第二章 相交线与平行线章节复习（5大考点+12大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章相交线与平行线章节复习 内容概览 教学目标、教学重难点 【知识点1】对顶角、余角、补角 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 知识清单 【知识点4】平行线 【知识点5】平行线的判定和性质 题型01利用对顶角相等求角 题型02求一个角的余角、补角 题型03利用对顶角、余角、补角、垂线求角的度数 相交线与平行线 题型04点到直线的距离与垂线段最短 题型05对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 题型06添加一条件使两条直线平行 题型精讲 题型07平行线的判定和性质多结论题 题型08平行线的性质在生活中的应用 题型09平行线的判定和性质综合问题 题型0根据平行线的判定与性质探究角的关系 题型11根据平行线的判定与性质接解决光线问题 题型12根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 强化训练 教学目标、教学重雅难点 1.理解同一平面内两条直线的位置关系，掌握对顶角、余角、补角、垂线、点到直线 的距离等概念。 2.探索并掌握平行线的三个判定定理与三条性质定理，能运用它们进行简单的几何推 教学目标 理。 3.通过观察、画图、推理等活动，发展空间观念与逻辑推理能力，体会几何研究的基 本方法。 教学重难点 重点： 1/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.平行线的判定与性质的理解及其在推理和计算中的综合应用。 2.垂线概念及“垂线段最短”性质的理解，会度量点到直线的距离。 难点： 1.在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角，并正确选用判定或性质定理。 2.理解判定与性质的区别与联系，避免在推理过程中出现逻辑混乱。 知识清单 【知识点1】对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个 角叫做对顶角 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那 么称这两个角互为余角，也称互余 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 (1)垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另 一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD,垂足为O. 图1 图2 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指 这两条线段所在的直线垂直 (2)垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）. 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短 (3)点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO LAB,点P到直线AB的距离 是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 2/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”(或倒置、反转、旋转)》 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即 形如字母“Z”(或倒置、反转、旋转) 被截线“错开” 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间， 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转) 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“/”表示 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与己知直线重合的边过己知点： 四“画”：沿三角尺过己知点的变化直线。 3.平行线的公理 (1)平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行 (2)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直 两条直线被第三条直线所 两条直线被第三条直线所 两条直线被第三条直 线平行 截，如果同位角相等，那 截，如果同位内角相等，那么 线所截，如果同旁内角 的判定 么这两条直线平行，即同 这两条直线平行，即内错角相 互补，那么这两条直线 位角相等，两直线平行 等，两直线平行 平行，即同旁内角互补， 两直线平行 符号语 那么∠1=∠2 那么∠1=∠2 那么∠1+∠2=180 言 那么AB/ICD 那么AB/ICD 那么AB/ICD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补， 题型精讲 3/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型01利用对顶角相等求角 【典例1】(25-26七年级上·江苏连云港·期末)如图，直线AB、CD相交于点O,且2LA0C=3LB0C,则 AOD的度数为 O B 【变式1】(25-26七年级上江苏泰州期末)如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙 角∠AOB的度数，小莉分别延长A0、BO至点C、D,测得∠D0C=140°，则∠A0B= O 【变式2】(25-26七年级上·福建福州期末)如图，直线AB,CD相交于点O,E0⊥AB,垂足为O, LE0C=32°，则∠BOD的度数为°. B D 【变式3】(25-26七年级上江苏南通·月考)直线AB⊥CD，,垂足为点O,直线EF经过点O,若锐角 ∠C0E=30°，则∠A0F= 题型02求一个角的余角、补角 【典例2】(25-26七年级上江苏无锡期末)已知∠a=30°，则∠α的余角等于 【变式1】(25-26七年级上浙江绍兴期末)一个角的度数是42°，则它的补角的度数为 【变式2】(25-26七年级上山东聊城期末)如果一个角的补角比这个角的2倍大30°，那么这个角的余角 为 【变式3】(25-26七年级上宁夏固原·月考)若一个角的补角的，比这个角的余角大30°，则这个角的度数 为 题型O3利用对顶角、余角、补角、垂线求角的度数 【典例3】(25-26七年级上·吉林·月考)如图，直线AB、CD相交于点0,0M⊥AB. 4/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠1=∠2，求∠C0N的度数： (2)若0C平分∠AOM,求∠MOD的度数； 【变式1】(25-26七年级上·江苏淮安·月考)如图，直线AB,CD相交于点O,过点O作OE⊥AB,且0F 平分∠AOD B C (1)求证：∠COF=∠BOF; (2)若LB0D=26°，求∠E0F的度数， 【变式2】(25-26七年级上·江苏南通·期末)直线AB、CD相交于点O,OE平分∠C0B, D D B 图1 图2 (1)如图1，若∠C0E=75°，则∠BOD的度数为： (2)如图2，OF⊥AB,且∠C0F:∠B0E=4:5,求∠BOD的度数 【变式3】(24-25七年级上·江苏镇江·期末)如图，直线EF与线段AB交于点O,线段G0⊥EF,直线 CD⊥AB,∠EOF是平角. D G B C \H E (1)图中一共有 个直角和」 条线段。 (2)若∠1=∠2=26°，求∠3的度数 (3)若去掉“线段G0⊥EF,直线CD⊥AB”这一条件，（2)所得的结果（选填“成立”或“不成立”） 5/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型04点到直线的距离与垂线段最短 【典例4】(25-26七年级上北京延庆期末)如图，点P是直线1外一点，点A、B、C、D在直线1上， PC⊥I于点C,在线段PA、PB、PC、PD中，最短的线段是 ,测量点P到直线1的距离是 cm(精确到0.1cm). A B C 【变式1】(25-26七年级上·河南南阳·期末)运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得 数据分别为DA=2.56米，DB=2.15米，AC=2.70米，则黎明的立定跳远成绩应该为米. D B A 【变式2】(25-26七年级上·全国·课后作业)如图，AB⊥AC,AD⊥BC,若AB=4cm,AC=3cm, AD=2.4cm,那么A,B两点之间的距离为 cm,点A到直线BC的距离为 cm,点C到 直线AB的距离为」 cm】 B D 【变式3】(24-25七年级上·吉林长春期末)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 其顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图 B A. D (1)作线段AB,作射线AD; (2)点D到直线BC的距离为线段 的长度； (3)在线段BD上找一点O,使它到A、B、C、D四个点的距离之和最小，作图的理由为 题型05对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 【典例5】(25-26七年级上福建厦门期末)下列图形中，∠1与∠2是内错角的是() 6/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26七年级上河南洛阳·期末)下列图形中，∠1与∠2不属于同位角的是) 【变式2】(25-26七年级上·重庆黔江·期末)如图，下列说法正确的是() 6 A.∠3和∠5是内错角 B.∠2和∠6是对顶角 C.∠1和∠6是同位角 D.∠4和∠5是同旁内角 【变式3】(25-26七年级下·全国单元测试)滑雪项月图标抽象出的几何图形如图所示.有下列判断：① ∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角.其中正确的 有() 以6 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型06添加一条件使两条直线平行 【典例6】(25-26七年级下·全国课后作业)如图，∠1=120°，L2=60°，∠3=60°，则∠4的度数为一 时，AB∥CD. 7/21 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 3> D 【变式1】(24-25七年级下·陕西榆林·期末)如图所示，在ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC上的 点，连接DE、DF,请添加一个条件」 ,使得DE∥AC.(只写一个) 【变式2】(25-26七年级下·全国周测)如图，已知直线AB,CD与直线MN相交于点E,F,GE⊥MN于 点E.若∠CFN=140°，则∠BEG=】 时，AB∥CD. D M -N C 【变式2】(25-26七年级上江苏扬州期末)如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：①∠3=∠4； ②∠1=∠2：③∠A=∠D;④LD+LABD=180.其中能判定AB∥CD的有 (填序号) B 题型07平行线的判定和性质多结论题 【典例7】(25-26八年级上陕西铜川期末)将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，己知4∥12， ∠ACD=60°，∠1=a(0<a<45),则下列结论不正确的是() M E A.∠BCE=90° B.∠2=(45+0)° C.AB∥ED D.当a=30时，LBAC=∠MAC 8/21 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26七年级上江苏无锡期末)如图，已知EF∥GH,A、D为GH上的两点，M、B为EF上 的两点，延长AM至点C,AB平分∠DAC,点N在直线DB上，且BN平分LFBC,若∠ACB=I10°.则 下列结论： ①∠M4B=∠BAD;②∠ABM=∠BAM;国∠NBC=∠BDH:④设∠C8M=a,则∠B4D=55-a:⑤ ∠DBA=55 其中，正确的有() H A.①②③ B.①②③④ C.①②③⑤ D.②③④⑤ 【变式2】(25-26七年级上·四川乐山期末)如图，AF∥CD,CB平分∠ACD,BD平分∠EBF,且 BC⊥BD,下列结论：①BC平分∠ABE;②AC∥BE;③LBCD+∠D=90°；④LDBF=60°.其中正确 的个数是() y B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式3】(25-26八年级上·山东青岛·期末)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分 LAFG,过点F作FG⊥EH于点G,且LAFG=2LD,则下列结论：①∠D=45°；②2∠D+∠EHC=90°； ③FD⊥FG;④FH平分∠GFD.其中正确结论的是() F D H A.①② B.③④ C.②③ D.①②③④ 题型08平行线的性质在生活中的应用 【典例8】(25-26七年级上·福建漳州·期末)如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，∠1=86°，则 ∠2=- 9/21 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 【变式1】(24-25七年级下·广西南宁.期中)如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图② 是它的几何示意图.已知BC∥DE,AB∥CD,当LABC=120°时，∠CDE的度数为一 图① 图② 【变式2】(24-25七年级下·山东日照·期末)如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与DF垂直，当 发光的灯管AB恰好与EF平行时，LBAC=110°，∠ACD=105°，则∠CDF的度数为一 E F G 【变式3】(24-25七年级下·辽宁盘锦·期中)为响应国家新能源建设.我省某市公交站亭装上了太阳能电池 板（图1）.如图2，电池板AB与水平线的夹角为30°，电池板CD与水平线的夹角为40°，要使AB∥CD, 需将电池板CD逆时针旋转a(0°<a<90）.则a的度数为 C A 文30° 人40°…水平线 B D 图1 图2 题型09平行线的判定和性质综合问题 【典例9】(25-26七年级上江苏无锡·期末)如图，∠2=∠B,BE与DF交于点P. 10/21 第二章 相交线与平行线章节复习 教学目标 1. 理解同一平面内两条直线的位置关系，掌握对顶角、余角、补角、垂线、点到直线的距离等概念。 2. 探索并掌握平行线的三个判定定理与三条性质定理，能运用它们进行简单的几何推理。 3. 通过观察、画图、推理等活动，发展空间观念与逻辑推理能力，体会几何研究的基本方法。 教学重难点 重点： 1. 平行线的判定与性质的理解及其在推理和计算中的综合应用。 2. 垂线概念及“垂线段最短”性质的理解，会度量点到直线的距离。 难点： 1. 在复杂图形中准确识别同位角、内错角、同旁内角，并正确选用判定或性质定理。 2. 理解判定与性质的区别与联系，避免在推理过程中出现逻辑混乱。 【知识点1】对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 题型01 利用对顶角相等求角 【典例1】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线、相交于点O，且，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程、对顶角的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、对顶角的性质，从而完成求解． 根据平角的性质列一元一次方程并求解，得，再根据对顶角相等的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：∵，且 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图是某古城墙的一角，因墙角内设有石雕，无法直接测量墙角的度数，小莉分别延长、至点、，测得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查对顶角的性质，关键是准确识别出与是对顶角，利用“对顶角相等”的性质即可直接求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴； 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏南通·月考）直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则 ． 【答案】60或120 【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的意义，角的和差计算，解题的关键是注意分类讨论的思想． 由垂直得到，由对顶角得到，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：由题意，需讨论以下两种情况： ①如图1 ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∴． ②如图2 ∵， ∴； ∵与是对顶角， ∴， ∴． 综上：或． 故答案为：或． 题型02 求一个角的余角、补角 【典例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知，则的余角等于 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查余角的概念，解题的关键是掌握余角的概念． 依据余角的定义进行计算即可． 【详解】解：的余角为， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一个角的度数是，则它的补角的度数为 ． 【答案】/138度 【分析】本题考查了补角的定义，理解补角的定义是解题的关键． 根据补角的定义，两个角互为补角时，它们的和为，因此用减去已知角即可得到补角的度数． 【详解】解：∵一个角的度数为， ∴它的补角的度数为， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）如果一个角的补角比这个角的2倍大，那么这个角的余角为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了余角和补角的定义，解题的关键是根据题意列出关于这个角的方程，求出这个角的度数后再计算其余角． 设这个角的度数为，根据“补角比这个角的2倍大”列出方程，求出的值，再根据余角的定义计算． 【详解】解：设这个角的度数为． ， ， ， ． 这个角的余角为：． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·宁夏固原·月考）若一个角的补角的比这个角的余角大，则这个角的度数为 °． 【答案】 【分析】先设这个角的度数为未知数，利用余角、补角的定义分别表示出该角的余角和补角，再根据“补角的比这个角的余角大”这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程得到这个角的度数． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的补角为，余角为． 根据题意列方程：， 解得：． 即这个角的度数为． 题型03 利用对顶角、余角、补角、垂线求角的度数 【典例3】（25-26七年级上·吉林·月考）如图，直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度和差，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是掌握角的和差． （1）根据垂直得出直角，然后根据等量代换即可求解； （2）根据垂直得出直角，根据角平分线得出，然后根据平角以及角的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，直线，相交于点，过点作，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平分，得，再结合对顶角相等，得，即； （2）结合，得，根据平分，得，又因为，得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·期末）直线、相交于点O，平分． (1)如图1，若，则的度数为______； (2)如图2，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义、垂直定义、几何图形中的角度计算，找到角之间的数量关系是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义求得，然后利用平角定义求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义及垂直定义列方程求得，则可得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线与线段交于点O，线段，直线，是平角． (1)图中一共有　　　个直角和　　　条线段． (2)若，求的度数． (3)若去掉“线段，直线”这一条件，（2）所得的结果　　　（选填“成立”或“不成立”） 【答案】(1)， (2) (3)成立 【分析】本题考查的是垂直的定义、线段的认识及角的和差计算； （1）结合图象，根据垂直定义及线段的定义及表示即可求出结论； （2）先求出，再根据对顶角性质得出结论； （3）结合（2）的方法写出结论即可． 【详解】（1）解：∵线段，直线， ， 则图中一共有6个直角， 线段有：线段，共4条线段； （2）， ， ； （3）若去掉“线段，直线”这一条件，（2）所得的结果仍成立， 理由：， ， ，故（2）所得的结果仍成立． 题型04 点到直线的距离与垂线段最短 【典例4】（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)两点之间线段最短 【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键． （1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可； （2）根据可得点到直线的距离为线段的长度； （3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为． 【详解】（1）连接，连接并延长，即得． （2）点到直线的距离为线段的长度 故答案为： （3）连接，交于点， 则， 当点O运动到上时，，最小， 则，最小． 故答案为：两点之间线段最短． 题型05 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 【典例5】（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了内错角的识别，解题的关键是掌握内错角的定义． 根据内错角的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项与是同位角，不符合题意； B. 该选项与是内错角，符合题意； C. 该选项与是同旁内角，不符合题意； D. 该选项与不是内错角，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中和的位置是否符合该定义． 【详解】解：选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角； 选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 题型06 添加一条件使两条直线平行 【典例6】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【变式1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则 时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【详解】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在的延长线上，给出下列条件：；：；．其中能判定的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 逐一判断条件是否能得到即可． 【详解】解：，，故①不符合题意； ，，故②符合题意； ，得不出任何平行，故③不符合题意； ，，故④符合题意； 故答案为：②④． 题型07 平行线的判定和性质多结论题 【典例7】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，三角板有关的计算，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为，则，再过点作，运用平行线的性质进行分析列式，得，结合，，故，最后算出，再分析，即可作答． 【详解】解：依题意，得，， ∵， ∴， 故A选项不符合题意； 过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 故B选项不符合题意； ∵，， ∴ ∴， 故C选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 【变式2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断． 【详解】解：∵， ，即， ，所以③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴平分，即①正确； ∵平分， ∴， ∴ ∴，即②正确； 时，， ∴， ∴， ∵，而，， ∴， ∴．故④错误． 综上，正确的结论有①②③，共3个． 故选C． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质．延长交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长交于， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ，故①错误；②正确； ，， ，故③正确； 平分， ， ， ， ，故④不一定正确． 其中正确结论的是②③， 故选：C． 题型08 平行线的性质在生活中的应用 【典例8】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·山东日照·期末）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与垂直，当发光的灯管恰好与平行时，，，则的度数为 ． 【答案】125°/125度 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线并熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图：过点C作，过点D作，根据得出，再根据平行线的性质求出的度数，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）为响应国家新能源建设．我省某市公交站亭装上了太阳能电池板（图1）．如图2，电池板与水平线的夹角为，电池板与水平线的夹角为，要使，需将电池板逆时针旋转．则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查平行线的知识．由平行线的性质，得，则，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型09 平行线的判定和性质综合问题 【典例9】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，射线平分，点在射线上，且交于点，是射线上的一个动点． (1)当平分时，若，求的度数； (2)当时，试探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先通过角平分线得到角的倍数关系，再结合平行线的内错角相等，最后在三角形中用内角和求角度； （2）利用角平分线和平行线的性质，分两种情况推导角之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）解：如图①，当点在线段上时，设，则， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图②，当点在射线上时，设，则， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上所述，和之间的数量关系为或． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，角度的和差关系计算． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）知，，根据得，然后根据得，由此解出α即可得出的度数； （3）由平分，，得到，从而推出，再由已知条件结合角平分线的性质证得，最终利用角度的和差关系可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：设， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的度数为． （3）解：∵平分，， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图1，M为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意得，进而得到，从而得到； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据得到； （3）过点作，则，由（2）知， 则，分情况讨论：当点在内部时，；当点在外部时，． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ． ， ， ； （2）解：如图，过点B作， ， ， ， ∵， ； （3）解：过点作，则， ， 由（2）知， 则， ， ， ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，； 综上，的度数为或．      题型10 根据平行线的判定与性质探究角的关系 【典例10】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 【答案】（1）与相等，理由见解析；（2）；（3）或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数； （3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明， ，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 题型11 根据平行线的判定与性质接解决光线问题 【典例11】（24-25七年级下·全国·课后作业）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤上安置了P、Q两盏激光探照灯，如图示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为t秒． (1)如图1，请用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°；用含t的代数式表示光线转动的角度，即____________°； (2)如图2，当光线与光线垂直，垂足为H时，求t的值． 【答案】(1)t ； (2)45 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，并注意进行分类讨论． （1）根据题意求出和即可； （2）过点H作，根据平行线的性质得出，，得出，即，求出t的值即可 【详解】（1）解：∵光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转，光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转， ∴；； 故答案为：t，； （2）解：过点H作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 解得． 【变式1】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图①是某校艺术节搭建的舞台．从上面看，舞台上面有三根铁架，且三根铁架在同一平面内．如图②，是两根互相平行的铁架，且铁架与两边的铁架，互相垂直，在两个铁架的处分别设置了一盏可以沿着水平面不断匀速旋转的射灯，灯光打开时，处光线射向点处光线与的夹角为．两灯同时开始旋转，光线绕射灯顺时针旋转．光线绕射灯逆时针旋转．当两灯射出的光线与铁架重合时立即反向旋转．旋转中常常出现交叉照射．若点处射出的光线每秒旋转，点处射出的光线每秒旋转，设旋转时间为秒． (1)当旋转时间为秒时，求的度数； (2)如图③，若两灯射出的光线，第一次与边相交于一点时，此时，请求出旋转时间的值； (3)当旋转时间秒时，直接写出时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意得出，过点作，进而根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设射线交于点，分两种情况讨论，当时，顺时针旋转，当时，逆时针旋转，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：∵， ∴． 如图，过点作， ∴． ∵, ∴． ∴． 又∵， ∴． 解得：, （3）解：如图，设射线交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，顺时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 当时，逆时针旋转， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）【阅读理解】光线照射到镜面会产生反射现象，我们称照射到镜面上的光线为入射光线，经过镜面以后反射出去的光线为反射光线，如图1，线和线分别为入射光线和反射光线．由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，即． 【初步探究】（1）如图2，已知镜子与镜子互相平行，当入射光线经过两次反射后的反射光线为，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； 【应用探究】（2）如图3，有一口古井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求的度数）； 【拓展提升】（3）如图4，直线为一块双面镜子（任何角度都能反射），一束固定光线与镜面成角照射在点处后反射光线为；另一束光线与光线平行，照射在镜子的处后反射光线为．其中光线以每秒的速度绕点顺时针转动，设时间为，光线转动角度在大于小于的范围内，是否存在，使得入射光线或其反射光线与反射光线平行？若存在，求出满足条件的时间． 【答案】（1）平行，理由见解析； （2）把镜子摆放的角度与水平线成； （3）存在，当时间为6秒、秒或秒时，入射光线或其反射光线与反射光线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）先根据题意得到，再由平行线的性质得到，可得，根据，可得，即可证明． （2）根据，，可得，即把镜子摆放的角度与水平线成． （3）当光线转动到如解图1时，；当光线转动到如解图2时，；当光线转动到如解图3时，；分成三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）平行； 理由镜子和镜子平行， ， 由材料可得， ， ， ， ； （2）当光线垂直照射古井时， ， 即把镜子摆放的角度与水平线成； （3）存在． 根据阅读材料，， ①当光线转动到如解图1时，， 此时，即转动角度为 所以秒； ②当光线转动到如解图2时，， 此时，即转动角度为 所以秒； ③当光线转动到如解图3时，， 此时，即转动角度为 所以秒； 综上所述，当时间为6秒、秒或秒时，入射光线或其反射光线与反射光线平行． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）． ①当，时，求的度数； ②直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3)①② 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质定理和平角定义解答即可； （2）利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可； （3）①在点G右侧作，利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可； ②在点G右侧作，设，则，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）解：，理由： 由题意得：，， ∵， ， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴, ∴． （3）解：①在点G右侧作，如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ②α与β之间的数量关系为．理由： 在点G右侧作，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 题型12 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 【典例12】（25-26七年级上·重庆·期末）如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点． (1)求证：； (2)试判别和的大小关系，并说明理由； (3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由角平分线得出，，再根据邻补角的定义，根据等量代换即可求解； （2）先通过运算角得出和，再比较即可求解； （3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可． 【详解】（1）解：证明∵、分别为、的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ， ， ， ， ∴． （2）∵直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，即， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转， ∴射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到， ∴设，， ∵射线旋转一周时，全部停止运动， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，且， ∴． ∴， ∴，， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ． ①如图，，即，， ，即， ∴ ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； ②如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ③如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ④如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； 综上，射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间为或． 【变式1】（25-26七年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情境：将一副三角尺（，，）和（，）按如图1所示的方式摆放，使得直角顶点О重合，在上． 初步感知：（1）如图2，将三角尺绕点О逆时针旋转一定的角度，使得，则的度数是_____． 深入探究：（2）如图3，在（1）的基础上继续旋转三角尺，使得，求的度数． 拓展延伸：（3）如图4，在（2）的基础上继续旋转三角尺，使得（在上方），试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得到； （2）先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据计算即可； （3）如图，连接，先根据已知得，进而推出，根据同旁内角互补，两直线平行得到． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，连接， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按图放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为G，F），设旋转时间为．            在旋转过程中，若边，求t的值； 如图③，若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的定义并结合平行线的性质计算即可得解； （2）①由平行线的性质结合题意求出，从而可得，解方程即可；②分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图， ， 因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）解：如图中， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； ⅰ.如图，当时，延长交于点I， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以； ⅱ.如图中，当时，延长交于点J， 因为， 所以， 因为，， 所以 所以， 所以， 综上所述，满足条件的t的值为或． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，___________． (2)当时，求的度数？ (3)在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），求此时t的值为 ___________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)3 (2) (3)或27或33 【分析】本题考查与三角板有关的计算，平行线的性质，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，求出的度数，再根据旋转的速度即可求解． （2）当时，旋转角为，可求出，即可求出． （3）数形结合，分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：， 当为的角平分线时，则：， 即：旋转角为， ∴， 故答案为3． （2）当时，则：，如图：    ∵，， ∴． （3）当三角板的边平行于三角板的某一边时，有3种情况： ①当时，如图：    此时，与重合， ， ②当时，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴， ③当时，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或27或33． 一、单选题 1．（24-25六年级下·山东淄博·期末）如图所示，下列说法错误的是（   ） A．和是同位角 B．和是对顶角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】A 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角，正确识图，掌握这些角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义判断，即可得答案． 【详解】解：A、和不是同位角，故符合题意； B、和是对顶角，故不符合题意； C、和是同旁内角，故不符合题意 D、和是内错角，故不符合题意； 故选 ：A． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 3．（25-26七年级上·广东广州·期末）将一副三角板按如图所示的四种位置摆放，其中的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了余角，三角形板中的角度计算，掌握余角和补角的概念、正确进行角的大小比较是解答本题的关键．根据题意计算、结合图形比较，得到答案． 【详解】解：如图， ①图形中，均为的余角，则； ②图形中，，则； ③图形中，； ④图形中，，则． 所以的是①③． 4．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，设，先根据角平分线求得，，进而求得，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 5．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义；过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义，分别表示出，分三种情况讨论，根据点的位置．当在和之间时，，即，得出，当在的上方时，当在的下方时，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作 ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 设 ∴ 当在和之间时，，即 ∴， 当在的上方时，如图所示， 同理可得 当在的下方时，如图所示， 同理可得 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知，则的余角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了求一个角的余角，两个角的和为，则这两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数为， 故答案为： 7．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，条形彩带的边上有一点，边上有两点、．将彩带沿、同时向中间翻折，点落在处，点落在处，设，，则、满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题结合翻折变换考查平角的性质以及角的和差计算，关键是利用翻折前后对应角相等的性质，结合平角的度数建立角之间的等量关系． 【详解】解：根据翻折的性质，得，； ， ， ； 又， ，整理得． 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质，结合与，建立角的等式关系，最终推导出的值． 【详解】解：过点作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 已知，， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和辅助线的构造．解题关键是通过构造平行线，将分散的角关联起来，再结合已知等式进行角度代换与计算． 9．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，，，E为射线上的一点，连接，若，，则 °． 【答案】15或10 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．当点在线段的延长线上时，先根据平行线的性质可得，，再根据角的和差可得，根据即可得到答案；当点在线段上时，根据平行线的性质得到，再根据即可得到答案． 【详解】解：如图，当点在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在线段上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15或10 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）（1）一个角的补角比这个角的倍大，求这个角的度数． （2）如图，与互余，平分．若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设这个角的度数为，根据一个角的补角比这个角的倍大，列方程求解即可； （2）利用角平分线可得，接着根据与互余得到，进而可得的度数； 【详解】（1）解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得：， 答：这个角的度数； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴. 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 13．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，、，，求证：． （2）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题关键是利用垂直得直角、对顶角相等、角平分线分角等条件，结合平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）进行推理． （1）由、得，结合推出，利用内错角相等，两直线平行，证． （2）由对顶角相等得，结合得，证，得；再由角平分线定义得、，推出，利用内错角相等，两直线平行，证． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， ． （2）证明：与是对顶角， ， ， ， ， ， 平分平分， ， ， ． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图1，某电风扇的支架垂直于地面，叶片，，，，可绕轴心O旋转，且相邻的叶片所成角相等，即． (1)如图1，若平分，求的度数． (2)如图2，叶片从与重合的位置开始，按顺时针方向旋转，当与互补时，求旋转的最小角度． 【答案】(1) (2)旋转的最小角度为 【分析】本题主要考查了角平分线定义，补角定义，一元一次方程的应用，熟练掌握相关定义，是解题的关键． （1）根据题意得：，根据角平分线定义得出，最后根据角度间的数量关系求出结果即可； （2）设旋转的最小角度为，则，根据补角定义，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 因为平分， 所以， 所以； （2）解：设旋转的最小角度为，则， 因为， 所以得， 解得：， 所以，旋转的最小角度为． 15．（2025七年级上·湖南衡阳·专题练习）如图，已知，，，点在线段上，，点在直线上，． (1)写出一个与图中相等的角______________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，点（点不与，两点重合）从点出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键． （1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角； （2）根据，，可得，再根据，即可得到； （3）分两种情况讨论：当点C在线段上；点C在延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ； 与相等的角为，，； 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：，， ， ， ； （3）解：分两种情况进行讨论： ①如图1，当点C在线段上时，点F在的延长线上，此时， ， ； ②如图2，当点C在的延长线上时，点F在线段上． ，， ， 综上所述，的度数为或． 16．（25-26八年级上·山西晋中·期末）【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $