初中数学几何模型研究大讲堂 章末检测2 跟踪复习 2025-2026学年 北师大版七年级数学下册 第二章相交线与平行线期末复习专题

初中数学几何模型研究大讲堂 章末诊断2：跟踪复习 复习目录： 1.复习总结； 2.跟踪训练（难度适中）； 3.章节特色（情境题）。 PART 1——复习总结. 本章我们主要对平行线中的模型进行了学习，在七年级下册的数学学习中很关键，且在七年级下册的期中期末都是难点，接下来，我们将展开题组训练. PART 4——答案详解. 一.选择题。 1.（2024·河北保定校级期中）下列各图中，不是同位角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查识别同位角，熟练掌握同位角的定义是解决本题的关键， 在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角． 根据同位角的定义逐一判断，解决此题． 【详解】解：A．，是同位角，A故不合题意； B．，是同位角，故B不合题意； C．，不是同位角，故C符合题意； D．，是同位角，故D不合题意． 故选：C． 、 2.（2024·重庆巴蜀入学）如图，已知，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质和判定，分别过点，点作，得到，根据平行线的性质和角之间的倍数关系进行计算即可． 【详解】解：分别过点，点作，则： ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 3.（2024·江苏南通）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 二.填空题。 4.（2023·重庆南开期末）如图，，平分，连接，交于点P．若，，则 ．    【答案】 【分析】作，则，求得，由角平分线的定义求得，推出，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：作，    ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，理解定理是关键． 5.（2024·重庆一外期末模拟）如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ．    【答案】/100度 【分析】过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数． 【详解】解：如图，过F作，    ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中，， 即，① 又∵， ∴，② 将①②联立，可得二元一次方程组， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和，解二元一次方程组等，解题的关键是综合运用上述知识点，通过等量代换得出与的关系． 6.（2025·重庆育才期中）如图，直线，点在直线上，点，在直线上，点为直线上方一点，连接、、、，与交于点，的角平分线交射线于点，交于点，交于点，连接，，平分，，，若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，，过点作，由平行线的判定与性质可得，，，结合可得，由推得，结合即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ， 平分， ， 过点作， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的有关计算、平行线的判定与性质、几何图形中角度计算问题，解题关键是结合示意图正确找出角之间的关系． 三.解答题。 7.（2024·重庆一中特训）如图，已知，，，求的度数. 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 8.（2025·四川达州校级入学）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握相关定理内容即可求解． （1）根据，可证，得到，结合平分，平分即可得证； （2）根据可得，结合可得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∴ ∴ ∵平分，平分， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴. 9.（2023·山东潍坊期中）如图，已知，，，点是上的一点．    (1)请写出图中的同位角，内错角，同旁内角（各写一个，多写的按第一个计分）； (2)求的度数； (3)若，请判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1)同位角：；内错角：(或∠或）；同旁内角：（或）； (2) (3)不平行，见解析 【分析】（1）根据同位角，内错角，同旁内角的定义在图形上找到相关的角即可； （2）证明，可得，再求解，结合邻补角的性质可得答案； （3）求解．证明，从而可得结论． 【详解】（1）同位角：； 内错角：(或或）； 同旁内角：（或）． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． （3）与不平行．理由如下： 由（1）可知，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴与不平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，涉及了“三线八角”、邻补角的性质等知识点，熟记平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 10.（2026·江苏南京校级月考）模型与应用.【模型】 （1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠MEN＋∠2＝360°. 【应用】 （2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ． 如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度数为 ． （3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CMnMn－1的角平分线MnO交于点O，若∠M1OMn＝m°． 在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度数．（用含m、n的代数式表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）900° ，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)° 【模型】（1）证明：过点E作EF∥CD， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB， ∴∠1＋∠MEF＝180°， 同理∠2＋∠NEF＝180° ∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360° 【应用】（2）分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°； 由上面的解题方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°(n－1)， 故答案是：900° ， 180°(n－1)； （3）过点O作SR∥AB， ∵AB∥CD， ∴SR∥CD， ∴∠AM1O＝∠M1OR 同理∠C MnO＝∠MnOR ∴∠A M1O＋∠CMnO＝∠M1OR＋∠MnOR， ∴∠A M1O＋∠CMnO＝∠M1OMn＝m°， ∵M1O平分∠AM1M2， ∴∠AM1M2＝2∠A M1O， 同理∠CMnMn-1＝2∠CMnO， ∴∠AM1M2＋∠CMnMn-1＝2∠AM1O＋2∠CMnO＝2∠M1OMn＝2m°， 又∵∠A M1M2＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1＋∠CMnMn-1＝180°(n－1)， ∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n－1＝(180n－180－2m)° 点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解决此类题目，过拐点作平行线是解题的关键，准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要． 本章新考法主要是情境类型，情境题是一些创新题目的主要类型，往往有简单但要抓住题目关键信息或者较难需要拓展思维的题目，不单单只是考察知识，还有各方面素养的提升，以下是结合平行线考察的特色题目. 考向1：结合体育运动 11.（2026·甘肃兰州校级期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键； 过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的夹角为，， ∴，=55°， ∴， ∴， 故答案为：． 考向2：结合生活情境 12.（2025·天津滨海新区校级期中）如图所示，四边形为一张长方形纸片． （1）如图所示，将长方形纸片任意剪两刀，剪出三个角（），则 度； （2）如图所示，将长方形纸片任意剪三刀，剪出四个角（∠EFC，∠FCD），则 度； （3）如果剪出的角有n个，那么这n个角的和是 度． 【答案】 360 540 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，图形类规律探索，掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的判定和性质求解即可； （2）过点作，过点作，同（1）理，根据平行线的判定和性质求解即可； （3）根据上述结果总结规律即可． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， 四边形为一张长方形纸片， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，过点作，过点作， 则， ，，， ，， ， 故答案为：540； （3）由上述结果可知，剪出的角有3个，那么这3个角的和是； 剪出的角有4个，那么这4个角的和是； 则剪出的角有n个，那么这n个角的和是度， 故答案为： 考向3：结合光的传播 13.（2024·江西赣州期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（       ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等等知识，掌握这两个知识是解题的关键． 【详解】如图所示 ∵，， ∴∠PFO=180°-∠1=18°， ∵， ∴∠POF=∠2-∠PFO=25°， ∴∠3=∠POF=25°. 故选：B. 考向4：结合社会主义先进文化 14.（2025·山东青岛阶段）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据 （1） ， 所以， 根据 （2） ， 所以． 因为， 所以 （3） ， 所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 【答案】问题解决：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高： 【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； 迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； 拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【详解】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据平行于同一条直线的两条直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 所以． 故答案为：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；（2）两直线平行，内错角相等；（3）；（4）105． 迁移应用：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：130． （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 拓展提高：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15.（2024·辽宁大连月考）根据以下素材，探索完成任务． 你了解探照灯吗？ 问题背景 材料一 光是直线传播的，探照灯就是利用这个原理，在我们生活中处处可见，比如舞台灯光秀、照明、夜间施工、搜救、荒野求生等等． 材料二 “一带一路”（，缩写）是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．所以，维护“一带一路”的安全是非常有必要的． 材料三 中欧班列是高质量共建“一带一路”的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了可旋转探照灯． 条件 如图，假定主道路是平行的，即，上级部门决定在A、B、C三处安置探照灯，连接、．恰好平分，现有光线、从探照灯A处照射，光线始终平分． 解决问题 任务一 若光线在右侧照射，，，求和的度数； 任务二 过点E作，垂足为F，记度，度，求y与x的数量关系． 任务三 如图，若．灯A发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯C发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是3度/秒，灯C转动的速度是9度/秒．若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当灯A射线从转至的过程中，与互相垂直时，求此时t的值． 【答案】任务一：，；任务二：或；任务三：或或或 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、直角三角形的两个锐角互余、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行线的性质，分类讨论是解答的关键． 任务一：先利用三角形的外角性质求得，再利用角平分线的定义和平行线的性质求解即可； 任务二：设，，记，，分点D在点B的左侧时和点D在点B的右侧时讨论即可得解； 任务三：根据题意，分四种情况：①当射线，未相遇时；②当射线返回，且射线与相交时；③当射线返回，且射线与不相交时；④当第2次从出发，根据平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余列方程求解即可． 【详解】解：任务一：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴； 任务二：如图所示，点D在点B的右侧， ∵平分交于点C，平分交于点E， ∴，， 设，，记，， ∵， ∴，，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 即， 如图所示，点D在点B的左侧时， ∵， ∴，，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 或； 任务三：由题意，射线到达时所用时间为（秒）， 射线第一次到达时所用时间为（秒）， 射线第一次返回到达时所用时间为（秒）， 故分四种情况： ①如图1，当射线，未相遇时，设射线交于点T，射线交于点S． ∵与互相垂直， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，解得； ②如图2，当射线返回，且射线与相交时，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴，解得． ③如图3，当射线返回，且射线与不相交时，， ∵， ∴，又， ∴，解得 ． ④如图4，当第2次从出发，与相交时，． ∵， ∴，， ∴，解得． 综上所述，或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学几何模型研究大讲堂 章末诊断2：跟踪复习 复习目录： 1.复习总结； 2.跟踪训练（难度适中）； 3.章节特色（情境题）。 PART 1——复习总结. 本章我们主要对平行线中的模型进行了学习，在七年级下册的数学学习中很关键，且在七年级下册的期中期末都是难点，接下来，我们将展开题组训练. PART 2——跟踪训练. 一.选择题。 1.（2024·河北保定校级期中）下列各图中，不是同位角的是（   ） A．B．C． D． 2.（2024·重庆巴蜀入学）如图，已知，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·江苏南通）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二.填空题。 4.（2023·重庆南开期末）如图，，平分，连接，交于点P．若，，则 ．    5.（2024·重庆一外期末模拟）如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ．    6.（2025·重庆育才期中）如图，直线，点在直线上，点，在直线上，点为直线上方一点，连接、、、，与交于点，的角平分线交射线于点，交于点，交于点，连接，，平分，，，若，则 ．（用含的式子表示） 三.解答题。 7.（2024·重庆一中特训）如图，已知，，，求的度数. 8.（2025·四川达州校级入学）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 9.（2023·山东潍坊期中）如图，已知，，，点是上的一点．    (1)请写出图中的同位角，内错角，同旁内角（各写一个，多写的按第一个计分）； (2)求的度数； (3)若，请判断与是否平行，并说明理由． 10.（2026·江苏南京校级月考）模型与应用.【模型】 （1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠MEN＋∠2＝360°. 【应用】 （2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ． 如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度数为 ． （3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CMnMn－1的角平分线MnO交于点O，若∠M1OMn＝m°． 在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度数．（用含m、n的代数式表示） PART 3——章节特色. 本章新考法主要是情境类型，情境题是一些创新题目的主要类型，往往有简单但要抓住题目关键信息或者较难需要拓展思维的题目，不单单只是考察知识，还有各方面素养的提升，以下是结合平行线考察的特色题目. 考向1：结合体育运动 11.（2026·甘肃兰州校级期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为 ． 考向2：结合生活情境 12.（2025·天津滨海新区校级期中）如图所示，四边形为一张长方形纸片． （1）如图所示，将长方形纸片任意剪两刀，剪出三个角（），则 度； （2）如图所示，将长方形纸片任意剪三刀，剪出四个角（∠EFC，∠FCD），则 度； （3）如果剪出的角有n个，那么这n个角的和是 度． 考向3：结合光的传播 13.（2024·江西赣州期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（       ）. A． B． C． D． 考向4：结合社会主义先进文化 14.（2025·山东青岛阶段）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据 （1） ， 所以， 根据 （2） ， 所以． 因为， 所以 （3） ， 所以 （4） ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则________； （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则________． 15.（2024·辽宁大连月考）根据以下素材，探索完成任务． 你了解探照灯吗？ 问题背景 材料一 光是直线传播的，探照灯就是利用这个原理，在我们生活中处处可见，比如舞台灯光秀、照明、夜间施工、搜救、荒野求生等等． 材料二 “一带一路”（，缩写）是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．所以，维护“一带一路”的安全是非常有必要的． 材料三 中欧班列是高质量共建“一带一路”的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了可旋转探照灯． 条件 如图，假定主道路是平行的，即，上级部门决定在A、B、C三处安置探照灯，连接、．恰好平分，现有光线、从探照灯A处照射，光线始终平分． 解决问题 任务一 若光线在右侧照射，，，求和的度数； 任务二 过点E作，垂足为F，记度，度，求y与x的数量关系． 任务三 如图，若．灯A发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯C发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是3度/秒，灯C转动的速度是9度/秒．若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当灯A射线从转至的过程中，与互相垂直时，求此时t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $