其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据图象信息，恰当字母系数的符号，再根据二次函数的性质逐项推理即可． 【详解】解：根据抛物线开口向下，可知， 因为抛物线对称轴是直线，所以，即， 抛物线与y轴的交点在正半轴，所以， 故，①正确； 因为抛物线对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标为， 所以与x轴的一个交点坐标为，代入得， ，②正确； 由图象可知，当时，对应的自变量值有两个，即方程有两个不相等的实数根，③正确； 把代入得，，则，④正确； 当时，说明点离对称轴远，因为抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大，所以，⑤错误； 综上分析可知，正确的有4个． 故选：C． 10. 如图，在菱形中，连接，点E在上，连接交于点F，作于点G，，，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先设，，根据菱形的性质及，得到平分，根据角平分线的性质，进而得出，进一步得出，，再证明，得到，利用勾股定理求出，设，，则，再利用勾股定理求出的值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点， 设，，则， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴平分． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， 由勾股定理得，， 故设，，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴． 故选：A． 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可算出正确结果． 【详解】向左平移3个单位，则解析式中的x加3 向上平移2个单位，则解析式中的末尾加2 平移之后的解析式为 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟记平移规律是解决本题的关键． 12. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把代入解析式即可求出k的值，再代入即可求出答案． 【详解】解：设h关于函数解析式为， 把代入解析式，得， h关于的函数解析式为， 当时，， 故答案为：10． 13. 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦上，，，，则这个花坛的半径为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过作弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作，垂足为D， ∵是弦，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键． 14. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、，则面积的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，一次函数图象与坐标轴的交点问题，圆与三角形的综合(圆的综合问题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出CM的值，根据圆上距离直线最近的点为与的交点，从而求出面积的最小值． 【详解】解：过作于，连接，     将，代入中，得， 将代入中，得， 解得：， ∴点B的坐标为点A的坐标为， ∴，，， 根据勾股定理可得， 则由三角形面积公式得，， ∴， ∴， ∴圆上点到直线的最小距离是， 即点为与的交点时， ∴面积的最小值是， 故答案是：． 15. 如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则m＝_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（2023，m）为抛物线C1012的顶点，从而得到结果． 【详解】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）， ∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2）， ∴顶点坐标为（1，1）， ∴A1坐标为（2，0） ∵C2由C1旋转得到， ∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）； 照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）； C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）； C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）； … C1012顶点坐标为（2023，﹣1），A1012（2024，0）； ∴m=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标． 三、解答题（本题共计9小题，共计90分） 16. 解决下列问题: （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，． 【小问2详解】 ， ， ， ． 17. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 【答案】（1） （2）见解析， 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法，概率公式求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列表得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 共有种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果数为2， 所以求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 18. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）64；53； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； 【小问2详解】 解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，根据数形结合思想求解是解题的关键． （1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数； （2）根据，只需根据一次函数求得的长度，即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴， ∴，． ∴，， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与x轴交于点C， 令，则，解得：， ∴点C的坐标为， ∴． 20. 如图，是的外接圆，是直径，点是上的一个点，且，是延长线上的一点，连接，若恰好平分． （1）求证：为的切线． （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，得到由直径所对的圆周角是直角得到，继而得到，即可得到结论； （2）先证明，得到，计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， 平分， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 为的切线； 【小问2详解】 解： ，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 21. 神韵随州，一见钟情．为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系． （1）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ （2）“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值． 【答案】（1）当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元． （2） 【解析】 【分析】本题考查了的最值，销售问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意，列出二次函数解析式，转化为顶点式求最值； （2）根据最大利润，得出关于方程求解． 【小问1详解】 解：设每天获利w元， 根据题意得， ∵， ∴当时，w取最大值为1250， 答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元． 【小问2详解】 解：由（1）知，当w时，， 解得：，， ∵由（1）知利润函数对称轴为，最大值为， 最大利润小于， ∴． 当时，w随x增大而增大， ∴最大利润在处取得． ∵， ∴舍去， ∴． 22. 已知抛物线（b为常数）经过点． （1）求b的值． （2）若点、都在该抛物线上，求的最小值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的值． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）把代入计算即可； （2）求出，，再计算即可； （3）根据对称轴与的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，再计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（为常数）经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵点、都在该抛物线上， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即， 则的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，； 当时，； 分以下三种情况讨论： 当时，当时，随的增大而减小， 当时，有最大值， 当时，有最小值， ∵最大值和最小值的差为， ∴， 解得或（舍去）； 当时， 当时，最小值， 当时，有最大值， ∵最大值和最小值的差为， ∴， 解得； 当时， 当时，最小值， 当时，有最大值 ∵最大值和最小值的差为， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，的值为或或． 23. 如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若． ①求证：． ②若的半径为5，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，进而可得，则，然后问题可求证； （2）①由题意易证，则有，进而可得，再由相似三角形的判定得出，利用其性质即可证明； ②连接交于G，由题意易得D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，进而可得且，则有，由①得，根据相似三角形的性质得出，再由相似三角形的判定得出，利用其性质即可求解． 小问1详解】 证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②连接交于G， ∵， ∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线， ∴且， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $